Mattebloggen

Från början har vi en kvartscirkel med radie 1 (cm om man så vill). Gränserna för kvartscirkeln utgör diametrar för två mindre cirklar, deras halvor syns på bilden.

i) Hur förhåller sig areorna A och B?

ii) Vad är areorna A och B lika med?

Lösning:

(i) Notera att areorna A och C tillsammans utgör halva lilla cirkeln, det vill säga halva cirkeln med diameter 1. Den har area pi*((½)^2)/2. Samma gäller A och D, A+D=pi*((½)^2)/2=pi/8.

Å andra sidan utgör A+B+C+D en kvarts stor cirkel, således A+B+C+D=pi*(1^2)/4=pi/4. Vi ser att arean för den stora kvartscirkeln är dubbelt så stor som areorna för de små halvorna.

Således har vi A+B+C+D=(A+C)+(A+B), och subtraher vi A, B och C på båda sidor av likheten, så får vi A=B. Notera att vi nu inte har bestämt själva areorna, utan bara hur A och B förhåller sig.

(ii) Följande är min arbetskamrats Albins lösning:

Om man ritar ut den små (röda) cirklarna, syns det tydligare vad som händer. Den gröna punkten är skärningspunkten mellan tangentlinjer (svarta) till cirklarna, som då måste bilda 90° vid skärningen. Då är vinkeln mellan de två röda cirklarna också 90°.

Då vet vi att också de blåa tangentlinjerna skär varandra i vinkeln 90°. Det kan också ses av symmstriskäl. Från den gröna och från den blåa punktens perspektiv måste allting vara symmetriskt. Alltså bildas en kvadrat rektangel i mitten av bilden (en kvadrat egentligen), eftersom igen, av symmetriskäl så måste återstående två vinklarna vara lika och då måste de vara 90° också.

Nu finns olika sätt att bestämma arean A och jag gör det med liknande metod som i (i).

Här har vi att A+x=pi/16, en kvart av en cirkel med radie ½. A+x+x=1/4, arean av kvadraten. Alltså är x=1/4-pi/16. Och då måste A=pi/16-(1/4-pi/16)=pi/8-1/4.

Svar: