Mattebloggen

För länge sedan läste jag att man lär sig bäst när det nya i materialet utgör 30% . Med andra ord, 70% av det man läser, hör och ser ska helst redan vara bekant. Det tycker jag är en ganska rimlig siffra, dock går inte det ihop med begreppet traditionell föreläsning.

En vanlig matteföreläsning innehåller i princip bara nya begrepp,  satser och metoder. Föreläsarna ånstränger sig mycket för att hinna med åtminstone det som står i kursplanen, just för att eleverna ska ha sett ”allt” innan de går och studerar på egen hand. De blir ju förstås upprörda om det kommer upp någonting på examinationen som de aldrig har sett förut.

Det är svårt att hitta något alternativ för att optimera inlärning under en föreläsning. Det bästa är att ta upp gamla exempel i lysa upp dem i det nya sammanhanget. Exemplet är någonting studenterna (förhoppningsvis) har sett förut och har någon slags relation till. Berättar man någonting nytt om det kommer det att utgöra ungefär 30% av hela exemplet.

På grund av samma princip lär jag mig bäst innehållet i en kurs tidigast kursen efter. När man ska lära sig flerdimensionell analys är det absolut viktigt att kunna endimensionell analys och då lär man sig det. Och när kursen i endimensionell analys går lär man sig vad man egentligen sysslade med på gymnasiet :)

I matematiken gäller alltså påbyggnadskunskap hela tiden. För att ta ett exempel, tänk på en rektangel. Alla lär sig det begreppet förr eller senare i livet, antingen från verkligheten eller abstrakta bilder. När det är dags att förstå begreppet ”area” ritar läraren upp kvadrater eller rektanglar på tavlan och vi får genast en relation till det här nya mattebegreppet. Det första människor tänker på när någon säger ”area” är en rektangel. Vi fortsätter vidare, förbi funktioner till envariabelanalys. Säg att vi behöver lära oss hur funktioner maximeras. Absolut bästa exemplet då är det som går ut på att hitta största arean för en rektangel med given omkrets. Väldigt verklighetsanknutet och högst praktiskt problem. Svaret är då att en kvadrat är den formen som ger störst area. Om inte mer, lär man sig åtminstone att maximera funktionen x(1-x) från detta exempel.

Här syns min förkärlek till exempel och jag kan aldrig själv föredra att gå en kurs med endast nytt teoretiskt material. Det är ingen som tycker att någonting är intressant om ingen kan förstå det.

På reella tallinjen markerade Johan alla kvadrater på positiva heltal. Varje erhållet intervall delar han i två lika stora delar, de vänstra halvorna målade han blått (inklusive vänstra änden), medan de högra målade han rött (exklusive högra änden).

1. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett blått som är delbart med talet n.

2. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett rött som är delbart med talet n.

3. Visa att Johan kan hitta 1000 olika positiva heltal, så att summan av vilka som helst 5 av dem är röd.

4. Visa att det finns oändligt många röda potenser av två.

Lösning:

1. Varje tal n² är ju blått, kvadraterna är alltid de vänstra ändarna av intervallen. Och n² är delbart med n.

2. Varje tal n²-1 är däremot rött. Även (n+1)²-1 är rött. (n+1)²-1=(n+2)n som då är delbart med n.

3. Vi ser att längderna på röda intervall ökar med tiden. Först är det 1,5, sedan 2,5 sedan 3,5 och så vidare. Det beror på att skillnaden mellan två på varandra följande kvadrater är ett udda tal och alla udda tal förekommer på det sättet. (n+1)²-n²=2n+1. Huvudsaken är i vilket fall att röda intervall ökar till längden. Hitta ett jättestort rött intervall. Hitta sedan det första talet i det, som kan skrivas som 5x+15 (alla stora tal delbara med 5 kan skrivas så). Det uttrycket är nämligen summan utav x+1, x+2, x+3, x+4 och x+5.

Som våra tusen tal tar vi då x+1, x+2, x+3, …., x+999, x+1000. Vilka fem av dem vi än tar kommer deras summa vara större än eller lika med 5x+15 och mindre än eller lika med 5x+996+997+998+999+1000=5x+5000-10=5x+4990. Väljer vi längden på det röda intervallet lika med 5000,5 så är vi säkra på att den största summan är röd.

Notera att vi här inte behövde lista just vilka tal vi valde. Det räcker att visa att det går, precis vad det frågas efter i uppgiften.

