Mattebloggen

Jag har precis börjat mattecirkeln med Anna, en elev som nu går i nian i Uppsala.

Det är många som frågat mig vad ”mattecirkel” egentligen betyder, för det känns kanske lite dumt att kalla någonting för ”cirkel” när bara två personer träffas. Men jag väljer det namnet av en gammal vana, och för att det är en sorts studiecirkel oavsett hur många som kommer.

Mattecirklar är en gammal tradition i Ryssland och en ganska ny i Sverige. I de flesta fall är det träffar med några stycken elever, som kan ungefär lika mycket matte, och en lärare. Varje sådant tillfälle tar 1-2,5 timmar, lite beroende på elevernas åldrar.

Dessutom för att få lite struktur på det hela brukar lektionerna ha en genomgående tema. Kanske att det handlar om trianglar eller kanske om induktionsprincipen. Målet är att eleven ska förstå en viss idé och prova lite på tekniken genom att lösa problem ur en lista.

Här är lite smakprov vad Anna sysslade med i lördags, temat var ”Uppskatta och ge exempel”. Alla problem kräver förstås förutom svar också motivering. Vill ni ha fler problem från lektionen (de nedan är de lättaste), så är det bara att maila till mig eller skriva i kommentarerna.

Idag startar min nya mattecirkel. Det är förvisso bara en elev i den än så länge, men jag kallar det hela mattecirkel i alla fall av en gammal vana. Mina mattecirklar brukar innehålla sådana problem som inte förekommer i vanliga skolan, utan snarare i matematiktävlingar, som HMT.

Det är svårt men ganska spännande att introducera någon till matematikvärlden. Vilka områden skall man lära sig mer om först av allt? Vilka problemlösningstekniker?

Det mest essentiella i matematikstudier är att kunna avgöra vad som är ett bevis eller inte. Sedan så småningom får man intuition för vad som är tillräckliga bevis eller inte. Till exempel blir studenter ganska ofta osäkra på ifall de kan anta ett visst påstående i kursboken eller om man ska visa påståendet. Eller hur många Gausseliminationer måste man redovisa för att uppgiften inte ska få avdrag?

Allt detta beror på i princip på erfarenhet, och man lär sig att avgöra sådana frågor efter några månader eller något år.

Hur började du med matematiken? Vilka bevis förstod du först av allt?

(Passande förresten att starta en mattecirkel på pi-dagen :) Grattis alla!)

Jag ska försöka reda ut begreppet linjär avbildning. Det är trots allt det linjär algebra i stort sett handlar om.

För det första är linjär avbildning synonymt begrepp med linjär transformation, och båda varianterna används flitigt. Detta tyder på att det är något aktivt som sker, någonting avbildas eller någonting transformeras.

Något förändras helt enkelt. Men inte hur som helst!

För att ta exempel ur vardagen: att ta ett foto på ett vackert landskap är en linjär avbildning från naturen till kameraskärmen. Tänk dig att en linje dras mellan varje pixel och motsvarande ”punkt” i naturen. På något sätt kan vi tänka oss att det är en jämn och regelbunden hopknutning av linjer.

En avbildning som däremot inte är linjär är när någon ritar skämtteckning föreställande dig. Den är ju helt fel! Försöker man tänka sig linjer på samma sätt som i förra exempel, så blir de huller om buller.

Det är därför just linjära avbildningar studeras så mycket, dels för att de är vackra och regelbunda, dels för att de är (just därför) mycket enklare än godtyckliga transformationer.

Nu till seriösa avbildningar. Den formella definitionen för att F skall vara en linjär avbildning är att den uppfyller två saker:

Detta betyder att en linjär avbildning bevarar förhållanden mellan punkter, som ligger på en och samma linje utgående från origo. Som jag ritade linjerna på bilden med landskap så menade jag att origo skulle vara i övre vänstra hörnet. Dra en ”origolinje”, till exempel linjen som går från hörnet genom den högsta bergstoppen och in i solen. Det här villkoret säger oss att avståenden från hörnet till toppen och från hörnet till solen förhåller sig på samma sätt (med samma faktor) både i den lilla och i den stora landskapsbilden.

Det andra villkoret är lite svårare att förklara med en bild. Här ska man föreställa sig en massa vektorer (utgående från origo). Det måste alltid gälla att när vi tar två sådana vektorer och kollar på vad de avbildas på, så blir de två nya vektorer som dock också utgår från origo. Tar man summan av de ursprungliga två och summan av de senare två så ska dessa resultat hänga samman med precis samma avbildning. Det vill säga första summan avbildas på den senare summan.

