Mattebloggen

Problemet kommer från mattecirkeln med Anna. Både jag och hon fick först fel svar . Det gäller alltså att ha vettigt bevis för att antalet vägningar är det minsta möjliga.

Gåta:

En balansvåg har två skålar. Om tyngderna på skålarna är lika visar balansvågen jämvikt. Annars visar den vilken skål som är tyngre. Det finns en stor påse strösocker, en balansvåg samt en vikt på 1g. Hur kan man snabbast väga upp ett hekto strösocker? Observera att om man lägger två sockerhögar i en och samma skål, så blandar sockret ihop sig till en enda hög förstås.

En lägenhet består av ett antal rum som kan ha olika areor. Det går att dela lägenheten mellan 2, 3 eller 4 hyresgäster så att varje person får bo på samma area (fast antalet rum kan vara olika). Bestäm det minsta möjliga antalet rum i en sådan lägenhet.

Lösning:

Här gäller det att bestämma det minsta antalet rum så att uppdelningarna är möjliga. Det betyder två saker:

1. Att bestämma något antal rum så att uppdelningarna är möjliga.

2. Visa att för alla mindre antal åtminstone någon uppdelning skulle misslyckas.

Ett sätt att lösa de två punkterna är att gå nerifrån och uppåt, det vill säga starta med så få rum som möjligt (säg 1 rum) och sedan gå vidare till nästa antal, när uppdelningarna inte funkar. Vi testar:

1 rum: går inte att dela upp mellan 4 personer

2 rum: går inte att dela upp mellan 4 personer

3 rum: går inte att dela upp mellan 4 personer

4 rum: om det ska gå att dela upp rummen mellan 4 personer, måste alla ha lika stor area, säg x. Om vi ska dela upp rummen mellan 3 personer, måste en av dem få 2 rum och de andra få 1 rum var. Areorna blir 2x, x, x, det vill säga olika.

5 rum: om det ska gå att dela upp rummen mellan 4 personer, måste en av dem få 2 rum och alla de andra få 1 rum var. Så de senare tre rummen har alla lika stor area, säg x. Då har de första två rummen tillsammans arean x.  Notera att det går då att dela upp lägenheten mellan 2 personer rättvisst. Men går det att dela upp mellan 3 personer? Då skulle de antingen ha föredelningen 2 rum- 2rum-1 rum eller 3 rum-1 rum-1 rum. Notera att sammanlagda arean är 4x, så varje person måste få arean 4x/3. Så de som har enrummare har arean på den lika med 4x/3. Det kan inte finnas två sådana, för att 4x/3+4x/3 är inte lika med x (som ju summan av de två ”icke-x”-rummen måste vara). Så fördelningen måste alltså vara 2 rum-2 rum-1 rum. Då är rumsareorna x, x, x, 4x/3 och 2x/3. Men x, x, x och 2x/3 går inte att fördela jämnt mellan 2 resterande personer. Så det går inte med 5 rum.

6 rum: Försöker vi som förut att bevisa att det inte går, kommer vi fram till att det faktiskt går. Så fort vi har ett exempel, är vi klara. Låt rummen har areorna 1, 1, 1, 3, 3, 3 (m²). Uppdelning mellan 4 personer: 1+1+1, 3, 3, 3, uppdelning mellan 3 personer: 1+3, 1+3, 1+3, uppdelning mellan 2 personer: 1+1+1+3, 3+3.

Här är ett smakprov av vår andra lektion, som handlar om att väga saker på en balansvåg och avgöra om de är lätta, tunga, falska etc. Här nedan ser ni några av lektionens svåraste problem. 

Nu kan man försöka analysera vad det är egentligen som lärs ut på mattecirkeln. På sätt och vis är lektionerna mycket mer lika spel än någon annan undervisningsform. Mycket görs på egen hand och man ”levlar” när problemernas svårighetsgrad ökar. Samtidigt används det man samlade på sig under tidigare ”levels” (lättare problem).