4. Vilka potenser av 2 kan vara röda? Inte de jämna i alla fall, för att , det vill säga jämna tvåpotenser är kvadrat på naturliga tal, och alla kvadrater är ju blå. De enda vi kan hoppas på är udda potenser, . För att de ska hamna i röda intervall måste de vara i den högra halvan av intervallet mellan  och  för något naturligt tal n.

Vänstra begränsningen är alltså mittpunkten på intervallet, som är  och högra är . Således måste . Alla talen är positiva, alltså kan vi dra roten ur varje led. Notera att roten ur  är mindre än , så alla k som uppfyller  är också k som passar oss.  ska alltså befinna sig mellan två på varandra följande heltal och dess bråktalsdel (talet minus heltalsdelen) skall vara större än .

Vi börjar alltså med  och multiplicerar den med två k gånger. Vi ska bevisa att talen aldrig kommer fastna med bråkdelen mindre än eller lika med . Notera att eftersom  är ett irrationellt tal, så kommer vi aldrig att komma fram till ett heltal genom att dubbla, det vill säga bråktalsdelen kommer aldrig att bli 0. Antag att den någon gång blir mellan 0 och . Då kommer den efter några dubbleringar att bli mellan  och 1, eftersom den ökar hela tiden, och den kan inte ”hoppa över” de decimalerna vi vill åt: någonting, som är mindre än , gånger 2 blir någonting, som är mindre 1. Därför kommer vi alltid att komma tillbaka till bra bråktalsdel. Vi har hittat oändligt många k som passar, och således också oändligt många (udda) tvåpotenser!

Detta problem kommer från min arbetskamrat Albin. Eller, rättare sagt, punkten i) kommer från en gymnasiebok, men uppgiften missuppfattades och punkt ii) blev till, som är svårare.

Från början har vi en kvartscirkel med radie 1 (cm om man så vill). Gränserna för kvartscirkeln utgör diametrar för två mindre cirklar, deras halvor syns på bilden.
 

 i) Hur förhåller sig areorna A och B?

 ii) Vad är areorna A och B lika med?

I den stora boken ”Algebra” av Grillet liknar författaren viss matematikinlärning med att knåda deg. Att lära sig vissa saker går bara om man själv försöker härleda eller använda dem. Till exempel matrisräkning kan man inte utantill om man inte multiplicerat en enda matris.

Jag håller fullt med om detta. Var själv väldigt priviligerad om att gå i den hårda ryska skolan och räkna 20 polynom, ekvationer och uttryck om dagen. Samma sak med multiplikation och division i de tidigare skolåren. Detta kommer till en användning i vardagen, då jag inte alltid har dator/miniräknare med mig, men oftast tillgång till papper & penna eller tavla & krita.

Jaja, det är kanske ingen som bryr sig om att kunna räkna fort nuförtiden, varken tal eller andragradsekvationer, men människor vill kunna göra det (utan miniräknare). Speciellt studenter. Och enda vägen att lära sig är hårda vägen.

Vad är bästa sättet att få eleverna att göra 20 ganska likadana uppgifter?

Om motivationen är ”klara provet” eller ”klara tentan” är det plötsligt en väldigt tråkig sak för dem att göra, för att man ”måste”. Det sättet som gjorde det roligt för mig i lågstadiet i alla fall var att jag tävlade mot min bänkkamrat. Oavsett om det var rysk grammatik eller matte, så tävlade vi om vem som gjorde uppgifterna snabbast på lektionen. Långt ifrån alla är tävlingsinriktade förstås och alla har olika tempo. Dessutom var det inte läraren som gjorde det roligt för oss, utan det var vi själva.

Som lärare har jag inte vågat säga åt eleverna att utföra det här repetativa uppdraget. Det har Thomas Erlandsson däremot gjort till mina nya elever och jag kan säga att det funkar hur bra som helst. Han sa åt dem att räkna ett hundratal uppgifter från boken och det gör de också. När allt kommer omkring, är inte uppgifterna så djävulkst tråkiga.

När det gäller matriser och linjära avbildningar, så har jag gjort en stencil som börjar enkelt och testar färdigheter, men sedan blir allt svårare. Jag delade ut den på lektion 9 i kursen ”Linjär algebra och geometri I” och man fick sitta med var sin stencil och komma så långt man kunde. Notera att samtidigt som att man gör standarduträkningar, smyger ovanliga uppgifter in och de får upptäcka lite matematik själva. Jag kan stolt skryta om att eleverna inte märkte när lektionstiden var ute, för de var så inne i stencilen. Här är den och stort tack går till min vän Djalal, som fixade kaninbilderna. (Bäst är att läsa den i utskriven version för sidorna på slutet är bilder som hör till tidiga uppgifter.)