Linjära avbildningar är mycket mer generella grejer än det först verkar. Det beror på att så kallade vektorer är väldigt generella objekt i sig. De behöver inte vara ”pilar i planer” eller ”pilar” överhuvudtaget. Vektorer kan vara matriser, funktioner, tal, … katter (om man vet hur man summerar två katter för att få en annan katt, samt hur man multiplicerar katter med skalärer).

Därför är det rätt svårt att kolla om villkoren 1 och 2 stämmer geometriskt. Oftast får man avbildningen genom en formel och då är det bara att ”stoppa in” och visa att vänsterledet är lika med högerledet för att möjliga indata (vektorer) och skalärer (konstanter) a.

Det finns många kända exempel på linjära transformationer som är bra att känna till. Att derivera funktioner är ett sådant exempel (slå upp deriveringreglerna och hitta två av dem som liknar våra villkor väldigt mycket). Att integrera funktioner är ett annat. Att multiplicera med en fixerad matris är en linjär avbildning också och många avbildningar representeras just på det sättet.

Sist, men inte minst, kommer lite linjära avbildningar från planet till sig självt:

Här ligger origo alltid i ”ursprungliga övre högra hörnet”, det vill säga det hörnet där solen är närmast.

Udda vecka innebär lite svårare uppgift, men jag har ändå valt ut någonting som alla kan klura på:

Gåta:

Rita två fyrkanter, som tillsammans kan läggas ihop till

(i) En triangel, men också en femkant

(ii) Både en triangel, en fyrkant och en femkant.

Med ”läggas ihop” menar jag förstås att fyrkanterna inte får överlappa varandra, inte heller får det bildas hål.

Från början har vi en kvartscirkel med radie 1 (cm om man så vill). Gränserna för kvartscirkeln utgör diametrar för två mindre cirklar, deras halvor syns på bilden.

i) Hur förhåller sig areorna A och B?

ii) Vad är areorna A och B lika med?

Lösning:

(i) Notera att areorna A och C tillsammans utgör halva lilla cirkeln, det vill säga halva cirkeln med diameter 1. Den har area pi*((½)^2)/2. Samma gäller A och D, A+D=pi*((½)^2)/2=pi/8.

Å andra sidan utgör A+B+C+D en kvarts stor cirkel, således A+B+C+D=pi*(1^2)/4=pi/4. Vi ser att arean för den stora kvartscirkeln är dubbelt så stor som areorna för de små halvorna.

Således har vi A+B+C+D=(A+C)+(A+B), och subtraher vi A, B och C på båda sidor av likheten, så får vi A=B. Notera att vi nu inte har bestämt själva areorna, utan bara hur A och B förhåller sig.

(ii) Följande är min arbetskamrats Albins lösning:

Om man ritar ut den små (röda) cirklarna, syns det tydligare vad som händer. Den gröna punkten är skärningspunkten mellan tangentlinjer (svarta) till cirklarna, som då måste bilda 90° vid skärningen. Då är vinkeln mellan de två röda cirklarna också 90°.

Då vet vi att också de blåa tangentlinjerna skär varandra i vinkeln 90°. Det kan också ses av symmstriskäl. Från den gröna och från den blåa punktens perspektiv måste allting vara symmetriskt. Alltså bildas en kvadrat rektangel i mitten av bilden (en kvadrat egentligen), eftersom igen, av symmetriskäl så måste återstående två vinklarna vara lika och då måste de vara 90° också.

Nu finns olika sätt att bestämma arean A och jag gör det med liknande metod som i (i).

Här har vi att A+x=pi/16, en kvart av en cirkel med radie ½. A+x+x=1/4, arean av kvadraten. Alltså är x=1/4-pi/16. Och då måste A=pi/16-(1/4-pi/16)=pi/8-1/4.

Svar: 

I stort sett varje lärare spenderar många timmar av sitt liv på att rätta tentor och inlämningsuppgifter. Det kan vara frustrerande, om många personer gör olika fel. Det kan vara snabbt och lätträttat när alla gjort rätt. Men ofta är det tyvärr tråkigt, när det gäller inluppar i alla fall, nämligen att studenterna har  samarbetat och gjort exakt likadana fel.

Under en sådan session berättade min kollega om ett roligt avskriftsfel.

Uppgiften gick ut på att hitta en bas till något rum, det vill säga en lista med vektorer. Svaret bestod alltså av en uppradning av vektorernas koordinater.

Min kollega håller på och rättar uppgiften. I en av inlupparna har en viss elev gjort allting rätt, men plötsligt kommer det någonting konsigt på slutet. Precis på raden med svaret är det fel! Av någon anledning har eleven delat alla vektorer med 5. Hmm, men allt annat är ju rätt, så varifrån kommer det här konstiga felet, tänker min kollega … Ett tag senare hittar han en annan elev, som har gjort precis samma fel! Allt är rätt, men vektorerna delas med 5 på slutet.

