Mattebloggen

På ett papper finns en bild på en svart kvadrat. Du har tillgång till 7 kvadratformade brickor av samma storlek som den ritade kvadraten. Hur ska du göra för att täcka över kvadraten  med brickorna så att inga brickor ligger på varandra och varje bricka täcker åtminstone en liten del av kvadraten (åtminstone en punkt inuti)?

Lägg ihop bitarna nedan till en figur, som har en symmetriaxel. Det betyder att figuren skall vara spegelsymmetrisk i en viss linje. Varje bit skall användas exakt en gång.

Lösning:

Johans lösning:

Två andra lösningar:

Första mötet med matematisk logik är för många påståendet ”Jag ljuger”. Det är förstås en paradox, eftersom någon som talar sanning,  kan inte påstå att han ljuger. Och tvärtom, någon som ljuger, kan inte tala sanning om det. (Egentligen menas påståendet ”Jag ljuger just nu” här.)

Sådana här logikkluringar är perfekta för nybörjare i matematik. Det är klart och  tydligt att någonting antingen kan vara falskt eller sant. Därför är uppgifterna nedan väldigt bra exempel på hur matematiker i allmänhet resonerar. Man lär sig vad matematiskt ”eller” och ”implikation” betyder som en del av språket för bevisredovisning och inte som formella symboler.

Dessutom har logikuppgifter fördelen att deras formuleringar inte alls låter som matte. De ges med fördel till barn som har matteallergi. Berätta då inte att det är matematik innan de satt igång!

Exempel på problem från mattecirkeln:

1. Magdas katt nyser alltid ett dygn före regn. Idag nös katten. ”Det kommer regna imorgon”, tänkte Magda. Har hon rätt?

2. `Kristian har fler än 1000 böcker”, sade Bodil.
”Nej, han har mindre än 1000 böcker”, sade Calle.
”Minst en bok har han säkert”, sade Emil.
Om bara ett av påståenden är sant, hur många böcker kan Kristian ha?

3. En gång blev Robinson tillfångatagen av en vild stam. Deras hövding sade: ”Enligt seden måste du uttala ett påstående. Om det blir sant ska vi äta upp dig. Om det blir osant ska vårt tama lejon äta upp dig.” Vad måste Robinson säga?

4. I ett land finns endast tre städer: Sannholm, Löngeborg och Turmö. Sannholmsborna talar alltid sanning, Löngeborgarna ljuger alltid och de som bor i Turmö turas om strängt att tala sanningar och lönger.
En dag såg en jourhavande brandsoldat en rök och telefonen ringde. ”Vi har en brand! ” ”I vilken stad brinner det? ” ”I Turmö ”. Till vilken stad skall brandkåren?

På hur många sätt kan man skriva talet 2009 som en summa av några positiva nästan lika heltal? Talen kallas nästa lika om deras skillnad är (till beloppet) maximalt 1. Sätten betraktas som samma om det enda som skiljer dem åt är ordningen på termerna.

På ett område 1km x 1km växer en tallskog. Tallarna har alla diameter 50 cm. Visa att en fältbiolog kan hitta en ledig rektangel 10m x 20m i skogen, för att kunna sola där med alla sina vänner om det finns

a) 1200

b) 4200

c) 4500

d) 4600

träd i skogen.

Som taggen i inlägget antyder, så skall vi använda oss av lådprincipen. Försök att dela in hela skogen i ”lådor”, som en första gissning låt de vara 10m x 20m stora. Det får plats 100 x 50 = 5000 sådana gräsplättar i skogen, men de kan innehålla träd. Notera dock att ett träd kan ”sabba” maximalt fyra områden, om trädcentrumet är precis i korsningen till exempel. Således kan 1200 träd sabba maximalt 4800 områden. Men då finns minst 200 osabbade områden. Fältbiologen kan välja och vraka!

Men hur ska man lösa problemet när det finns många fler träd? Vi nöjer oss med att lösa d), eller till och med för 4607 träd i skogen. Här nedan kommer Johans lösning.