En bra lektion lär ut idéer. Den här lektionen lärde inte ut någon specifik idé, utan var en härlig blandning av olikheter, informationsteori, falluppdelning och kombinatorik. Som inte i sig är metoder, utan just idéer till lösningar. Jag avslutar med ett citat:

What is the difference between method and device? A method is a device which you used twice.

–George Pólya, ”How to solve it”

Eller en ekvivalent fråga: kan man lära sig matte med hjälp av spel?

Jag har lagt till en spelsida på bloggen med lite snodda småpussel. Syftet med detta är ännu oklart, men det fick mig att tänka på ovanstående frågor. Så nu menar jag alltså spel för en person, säg datorspel.

Kännetecken för spel är det interaktiva, det som just är kärnan i allt lärande.

Säg till exempel att ni skall förstå situationen ”kontinuerlig, men inte deriverbar (i en viss punkt)”. Någon säger till er att denna situation förekommer och ni försöker förstå varför detta är möjligt. Ni kommer kanske på själva eller oftast berättar läraren rakt av exemplet y=|x|, beloppfunktionen. Aha, nu är det klart hur det kan vara möjligt!

Något senare träffar ni på ett annat exempel, som den till höger. Och visst passar den och ni kanske kommer ihåg den i kort tid. Men om någon frågar er om en funktion som är kontinuerlig men inte differentierbar i alla punkter, så föreställer ni er först av allt y=|x|. Lite för att ni såg den först, men mest för att ni förstod den först.

Det kanske inte var ett jättebra exempel. Men fråga nästan vem som helst som har bevisat något. Om man bevisar någonting själv, men sedan får se ett snyggare och kortare bevis för samma sak, minns man ändå med all säkerhet sitt egna bevis, men inte det andra.

Därför är det helt avgörande för inlärningen hur mycket eleven själv får jobba.

Kan man då på något sätt få in matematikens lärdomar i ett spel? Vad är det man redan kan lära sig i existerande spel?

Tag sudoku till exempel. Brukar stå i tidningar ”träna din hjärna mha en sudoku varje dag” osv osv. Det sudoku egentligen tränar är:

1. Förmågan att se över mönstret och urskilja det viktiga, till exempel titta på alla 9:or och fylla i dem som saknas.

2. Tekniken ”systematisk fallundersökning”. Ifall det finns flera möjligheter för en viss siffra, så kanske man skriver en möjlighet lite smått i en ruta och försöker forsätta. Det viktiga här är att inte glömma alla fall.

3. Problemlösningförmågan ifall man löser svåra sudokun. Om man inte fuskar och läser på nätet så kanske man upptäcker en ny metod själv.

Det är inte mer än så. Det händer ännu mindre om man spelat på samma nivå länge.

Poängen med de spelen jag överhuvudtaget kan komma på är att de tränar ”skills” och inte lär ut någon kunskap/fakta. Mycket lättare är det för ämnet historia, många har lärt sig största delen spelandes Civilization och Europa Universalis och inte i skolan. Historia handlar per definition om människans interaktion.

Matematiken och andra naturvetenskaper är mycket mindre beroende av människan.

Ett bra mattespel skulle gå ut på att spelaren löser problem eller hittar bevis. Det får mig att tänka på spelen som liknar Myst, det vill säga quest-spel. Man spelar väsentligen genom att klicka på saker i rätt ordning, gå till olika platser och hitta samband mellan saker som händer. Brukar vara jättekul att spela tills man fastnar på någon svår sekvens.

Går det att göra något liknande med ren matematik? Säg att man samlar ihop lappar med definitioner och påståenden. Lägger man dem i rätt ordning, så kommer kanske ett lemma ut. Och sista bossen är Fermats stora sats!