Har ni några tips på att göra tråkig räkning rolig?

Jag hoppas att ni flitigt har försökt lösa de här uppgifterna. Nu tänker jag nämligen berätta lösningen till uppgift 3. Dessutom följer en förklaring på hur man tänker. Uppgiften är alltså:

Visa att en kvadrat kan delas upp i n stycken mindre kvadrater för alla n>5. 

Med ”att dela upp” menas att vi klipper en kvadrat så att alla erhållna delar också är kvadrater och det blir inga bitar över. Vi ska hitta på en sådan klippning för alla möjliga antal bitar, från och med 6.

Det känns lite omöljigt, hur ska vi kunna ge en lösning för alla tal som är större än eller lika med 6? Det tar ju oändligt lång tid att presentera! Men, uppgiften säger ”visa att”, det vill säga ”visa att det går” och det frågas inte hur, vilket är två olika saker. Det är skillnad på ”visa att ekvationen har en lösning” och ”bestäm en lösning för ekvationen”. På samma sätt som det är skillnad på ”visa att dinosaurierna levde på Jorden under hundra miljoner år” och ”hitta hundra miljoner årtal under vilka dinosaurierna levde”. Det kan vara subtil olikhet mellan de paren av påståenden, men det är bara så att det senare svaret skulle ge oss det tidigare men inte tvärtom. Man kanske vet att dinosaurierna levde under en viss period, men är osäker på under vilka årtal de säkerligen levde. Men ger någon oss årtal så är det klart att dinosaurierna levde i minst hundra miljoner år.

Men åter till problemet, hur ska man börja lösa det? Tvärtemot vad jag precis skrev om, ska man försöka konstruera lösningarna explicit för olika tal. Vilka n lyckas vi med? Det är en viktig metod i problemlösning, som säger att vi ska starta med små fall, trots att vi har godtyckligt stora framför oss. Små fall kommer ge oss en känsla för hur problemet funkar.

Ok, i hur många kvadrater kan du dela upp en stor kvadrat? Jag kan i 4! Visst, det ingick inte i problemet att lösa det för 4, men jag kan ändå:

Det går upprepa samma idé och få 9, 16, (och så vidare) kvadrater:  

Detta ger oss inte så mycket, bara alla kvadrattal, men vi har oändligt många kvar. Vad händer om vi änvänder ”samma konstruktion” som i fallet 4, fast på ett annat sätt? Jag menar så här:

Och vi kan givetvis fortsätta på samma sätt, splittrande en av kvadraterna i fyra små. Vi kan få 7 kvadrater som på bilden ovan och sedan också 10, 13 osv:

Det spelar ingen roll för oss vilken av de befintliga kvaraterna vi delar in i fyra nya. Det viktigaste är att antalet ökar med 3 hela tiden.

Vi har alltså fått svaret för 7, 10, 13, 16, 19, … Oändligt många svar, med det är ändå foftarande oändligt många kvar! Men ni kanske kan gissa att talen 6, 9, 12, 15, …. och talen 8, 11, 14, 17, …. kan fixas på samma sätt så fort vi hittar på någon lösning för 6 respektive 8 kvadrater. Notera då att alla tal större än 6 kommer vara fixade då.

Okej, försök att klura ut 6 eller 8 kvadrater själv innan du tittar nedan. Ett tips är att ha en motsatt taktik: i stället för att lägga till kvadrater till en befintlig konstruktion, försök att ta bort lite kvadrater.

För att få 6 kvarater tar jag bort lite från min konstruktion på 9 kvadrater:

På liknande sätt gör vi 8 kvadrater från 16:

Då är vi klara! Vi kan få alla konstruktioner från konstruktionerna med 6, 7 och 8 kvadrater genom att dela upp en kvadrat i fyra och därmed lägga till 3 till antalet.

Vad har då detta med induktion att göra?

Denna lösning, som går ut på metoden ”stegvis konstruering”, kan även anpassas till induktionsmodellen. I det här problemet består inte induktionssteget av ett enda ”steg”, från talet n till talet n+1, utan av tre fall som i och för sig löses på samma sätt (fallen är olika kongruensklasser modulo 3). Basen bestär också av olika fall. 