Lösning:

Antag att det finns 4607 träd i skogen. Dela upp skogen i områden 10,5 m x 20,5 m på följande sätt:
Det får plats med 48 stycken långsidor på bredden och då är det 16 meter kvar också. På höjden finns det plats för 95 stycken kortsidor och då är det 2,5 meter kvar. Det betyder att vi kan få in några fler områden i remsan som är kvar till höger, nämligen 48 stycken. Totalt fås 48 x 95 + 48=4608 områden, alla med storlek 10,5 m x 20,5 m. Men det betyder ju inte att det finns områden utan träd, för ett träd kan stå på fler områden samtidigt.

Men det finns åtminstone ett område utan trädcentrum på grund av lådprincipen (det finns 4607 trädcentrum, men 4608 områden). Vi tittar närmare på detta område:

Om ett trädcentrum bara kan befinna sig utanför området, kan det bara ”intränga” på området med 25 cm. Den inträngningen sker från kanten. Alltså, om vi klipper bort 25 cm från varje sida, så är vi garanterade att ha trädfritt på det nya området. Vi ha klippt bort 0,5 meter på varje håll, så det området som är kvar är precis 20m x 10m, vilket var precis det som behövdes!

Förra veckan befann jag mig på en mattekonferens i Glasgow. Temat var kategorifikationer, så ni kan gissa att de flesta av föredragen var ganska svåra. Det hände mer än sällan att jag bara förstod en liten del eller inte något alls.

Det lustiga är dock att det till en väldigt stor del beror på hur föreläsaren lägger upp presentationen och till en inte så stor del på innehållet. Själv har jag hållit i färre föredrag än det finns fingrar på min vänstra hand, men lyssnare har jag varit på många fler än vad jag kan minnas.

Så jag tänkte ge en lyssnares perspektiv på det hela. Eventuella föredragshållare som läser detta får betrakta listan som tips för eventuell förbättring.

Låt oss dock enas om att föredragen i fråga är inte för allmän publik, det vill säga snarare om något expertområde. Det kan vara en specialföreläsning för studenter, något för temadagen på högstadieskolan, men absolut inte något politiskt tal till exempel. Föredraget hålls för större publik, säg 15 personer eller fler, som kan ha mycket olika bakgrund men är intresserade av föredragets ämne (alternativ finner titeln spännande). På förhand känner föredragshållaren inte till alla i publiken.

På vilket sätt undviker man att göra det för lätt, för svårt eller med för hög sömnfaktor?

1. Förebered innehållet. Förhoppningsvis vet du på förhand vad du vill säga. Det märks tydligt om talaren kan sin sak väl och föredraget flyter smidigare om så är fallet. Skriv ner precis allt du ska säga tydligt på stödpapper, om du skall använda tavlan, i annat fall är det fördelaktigt att skippa anteckningar.

2. Planera tiden. Det är mycket vanligt att tiden tar slut innan du hunnit berätta allting. Ett sätt att undvika detta är att repetera föredraget högt själv eller framför testpublik och se hur lång tid det tar. Sedan lägg på en tredjedel av den tiden för eventuella frågor. Om det ändå blir tidsbrist när du väl gör det på riktigt, var inte rädd att avsluta tidigare än du tänkt. Visst vill man kanske förmedla något väldigt viktigt, men det kan göra mer skada än nytta när publiken ändå är för trötta för att lyssna. Tycker de att föredragets början var spännande, kommer de kanske själva komma fram och fråga det som intresserar dem efteråt. Kom ihåg att föredraget är till för publiken.

3. Presentera idén. Det finns något viktigt i det du har att säga. I matematiken är det ofta någon idé som tillämpas under föredraget. Börja gärna med att säga några ord om vad du vill förmedla och vad som är största poängen i det som kommer. Nämner man inte det alls är det stor risk att många förlorar sig i de tekniska detaljerna och då inte tar till sig idén.

4. Använd illustrationer. Säg att du använder tavlan. Kom ihåg att ”en bild säger mer än 1000 ord” och försök att vid varje tillfälle ha åtminstone en bild eller ett diagram någonstans på tavlan. Annars tilltalar inte föredraget människor med visuell förståelse. Samma sak om du använder overhead (eller powerpoint) – ha sliden liggande och synlig i åtminstone 3 minuter. Rita gärna på overheadslides eller ha stegvis uppbyggande av powerpointsidor, då ser åskådaren hur bilden skapas och mycket lättare kan följa talarens tankegång. Notera också att inte bara bilder kan vara bra illustrationer, även exempelvis vardagsberättelser kan illustrera en poäng.