Låter inte som världens mest spännande spel, men tål att funderas vidare på. Slutsatsen jag drar är att spel kan träna och utveckla specifika förmågor, som är nyttiga i matematikstudier. Logisk resonering, mönsterseende, allt detta kommer till nytta. Men förståelsen för matematisk teori verkar omöjlig att lära ut på något sätt som inte är ekvivalent med traditionell lärare eller bok.

En dag bestämde sig en snigel för att starta en resa. Snigeln rörde sig framåt längs med en rak sträcka i 6 minuter tills det var nog för dagen. Under den tiden kom några människor och tittade på snigels underbara resa. Hela tiden var snigeln betraktad av åtminstone en människa. Det visade sig att varje människa kollade på snigeln i exakt 1 minut och under den tiden kröp den exakt 1 meter. Hur mycket kunde snigeln maximalt krypa under den dagen?

Rita två fyrkanter, som tillsammans kan läggas ihop till

(i) En triangel, men också en femkant

(ii) Både en triangel, en fyrkant och en femkant.

Med ”läggas ihop” menar jag förstås att fyrkanterna inte får överlappa varandra, inte heller får det bildas hål.

Lösning:

Löser man (ii), löser man förstås och (i). Hur tänker man då?

Det är ganska naturligt att utgå från en triangel, för att bitarna ska ändå kunna läggas ihop till en triangel och olika trianglar finns det färst av. Det vill säga, vi bör i princip pröva att skära itu spetsiga trianglar (såna som har alla vinklar mindre än 90°), trubbiga trianglar (såna som har en vinkel större än 90°) och också pröva med rätvinkliga trianglar.

Här nedan är Oves lösning (jag borde ha någon sorts topplista för att beröma honom). Han poängterade för mig att han löste det hela i stort sett med ”trial & error”-metoden. Och det är så konstruktionsproblem oftast löses.

Även om man  har ett riktigt jobb, ett rätt krävande sådant, så har man ibland lite tid att läsa böcker också. En dag såg jag en bok med titeln ovan liggande hemma hos min vän. ”Jag vill vara en sådan!” tänkte jag, ”hur gör man?” och bad om att få låna boken. Det var någon gång i november tror jag.

Boken, som är skriven av Ken Bain, tog ett tag att läsa, för att engelskan i den är lite svår. Jag läste klart den igår (mars är det nu). Men redan från början blev jag helt fascinerad av idéerna och ofta la jag undan boken för att tänka igenom hur jag skulle kunna implementera vad som står där. Jag kan lugnt säga att det till en jättestor del var just den här boken som fick mig att starta bloggen.

Vad kan man säga om boken? Det är en studie där många framstående universitetslärare betraktades och man såg vad de gjorde för saker gemensamt. Det är väldigt läsvärda insikter, oavsett om man är lärare eller elev. Det framgår tydligt att undervisningens poäng är att hjälpa människor att lära sig saker och hjälpa dem att lära sig hur man lär sig själv saker. Om man förstår hur man bäst lär sig då lär man sig bättre, givetvis!

Ett av de viktigaste insikterna jag kom fram till om mig själv hade att göra med min uppväxt. Barn, som får uppmuntran och beröm för specifika saker de utför, lär sig att hårt och inbitet arbete lönar sig. Andra, som får beröm i största allmänhet, tror snarare på att intelligens är medfött och olika talanger kan inte uppkomma eller utvecklas från ingenting. Individerna i det senare fallet tycker snarare om att jobba med saker som är lätta att klara av och senare på universitet bryr sig inte så mycket om djup inlärning. Jag insåg med lite ångest att jag var ett av de senare fallen till en stor del. Nu tror jag på att hårt arbete ger resultat oberoende av hur bra man var på något från början.

Vad finns det mer att säga om boken? Läs den!

Och ifall ni har några andra böcker om undervisning som ni kan rekommendera, skriv det gärna i kommentarerna!