Då detta uppenbarligen varit avskriftfel letar min kollega igenom högen efter originalet. Vad ser han där? Allt i uppgiften är gjort rätt. Och på slutet, så har eleven markerat svaren lite grann, genom att stryka under varje vektor. Ni vet, sådan s-formad understrykning. :)

Moralen är: det märks oftast när studenterna skriver av varandra utan att tänka efter.

Det finns många olika sätt att genomföra sin undervisning. Läraren kan ha föreläsningar, lektioner, laborativa pass, case studies och diskussionstillfällen, bara för att nämna några. Men det många inte tänker på är att man också kan variera sig när det gäller slutlig examination.

Det man oftast väntar sig av en kurs i ett teoretiskt ämne, är att den slutar i något form utav skriftligt prov. Ibland är det en så kallad hemtenta, det vill säga ett större prov man skriver hemma på egen hand. Men oftast är det en salstenta, men begränsad tid och bestämda frågor, vars svar skall lämnas in skriftligt av var och en.

Denna examinationsform är dominerade och det är inte så konstigt varför det är så. Men hjälp av några skriftliga frågor och problem går det att täcka det mesta av kursinnehållet. Dessutom finns det äldre prov som man kan basera sina egna på. Då finns det två föredelar: eleverna studerar gamla tentor och vet de vad de har att förvänta sig av det nya, samt att läraren kan vara säker på att ta upp allt det relevanta.

Eller?

Det går aldrig att testa om en elev kan allt innehåll i kursen och man kan argumentera om vad ”kan” egentligen betyder. Men det gör vi inte här. Istället vill jag berätta om mina erfarenhet av muntlig examination!

När jag och några kollegor ordnade munta var det inte den enda stora examinationen, utan en del av det. Om man klarade muntan behövde man inte göra en svår del av tentan. Detta var alltså ett sätt att locka studenterna till att göra munta. Varje munta beräknades ta 10 minuter per student och man fick komma i grupper om max 3 personer (dock inte hjälpa varandra med att svara på frågorna under muntans gång). Allt för att göra det hela till en behaglig upplevelse.

Själv hade jag aldrig behövt göra munta under min tid på universitetet. Och hade jag behövt göra det skulle jag ha varit rädd, speciellt första gången. Kan man inte allting utantill känns det inte jättelockande att spendera ens 10 minuter med lärarna som ställer frågor och ber en berätta allt möjligt och bli bedömd på direkten. Kanske till och med utskrattad! Hemskt!

Trots allt detta kom majoriteten av våra elever, läste på innan dess, gjorde sitt bästa under muntan och var i stort sett nöjda med hela experimentet efteråt. Vi ställde för det mesta teoretiska frågor om envariabelsanalys. De fick formulera satser, ibland bevisa något eller lösa något exempel på tavlan. Eleven fick själv välja ett ämne inom anaysen att berätta om, och vi lärarna valde ett annat ur en lista med ämnen (som var känd innan).

Vi hann givetvis inte prata om så mycket med eleven på 10 minuter, men i någon mening blev det i alla fall något som påminde om en dialog. Eleven har chansen att försvarar sig om denne blir missuppfattad, samma gäller oss lärarna. Det var också en fördel att vara flera stycken som diskuterade betyget (eleven fick inte vara med då, men vi var alltid två lärare). Det var inte bara den rena kunskapen vi betygsatte utan också förmågan att berätta matematik för någon annan och kunna uttrycka sina tankar.

För är inte det som är målet med alla våra kurser egentligen? Den faktiska kunskapen spelar sekundär roll, förståelsen kommer med tiden. Det mesta i kursen är ändå inte särskilt viktigt att kunna i ens framtida yrke. Att kunna förklara sina tankar däremot är en av de mest grundläggande färdigheterna som behövs för framgång!

Bläckfisken på bilden har ingenting med gåtan att göra.

I ett hav bor många olika bläckfiskar. Om en bläckfisk har jämnt antal armar så talar den alltid sanning, men om den har udda anta armar så ljuger den alltid. En gång sade den gröna bläckfisken till den mörkblåa:

- Jag har 8 armar. Och du har bara 6.

Då blev den mörkblåa sur:

- Det är jag som har 8 armar. Du har bara 7.

Den svarta bläckfisken höll med:

- Den mörkblåa har verkligen 8 armar. Men jag har hela 9!

Varpå den randiga bläckfisken sade:

- Det är ingen av er som har 8 armar! Bara jag har 8.

Vilka bläckfiskar hade exakt 8 armar?

Skicka in lösningar med motivering på mail som ni hittar här.

Jag har fått in följade lösningar:

Den här kommer från min vän Per.

Och denna är från Robin, som går i klass 9c1 på Häggviksskolan i Stockholm.