5. Tala till publiken. Som sagt, du föreläser inte för tavlan, golvet eller väggen, utan för publiken. Vanan att titta på lyssnarna när man talar kommer naturligt med erfarenheten. Ögonkontakten inbjuder åskådarna till mer interaktion, som till exempel att ställa frågor.

6. Undvik sidospår. Det händer att man kommer på något extra att säga eller upptäcker ett sätt att förklara något extra noga. Inget fel i sig, men lyssnarna har (förhoppningsvis) mycket ny information att ta till sig redan. Kräver något i ditt föredrag mycket förkunskaper, är det ingen idé att försöka gå igenom dem ”lite snabbt”. Antingen kan personen som lyssnar det eller inte och på kort tid går det inte att få full förståelse. Förklara det svåra i ett par meningar och i stora drag, unvik exakta definitioner och formuleringar.

7. Ha en röd tråd. Påminn om idén från punkt 3 genom hela föredraget. Återknyt det du har berättat till din början, på så sätt blir poängen tydliga. Berättelsen blir också mer växlande: från fördjupande till övergripande. Sammanfatta gärna i slutet vad det är du egentligen har berättat om, tyvärr blir detta sällan gjort på grund av brister i tidsplaneringen,

8. Använd humor, men inte för mycket. Humor kan användas för att väcka upp folk som börjat tänka på annat. Föredrag brukar ha stort kunskapsvärde men inte så högt underhållningsdito. Å andra sidan kommer du inte uppfattas som seriös föredragare om du skämtar för mycket. Ungefär tre roliga meningar eller illustrationer per timme rekommenderas. Som i alla andra sammanhang, var positiv, du har då större chans att nå ut till dina lyssnare.

Lägg ihop bitarna nedan till en figur, som har en symmetriaxel. Det betyder att figuren skall vara spegelsymmetrisk i en viss linje. Varje bit skall användas exakt en gång.

En balansvåg har två skålar. Om tyngderna på skålarna är lika visar balansvågen jämvikt. Annars visar den vilken skål som är tyngre. Det finns en stor påse strösocker, en balansvåg samt en vikt på 1g. Hur kan man snabbast väga upp ett hekto strösocker? Observera att om man lägger två sockerhögar i en och samma skål, så blandar sockret ihop sig till en enda hög förstås.

Lösning:

Det finns två saker vi måste göra: dels hitta på ett sätt att få 100 g överhuvudtaget och dels bevisa att det sättet verkligen är det snabbaste. Det är då kanske mer logiskt att göra detta i omvänd ordning: först uppskatta hur många vägningar behövs som minst, och sedan f’örsöka hitta på en algoritm för detta antal vägningar.

I allmänhet, gör alltid först den delen av lösningen som verkar vara enklast. I vårt fall är det ganska lätt att uppskatta en gräns i alla fall. Vi kan mäta hur mycket socker vi maximalt kan väga upp efter ett visst antal vägningar.

Första gången finns det bara en sak att göra: väga upp 1 g socker med hjälp av vikten. (1 g socker uppvägt)

Andra gången kan vi max väga upp 2 g socker till (placera vikten + 1 g socker på ena skålen och uppnå balans genom att hälla socker i den andra skålen). Efter detta har vi engramsvikten, en sockerhög som väger 1 g och en sockerhög som väger 2 g. (3 g socker uppvägt)

Tredje gången kan vi igen ta alltihop på en skål och på så sätt få en sockerhög som väger 4 g. (7 g socker uppvägt)

Fortsätt räkna på samma sätt, det vill säga väg upp så mycket socker som möjligt varje gång. Efter 6 gånger kommer vi ha 63 g socker uppvägt som mest. Det kan vara uppdelat i olika högar, men det är bara 63 g totalt som vi känner till massan för. Alltså räcker det inte med 6 vägningar.

Men går det med 7?

Det går faktiskt, men det är ett lite lurigt sätt. Jag tackar Johan som har berättat lösningen för mig. Djalal hade också en korrekt lösning.