Imorgon skall jag hålla i en föreläsning om kategoriteori. Det är i en kurs som några doktorander går, och varje deltagare måste hålla i ett par föreläsningar själv. Vilket är jättebra, tycker jag, för man lär sig bäst genom att berätta materialet för andra, men det blir kanske ett annat inlägg.

Det som förbryllar mig ibland är att på de avancerade matematikkurserna sker undervisningen i princip alltid på engelska. Det beror ibland på utbytesstudenter närvarande, eller kanske gästforskare från utomlands, men ofta är inte fallet så. Ofta kan alla i rummet prata svenska, förstå svenska på ett bättre nivå än engelska (för de flesta får minst lika mycket praktik i svenska). Ändå föreläser man på engelska och diskuterar eventuell frågor på engelska också.

Det finns en enkel orsak till det, nämligen att det inte finns någon utvecklad terminologi i avancerad matematik på svenska. Hur säger man ”pullback”, ”sesquilinear” eller ”Lie bracket”? I talspråk doktoranderna emellan säger man ”Liebracketen”. Det är inte helt uteslutet att de svenska orden finns, men de är i vilket fall inte i bruk. Läser man matematiklitteratur på engelska, så kan man orden just på engelska och inget annat.

Vari ligger problemet då?

Jo, även om det känns onaturligt att prata engelska i ett rum full av svensktalanade personer, så är inte det ett fel i sig. Men, majoritetn av de här personerna talar mindre flytande engelska än svenska. Säg att någon ska ställa en fråga. Då går halva (eller mer) tankekraften åt att formulera frågan på engelska och resten åt att tänka igenom matematikinnehållet i frågan. Språk och matematik ockuperar samma hjärnhalva och slåss om hjärnkapaciteten!

Efter att frågan är ställd, skall en annan svensktalande person först uppfatta frågan, översätta och tolka den matematiskt och sedan händer samma process med svaret. Det är inte problematiskt i sig att diskussionerna pågår långsammare, men man tappar det här flytet, så att det hela inte längre går att kalla för ”ett naturligt samtal”.

Händer detta på en grundutbildningskurs är det ett ännu värre problem, eftersom många har svårare för att ställa frågor då. Jag vågade i alla fall inte prata engelska förrän sista året på utbildningen.

Nu har jag mycket mindre problem med engelskan, men jag vet inte om jag borde köra på det imorgon för terminologins skull. Jag menar, vem är inte van att höra på föreläsningar på svengelska

Jag hoppas att ni fortsätter att klura på förra veckans gåta. Än har ingen hittat lösningen på b). Skicka in frågor och svar på mailet som ni hittar här.

Veckans gåta fortsätter på samma tema som min mattecirkel gjorde i helgen:

En lägenhet består av ett antal rum som kan ha olika areor. Det går att dela lägenheten mellan 2, 3 eller 4 hyresgäster så att varje person får bo på samma area (fast antalet rum kan vara olika). Bestäm det minsta möjliga antalet rum i en sådan lägenhet.

Notera att i uppgiften är det bara möjligt att bestämma vem som har 8 armar. Vi kan alltså inte ta reda på hur många armar varje bläckfisk har.

Jag fick en helt korrekt lösning från min vän Ove:

Den svarta bläckfisken säger: ”Den mörkblåa har verkligen 8 armar. Men jag har hela 9!”

Detta gör att han måste ljuga, eftersom att om han skulle prata sanning så skulle han ha jämnt antal armar (och därmed säga det också).

Därför kan inte den mörkblå tala sanning när den säger: ”Det är jag som har 8 armar. Du har bara 7.”

Därför har inte den heller 8 armar (och inte heller ett jämnt antal armar).

Den mörkgröna bläckfisken påstår att den mörkblå har 6 armar (jämnt) vilket vi vet att det inte har, varpå den också måste ljuga och inte ha 8 armar.

Den randinga bläckfisken talar därför sanning när den säger att inga av de andra har 8 armar, varpå dess påstående att den har 8 armar också är sant.

Så svar: Den randiga bläckfisken.