Uppgiften är löst, vi förstår hur lösningen funkar, det är nu vi kan baka in den i induktionsmodellen:

Bas:

n=6, n=7 och n=8:

Induktionssteg:

Induktionsantagandet är att det går att dela upp en stor kvadrat i n stycken mindre. Vi visar att det då går att dela upp i n+3 stycken mindre. Beviset är: skär en av gamla kvadraterna i fyra nya.

Slutsats:

Enligt inuktionsaxiomen och alla basfall modulo 3 visade kan vi dra slutsatsen att påståendet gäller för alla n>5.

Detta kanske inte var det bästa exemplet på att induktion kan vara bra. Lösningen ser mycket naturligare ut i den mindre formella beskrivningen. Men å andra sidan blir den mycket kortare och mer elegant formulerat i induktionstermer.

Dela upp figuren i 8 likadana delar:

Skicka gärna in lösningen till mig på mail, adressen hittar ni här.  Rita uppdelningen i paint till exempel och bifoga som fil.

Gåtan var tagen ur en rysk mattetävling för högstadiet, som heter ”Matematicheskij Prazdnik”, vilket översätts ungefär som ”Mattefirande”. Kommentarerna på bloggen föreslår att det går med max 28, 32 respektive 28 bilar, dock har jag inte fått se de lösningarna. De ryska problemkonstruktörerna fick också som mest 28 bilar, men huruvida det går med fler är ett öppet problem än så länge. Här är ett exempel på 28 bilar:

Dock har jag fått höra beviset för varför det inte går med 33 bilar eller fler. Vi tittar på ”vägen”, det vill säga de rutorna, där bilar kan köra ut. Vägen startar från portens parkeringsplats och sedan slingrar sig på något sätt och kan även grena sig.

I vilket fall kan varje vägruta vara utkörningsplats för 1, 2 eller 3 bilar. Men den är det för 3 bilar endast om det är en ”slutruta”. Det kan finnas flera slutrutor, men notera att vägen då måste grena sig och då tjänar vi inte på att ha flera slutrutor (eller snarare: vi tjänar lika mycket på att ha flera slutrutor som att ha en). Till exempel om två slutrutor bidrar med 3 bilar var, så bidrar förgreningsrutan med bara 1 bil max. Därför tänker vi att vi ha en slutruta. Resten av rutorna kan ge plats åt 2 bilar max, förutom den första och den andra rutan, som går längs väggen och därför bidrar med 1 bil var maximalt.

Så ponera att vi har fixat 33 bilar.  Då finns 49-33=16 vägrutor. Men de ger plats åt 1×3 + 13×2 + 2×1 = 31 bilar max. Så det går inte.

Från Wikipedia: Låt P(n) vara ett påstående som har att göra med ett positivt heltal n, och antag att följande påståenden är sanna:

• P(1) är sant.
• .

Då är påståendet P(n) sant för varje val av det positiva heltalet n.

Lätt som en plätt, eller?

Alla tycker induktion är svårt

Alla som någonsin har varit lärare i grundläggande matematikkurser på universitet har stött på svårigheter inom ett specifikt avsnitt: induktion. Det har skrivits många kompendieinlägg och artiklar i ämnet, det går att hitta massvis med förklaringar och exempel, men ändå har så många så svårt för det. Varje år är det kanske 30 elever man har och 29 av dem har svårigheter med induktion.

Nyligen fick jag ett mail som bad om hjälp med en induktionsuppgift. Problemet för personen var att det inte var en standarduppgift (som handlar om summor, vänsterled=högerled, etc.), och fattar man inte induktionsprincipen då, så är man fast.

Vad induktion inte är

För att börja kasta lite ljus över ämnet, kan jag berätta om vad induktion inte är.

1. Det är inte en metod. Det påminner om en metod väldigt mycket, ”stoppa in basvärden här”, ”skriv induktionsantagandet där”, ”härled induktionssteget mha induktionsantagandet”. Jag tror det är det som förklaringen av induktionsprincipen faller på. Den förklaras  mycket formellt, precis som en metod, och därför också uppfattas som sådan. Finns alltså inget sätt att lösa allmännt induktionsproblem!

2. Det är absolut inte en formel. Om man bara har sett summationsuppgifter, säg ”Visa att summan av de första n positiva heltalen är n(n+1)/2″ och liknande, tror man kanske att induktionspincipen är en slags formel. Man stoppar in lite summor här och var och blir det likhet, så är man klar. Så är det på sätt och vis med summationsuppgifter, dock faller inte alla de ut lika lätt som exemplet jag tog upp.