Först observerade vi att man kunde dubbla all vikt man hade. Men genom att strunta i att använda engramsvikten, så kan vi dubblera allt vi hade minus 1 gram. Man kan förstås få dubletter av enskilda småhögar också, eller få en hög som vägde 1 g mer än en annan. Vi kan faktiskt även få en hög som väger 1 mindre än en viss vald, helt enkelt genom att placera den gamla högen på ena vågskålen och engramsvikten på den andra och sedan hälla socker tills det blir balans.

Första vägningen: 1 g vikt = 1 g socker

Andra vägningen: 1 g vikt + 1 g socker = 2 g socker

Tredje vägningen: 3 g socker = 3 g socker

Fjärde vägningen: 6 g socker = 6 g socker

Femte vägningen: 1 g vikt + 12 g socker = 13 g socker

Sjätte vägningen: 25 g socker = 25 g socker

Sjunde vägningen: 50 g socker = 50 g socker

Efter den sista vägningen har vi två högar med 50 g socker i varje, så det är bara att lägga ihop dem. Vi har fått ett hekto strösocker!

Om du precis har börjat intressera dig för matematik, då säger jag grattis! Du kommer att bli fascinerad av problem, teorier och bevis många gånger!

Det är inte lika lätt om man fått matematiken serverad på ett guldfat sedan barnsben (eller tonårsben). Ju längre tid som går, desto mer måste man lära sig för att bli imponerad av något nytt tankesätt. Men som pris får man oftast upptäcka något ännu mer fascinerande än förra gången.

Ett av de här tillfälen var jag med om när jag för första gången besökte Uppsala. Det var någon gång vid årsskiftet 2001/2002 och jag gick i ettan på gymnasiet och kunde förstås inte så mycket om universitetsmatematik. Vilket i och för sig inte behövs för historien. Men snart får ni se hur allt ändå hänger ihop.

Vi fick sitta i ett klassrum och en matematiker berättade följade problem för oss.

Tre olika cirklar ligger i planet och de skär inte varandra (och ligger inte inuti varandra heller). För varje par av cirklar dra två linjer, som tangerar båda två cirklarna. Om cirklarna är olika stora, kommer dessa två linjer att skära varandra. Frågan är nu: kommer de tre erhållna skärningspunkterna att ligga på samma linje?

Det visar sig att de måste. Försök att lösa problemet med den geometrin du kan. Det verkar vara svårt att visa, genom att bara rita linjer och bestämma vinklar i planet.

Däremot finns en elegant lösning, som använder sig utav en tredje dimension!

Varför och hur?

Det är en väldigt imponerande idé, att gå högre upp än vad som verkar behövas. Om problemet inte kan lösas, så skall man försöka att titta på det ur en annan synvinkel. Men oftast ligger svårigheten i att välja rätt synvinkel.

Just att gå upp i högre dimensioner visade sig vara nyttigt även i andra vetenskaper. Mycket förklarades av insikten om att jorden är sfärisk, extra dimensioner behövs för att strängteorin skall hålla. Även min forskning handlar om att förstå enklare strukturer genom att titta på de mer kompilcerad. Men hur hjälper den tredje dimensionen i vårt problem?

Föreställ er att det inte är cirklar, utan klot som ligger på ett plant papper, då ser det hela precis ut som på bilden om vi kollar uppifrån. Linjerna är fortfarande linjer, men i rymden kan vi faktiskt konstruera oändligt många linjer som är gemensamma tangenter till två av kloten. Alla dessa gemensamma tangenter bildar en kon, som har sin spets i papprets plan. Spetsen är då även skärningspunkten för de ursprungliga två linjerna.

Men om det finns tre kulor, så är det inte bara så att alla kan läggas på ett papper, vi kan lägga ett plant papper ovanpå dem också! Det pappret tangerar alla kloten, och det har lika mycket rätt att innehålla konspetsarna som det undre planet hade.

Således finns konspetsarna, det vill sägga de erhållna tre punkterna i båda planen. Och två plan skär varandra i en linje! Alltså ligger punkterna på en och samma linje.

Nu kan vi alltså glömma bort hela tredje dimensionen-grejen. Vi har visat att de tre punkterna ligger på samma linje i det tvådimensionella planet.

Här kan ni även titta på en film som illustrerar lösningen.

