Mattebloggen

På reella tallinjen markerade Johan alla kvadrater på positiva heltal. Varje erhållet intervall delar han i två lika stora delar, de vänstra halvorna målade han blått (inklusive vänstra änden), medan de högra målade han rött (exklusive högra änden).

1. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett blått som är delbart med talet n.

2. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett rött som är delbart med talet n.

3. Visa att Johan kan hitta 1000 olika positiva heltal, så att summan av vilka som helst 5 av dem är röd.

4. Visa att det finns oändligt många röda potenser av två.

Lösning:

1. Varje tal n² är ju blått, kvadraterna är alltid de vänstra ändarna av intervallen. Och n² är delbart med n.

2. Varje tal n²-1 är däremot rött. Även (n+1)²-1 är rött. (n+1)²-1=(n+2)n som då är delbart med n.

3. Vi ser att längderna på röda intervall ökar med tiden. Först är det 1,5, sedan 2,5 sedan 3,5 och så vidare. Det beror på att skillnaden mellan två på varandra följande kvadrater är ett udda tal och alla udda tal förekommer på det sättet. (n+1)²-n²=2n+1. Huvudsaken är i vilket fall att röda intervall ökar till längden. Hitta ett jättestort rött intervall. Hitta sedan det första talet i det, som kan skrivas som 5x+15 (alla stora tal delbara med 5 kan skrivas så). Det uttrycket är nämligen summan utav x+1, x+2, x+3, x+4 och x+5.

Som våra tusen tal tar vi då x+1, x+2, x+3, …., x+999, x+1000. Vilka fem av dem vi än tar kommer deras summa vara större än eller lika med 5x+15 och mindre än eller lika med 5x+996+997+998+999+1000=5x+5000-10=5x+4990. Väljer vi längden på det röda intervallet lika med 5000,5 så är vi säkra på att den största summan är röd.

Notera att vi här inte behövde lista just vilka tal vi valde. Det räcker att visa att det går, precis vad det frågas efter i uppgiften.

4. Vilka potenser av 2 kan vara röda? Inte de jämna i alla fall, för att , det vill säga jämna tvåpotenser är kvadrat på naturliga tal, och alla kvadrater är ju blå. De enda vi kan hoppas på är udda potenser, . För att de ska hamna i röda intervall måste de vara i den högra halvan av intervallet mellan  och  för något naturligt tal n.

Vänstra begränsningen är alltså mittpunkten på intervallet, som är  och högra är . Således måste . Alla talen är positiva, alltså kan vi dra roten ur varje led. Notera att roten ur  är mindre än , så alla k som uppfyller  är också k som passar oss.  ska alltså befinna sig mellan två på varandra följande heltal och dess bråktalsdel (talet minus heltalsdelen) skall vara större än .

Vi börjar alltså med  och multiplicerar den med två k gånger. Vi ska bevisa att talen aldrig kommer fastna med bråkdelen mindre än eller lika med . Notera att eftersom  är ett irrationellt tal, så kommer vi aldrig att komma fram till ett heltal genom att dubbla, det vill säga bråktalsdelen kommer aldrig att bli 0. Antag att den någon gång blir mellan 0 och . Då kommer den efter några dubbleringar att bli mellan  och 1, eftersom den ökar hela tiden, och den kan inte ”hoppa över” de decimalerna vi vill åt: någonting, som är mindre än , gånger 2 blir någonting, som är mindre 1. Därför kommer vi alltid att komma tillbaka till bra bråktalsdel. Vi har hittat oändligt många k som passar, och således också oändligt många (udda) tvåpotenser!