3. Det är inte en sats, en teori, en bok, en tupp osv.

Var är det då? Induktionen är en princip, ett axiom och så önskas. Det betyder att det är någonting som vi människor (matematiskt lagda) tycker borde gälla. Det är någonting som följer logikens lagar. Till exempel ”äpplet faller inte långt från trädet” är ett av naturens lagar och det är lite konstigt att titta på det som en metod för beräkning av äpplenas banor. Ett mer matematiskt exempel är ”Om det finns en linje i planet och en punkt utanför linjen, så kan man bara rita en linje genom punkten som är parallell med den första, ändrar man något så kommer första linjen korsas”. Det är ju ganska naturligt att det är så, men det är fortfarande varken metod eller formel.

Hur jag lärde mig induktion

Det skedde relativt tidigt, då jag ännu inte fattade mig på summationstecknet, vilket nog hjälpte för att förstår principen bra (kanske det som är lösningen, lära ut summa efter att man lär ut induktion på grundläggande algebra-kursen?). Jag fick några problem på fritiden, så jag försökte klura ut hur man löste dem. Men det är väldigt svårt att komma på principen själv, så jag lyckades inte först. Sen när man förstår principen så säger det ”klick” och sådana problem löses på bara några minuter.

Och hur förstår man principen då? Jo, genom exempel! Exempel från matten eller vardagen spelar ingen roll. Vitsen är att när någon berättar att man visar någonting att börja med (bas) och sedan visar att ”varje leder till nästa” (induktionssteg), så är det klart att det följer för alla. ”Självklart måste det vara så!”, säger man då, och då har man förstått. Nästa svåra steget är att översätta lösningar till matematikspråket. Just ”översätta”, eftersom mitt största råd är att lösa varje uppgift med ord först, så gott det går, och bara sedan försöka formalisera. Till att börja med: glöm bort vad induktion är och försök lösa de här, så återkommer jag med utförliga exempellösningar.

Jag har precis haft föreläsningar med en ny lektor, och hans tavelteknik var fascinerande! Förutom att han talade tydligt och klart, förklarade långsamt och bra, tittade mot klassen och aldrig drog över tiden, så var han en mästare på att använda färger!

Tänk er en vanlig grön/svart tavla som man skriver med vit krita på.  Efter ett tag blir det rätt så monotont, för att inte tala om plottriga bilder. Man ursäktar sig och försöker flitigt förtydliga vilka sakerna på grafen eller bilden är genom att rita massa små pilar med förklaringar. Eleverna försöker desperat kopiera från tavlan och det uppstår frågor om var ”x” egentligen är på bilden ;)

Inte gör Warwick (föreläsaren) så inte. Han använder framför allt vit, gul och röd krita. Skriver två rader (en mening till exempel) med vitt, men sedan kommer en ekvation, den skriver han då med gult! Nästa rad är omvandling av den första ekvationen, de hänger ihop, så den andra ekvationen skriver han också med gult. Dags att växla tillbaks till vitt. Nu kanske de behövs en liten anmärkning, den skrivs med små bokstäver och rött. Allt detta flyter på utan avbrott! Han har alla tre kritorna i handen hela tiden (hmm, kanske till och med fler färger) och växlar snabbt och naturligt.

Det som står på tavlan blir 50% roligare och 94% tydligare att läsa, man vet nu vad som händer ihop med vad! Man livas upp och blir glad av den gula färger och börjar nästan tycka mer om ekvationer än ord.

För att inte tala om vad man kan göra med grafer/bilder/diagram! Använda en ny färg för varje ny typ av grej på bilden är en bra tumregel.

På måndag blir det besök i kritskåpet!

Jag tänkte variera gåtorna lite och ta svårare problem (för gymnasiet och uppåt) udda veckor och problem, som passar alla, jämna veckor. I veckans problem krävs till exempel kunskapen om begrepp som: intervall, tallinjen, delbarhet, potenser och sist, men inte minst, vad ett godtagbart bevis är. Fråga mig gärna så förklara jag begreppen om de känns konstiga. Här kommer gåtan:

På reella tallinjen markerade Johan alla kvadrater på positiva heltal. Varje erhållet intervall delar han i två lika stora delar, de vänstra halvorna målade han blått (inklusive vänstra änden), medan de högra målade han rött (exklusive högra änden).

1. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett blått som är delbart med talet n.

2. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett rött som är delbart med talet n.

3. Visa att Johan kan hitta 1000 olika positiva heltal, så att summan av vilka som helst 5 av dem är röd.

4. Visa att det finns oändligt många röda potenser av två.