Vår mattecirkel tuffar på vidare. Den är fortfarande med Anna, men eftersom jag tänkte skriva lite fiktion här, så skriver jag inte ut det i titeln.

För nyligen läste jag i en klok bok om hur man lär ut induktion. Bland annat fanns en påhittad dialog mellan en elev och en lärare där bådas tankegångar var klara. Man kunde se vanliga tankefel hos eleven och hur man kunde sätta eleven på rätt tankespår genom ledande frågor.

Den senaste gången handlade vår lektion om lådprincipen, som är även känd under namnet Dirichlets princip. Här är några av problemen som löstes:

1. a) Bland 22 elever finns fler pojkar än flickor. De sitter på rad. Visa att de finns minst ett par pojkar som sitter sida vid sida.
b) Bland 21 elever finns fler pojkar än flickor. De sitter på rad. Kan man vara säker på att det finns minst ett par pojkar som sitter sida vid sida?

2. Det finns 15 små hål i en maläten matta 4×4 m. Visa att man kan klippa ut en liten matta  av storlek 1×1 som är utan hål eller med ett hål på kanten.

3. a) Givet 10 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?
b) Givet 11 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?

Och här är ett (!) utav möjliga scenarion för en genomgång om lådprincipen.

Läraren: Tänk på följande problem. I en kasse ligger vita och svarta strumpor. Hur många strumpor måste man som minst ta upp ur kassen (om man måste dra på måfå) för att garanterat få upp två strumpor av samma färg?

…

Eleven: Det måste ju vara 3 strumpor! Har vi maximalt otur kommer de första två strumporna vara av olika färger. Men då måste den tredje ha samma färg som nån av de första två. Så minsta antalet är 3 strumpor.

Läraren: Helt rätt! Men var försiktig med vad du menar med ”maximal otur”. Till exempel, att först dra upp en vit strumpa och sedan en svart eller lika mycket otur som att först dra upp en svart strumpa och sedan dra upp en vit. Och i uppgiften är det inte viktigt att få upp strumporna så snabbt som möjligt, utan vara säker på att dra upp två lika för ett visst antal.

Nästa fråga: I en studentkorrior på 5 rum bor 6 personer. Visa att det finns ett rum med minst två personer.

Eleven: Enkelt! Sätter man in 1 person i varje rum så blir det 1 över och då måste den personen flytta in i något rum där det redan finns nån!

Läraren: Men varför måste det vara minst 1 person i varje rum, det stod det inget om i villkoren?

Eleven: Nej, ok, men det var det sämsta möjliga fallet.

Läraren: På sätt och vis är väl alla fallen ”sämst” hur vi än gör, det blir ju minst 2 personer i något rum i alla fall? Varför skulle vi inte kunna omplacera personerna på något smart sätt så att det inte behöver vara 2 eller fler i något rum?

Eleven: Men det går ju inte! Om något rum blir tomt, så måste det bli fler med ett annat!

Läraren: Men nu utgår du ändå från att du först placerar in 1 person i varje rum.

Eleven: Ok, jag börjar om från början. Om det är 0 eller 1 personer placerade i varje rum, så räcker inte rummen till för 6 personer.

Läraren: Precis! Nu har du i stort sett bevisat lådprincipen. Om det finns n stycken rum och fler än n personer, och personerna bor i rummen, så måste något rum ha minst 2 personer. Eller, i en mer välkänd version:

Om n lådor innehåller minst n+1 duvor, så innehåller någon låda minst 2 duvor.

Bevis är precis som i problemet. Om varje låda skulle innehålla maximalt 1 duva, skulle n lådor maximalt innehålla n duvor. Motsägelse.

Lektioner fortsätter på liknande sätt och problemen ökar i svårighetsgrad. Problem nummer 2 skulle kunna vara följande:

I en granskog växer en miljon granar. Varje gran har som mest 200000 barr. Visa att det finns två träd i skogen med samma antal barr.

Oftast är det bra att poängtera när man går igenom lösningen vad som är lådor och vad som är duvor. Det är inte så självklart i problemen från utdraget ovan. Notera också att man oftast drar igenom beviset för lådprincipen varje gång istället för att bara citera den. Det är essentiellt för förståelsen av principen.