Mattebloggen

På ett område 1km x 1km växer en tallskog. Tallarna har alla diameter 50 cm. Visa att en fältbiolog kan hitta en ledig rektangel 10m x 20m i skogen, för att kunna sola där med alla sina vänner om det finns

a) 1200

b) 4200

c) 4500

d) 4600

träd i skogen.

En dag bestämde sig en snigel för att starta en resa. Snigeln rörde sig framåt längs med en rak sträcka i 6 minuter tills det var nog för dagen. Under den tiden kom några människor och tittade på snigels underbara resa. Hela tiden var snigeln betraktad av åtminstone en människa. Det visade sig att varje människa kollade på snigeln i exakt 1 minut och under den tiden kröp den exakt 1 meter. Hur mycket kunde snigeln maximalt krypa under den dagen?

Uppgiften kunde misstolkas lite här och var, så det behövs lite förtydliganden. För det första så betraktade varje människa snigeln bara under resans gång. För det andra, så kollade varje människa på snigeln 1 minut i sträck och inte utspritt hur som helst.

I allmänhet, om problemvillkoren kan tolkas på flera sätt, tolka dem på det enklaste möjliga sättet. Vill jag ge en svårare uppgift, kommer jag poängtera det också.

Lösning:

Först ett litet lemma (hjälpsats). Jag påstår att snigeln aldrig kunde krypa mer än 2 meter under 1 minut. Varför det?

Om man fixerar en minut så kan det hända två saker. Antingen kollade en speciell människa på snigeln just den minuten och då kröp den exakt 1 meter. Eller så fanns ingen sån speciell människa.

Men någon kollade ju på snigeln hela tiden och en viss särskild människa, som började kolla innan den fixerade minuten, slutade kolla på den sist av alla (som började innan). Och på andra änden av den fixerade minuten finns en annan unik människa, som började kolla efter minuten började, men ändå var först av alla sådana människor. Den särskilda och den unika människan kommer tillsammans täcka hela minutintervallet på grund av hur vi valde dem. Var och en av dem bidrar med högst 1 meter till minuten, alltså max 2 meter totalt.

Då är det inte så mycket kvar av problemet!

Någon människa började ju kolla precis när snigeln startade sin resa. Det betyder att snigeln kröp exakt 1 meter under sin första minut. Samma sak gäller sista minuten, för någon var tvungen att kolla på snigeln precis in i det sista. Det är då 4 ”mittenminuter” kvar och på grund av lemmat kunde det sammalagt ge max 8 meter. Alltså kan avståndet maximalt vara 1+1+8=10 meter.

Nu ska vi bara lyckas hitta på en situation då snigeln kryper exakt 10 meter. Vi vet nu att varje ”mittenminut” måste uttnyttjas till max. Här är ett exempel:

Idén är att utnyttja tiderna maximalt: snigeln rör sig jättefort när bara människa kollar på den. Annars, om det inte är start- eller slutminut, så står snigeln stilla (och vilar). Klart!

Veckans hedersomnämnanden går till både Johan och Ove, som hade rätt idéer och nästan färdiga lösningar.

Igår skedde en viktig etapp i att utse Sveriges vassaste (i matematik) gymnasieelever. Det var det nordiska matematiktvälingen NMC (Nordic Mathematical Contest). Ungefär 20 personer från varje land i Norden får delta i tävlingen, men det är inte så mycket kamp mellan länder, som kamp inom länder. Löser man flest problem i sitt eget land, har man stor chans att komma vidare till den internationella matematikolympiaden (som i sin tur är lika mycket en persontävling som landtävling).

Här är årest problem. Hur många kan du lösa? (Jag har löst tvåan än så länge).

Flera av mina bekanta har berättat för mig vad deras första möte med riktiga matematiska bevis var. Och man märker kanske inte först att det man läser eller hör om är så kallade riktiga bevis, förrän man läser ordet ”bevis” explicit. De första sådana för var och en kunde ha varit bevis för Pythagoras sats, något induktionsbevis eller motsägelsebevis.

Här tänkte jag berätta om den mest klassiska klassikern av motsägelsebevis, nämligen att roten ur 2 är ett irrationellt tal.

Vad betyder irrationellt?

Ett irrationellt tal är ett tal som inte går att få med hjälp av naturliga tal 0, 1, 2, 3 …. och de aritmetiska operationerna +, -, * och /. Talen som däremot går att få på det sättet kallas rationella, till exempel . Rationella tal kan alltså skrivas som bråk.

Irrationell och rationell är helt enkelt motsatser. På grund av den här negativa definitionen (det vill säga definiera något genom att använda ett ”inte”), är det naturligt med ett negativt bevis till påståendet (det vill säga motsägelsebevis).

Påstående: är ett irrationellt tal.

Tankegång: Vi skall alltså bevisa att inte är ett rationellt tal. Kan verka svårt först, vi kan ju inte riktigt testa alla möjligheter, alla bråk som överhuvudtaget går att få fram. T.ex. (bara ett exempel nu, helt onödigt för beviset!!!):

Är Nej, för då skulle deras kvadrater vara lika , vilket absolut inte är sant!

Men det finns oändligt många bråk, vi kan sitta och gissa bråk som är ungefär lika med roten ur 2 och sedan verifiera att de inte är exakt lika. Men bara för att vi inte kan hitta något bevisar inte att det inte finns!

Det är nu vi inser att det faktiskt skulle vara lättare att på något sätt testa alla möjligheter samtidigt. Med det menar jag att vi antar att det finns ett sådant bråk och vi sedan kommer fram till att det aldrig kan bli likhet med roten ur 2. Det är kärnan i alla så kallade motsägelsebevis: antag att det går (antag det positiva påståendet, det utan ”inte”) och kom fram till motsägelse.

Bevis: Antag att roten ur 2 är lika med något bråk. Förkorta bråket så långt det går, så att nämnaren och täljaren inte längre går att dela med samma heltal. Vi har alltså nu:

och a och b är heltal som inte har någon gemensam delare.

Som förut försöker vi kontrollera likheten genom att kvadrera:

,

så

.

Varför är denna likhet omöjligt då? Vi tar hjälp av talteori, läran om heltal och delbarheter.

Vänsterledet är ett jämnt tal, så högerledet, måste vara det också. Alltså går att dela med 2, dvs , där är ett heltal. Skriv om likheten:

.

MEN detta innebär ju att så med samma resonemang som förut får vi att är ett jämnt tal. Men nu kommer vi fram till motsägelse, eftersom i situtationen då både och är jämna går det faktiskt att förkorta bråket (med 2). Nu är vi faktiskt klara.

Vi blev klara så fort vi fick motsägelse i vår lösning. Det är därför det heter motsägelsebevis.