Mattebloggen

Vi människor läser vanligtvis från vänster till höger och uppifrån och ner. Ödlor är inte lika snabba på att läsa, men de kan göra det på fler olika sätt. Ödlan kan läsa en bokstav och sedan förflytta sig ett steg ner, upp, till höger eller till vänster för att fortsätta läsa.

På hur många sätt kan en ödla läsa ordet FJÄRIL här nedan?

I ett tehus träffades 55 människor, de var indier och turkar. Varje person drack antingen te eller kaffe. När en indier dricker te så talar han alltid sanning och när han dricker kaffe så luras han alltid, turkarna är precis tvärtom. På frågan ”Dricker du kaffe?” svarade 44 personer ”ja”, ”Är du turk?” svarade 33 personer ”ja” och ”Regnar det ute?” svarade 22 personer ”ja” på. Hur många indier drack te på tehuset?

Notera att det är okänt huruvida det regnade eller inte. Teoretiskt finns det alltså två olika situationer. Men ställer man upp ekvationssystem, så kan man komma fram till att ena situationen (att det inte regnar ute) är omöjlig. Här nedan följer Johans lösning, som klarar sig galant utan ekvationer.

Lösning:

Vilka är det egentligen som svarar ”ja” på frågan om de dricker kaffe? De enda som svarar ”ja” är kaffedrickande turkar (som ju talar sanning) och tedrickande turkar (som ljuger om sitt tedrickande). Så antalet ”ja”-svar är precis antalet turkar. De som svarar ”nej” är tedrickande indier (som talar sanning) och kaffedrickande indier (som ljuger om sitt kaffedrickande). Så antalet turkar är 44 och alltså är antalet indier 11.

Vad säger oss svaren på frågan ”Är du turk?” egentligen? Det är kaffedrickarna som svarar ”ja” och tedrickarna som svarar ”nej” (oavsett nationalitet). Så antalet kaffedrickare är 33 och tedrickare 22.

Eftersom antalet indier är 11 och det är 33 personer som dricker kaffe, så måste minst 22 turkar dricka kaffe. Om exakt 22 turkar talar sanning (dricker kaffe), så dricker alla indier kaffe. I det fallet finns alltså 0 indier som dricker te. Då är det enbart de 22 kaffedrickande turkarna som talar sanning på det här tehuset och alltså regnar det ute (om det inte hade regnat, skulle 33 personer ha talat sanning).

Antalet ”ja”-svar på frågor stämmer i det här fallet, så noll tedrickande indier är en möjlig lösning. Vi måste dock kontrollera att inga andra varianter finns.

Tidigare kom vi fram till att antalet kaffedrickande turkar är minst 22. Det fallet vi inte har undersökt än när de fler än 22. De talar sanning och då kan det inte regna ute (för annars skulle vi fått fler än 22 ”ja”-svar).

Då är antalet sanningssägare 33 (för de andra 22 personerna ljög och sa att det regnade). Men vi vet att antalet sanningsägare
måste var ett jämt tal. Varför det?

Genomför följande experiment. Om en turk och en indier har olika innehåll i koppen låt de byta koppar med varandra. Men då går de antingen från att båda ljuger till att båda talar sanning eller tvärsom. Låt då alla turkar ta så mycket kaffe de kan genom sådana byten. Det finns 33 kaffekoppar, så till slut dricker 33 turkar kaffe och 11 indier dricker te (det enda de kan dricka efter experimentet). Så antalet sanningsägare har blivit 44. Men notera nu att vid varje byte så ökade antalet sanningssägare med 2 eller minskade med 2 (ändrade inte paritet). Så det måste ha varit ett jämnt antal sanningssägare från början. Vilket motsäger att 33 sanningsägare från början skulle varit möjligt.

Alltså är 0 tedrickande indier den enda möjligheten.

Det finns en rutig remsa 1xn:

Anders och Filip spelar ett spel. De turas om att göra drag: Anders får sätta ett kryss i en tom ruta och Filip får sätta en ring i en tom ruta. Dock får inte två kryss hamna bredvid varandra och inte heller två ringar. Spelaren, som inte kan göra ett drag när det är hans tur, förlorar.

Anders gör det första draget. Vem har ett vinnarstrategi, det vill säga vem kan alltid vinna oavsett hur motståndaren spelar?

Observera att svaret kan bero på talen n, som säger hur lång remsan är.

En trollkarl med bundna ögon och hans assistent utför följande trick. Trollkarlen har 29 kort med talen 1 till 29 på. Han ger korten till någon person i publiken, som väljer ut två av dem. Resten av korten ges till assistenten, som sedan väljer två av de resterande korten och visar till personen i publiken. Personen läser upp högt båda talen för trollkarlen (i vilken ordning han vill). Därefter gissar trollkarlen vilka kort som personen valde ut i början.

Hur skall trollkarlen och assistenen förbereda sig för att alltid lyckas med tricket?

Diskussion:

Problemet kan först verka svårt när vi har så många kort att hålla reda på. När talet i uppgiften är stort, försök att lösa samma uppgift, fast med ett mindre tal. Välj till exempel antalet kort till 5.

Ifall bara 4 kort är inblandade handlar det inte om något trick längre. Assistenen kan ju bara välja de två korten som är kvar och trollkarlen gissar förstås vilka kort som saknas.

Lösning för 5 kort:

För att tricket alltid ska funka måste varje par av tal som trollkarlen hör ge ett bestämt par av tal som trollkarlen sedan ska gissa på. Det gäller alltså att ”para ihop” par av tal och alla dessa fyra tal måste vara olika för lyckat trick. För 5 tal kanske man listar ut svaren på följande sätt:

Para ihop alla kanter i en femhörning med var sin diagonal så som det ser ut på bilden.

Till exempel så är följande kanter bruna: den som binder ihop 2 & 3, samt den som binder ihop 1 & 4. Ifall assistenten ser att åskådaren plockar bort korten 2 och 3, så pekar han på korten 1 & 4 och trollkarlen kan då komma ihåg att kanten 1 & 4 hade den bruna färgen och säga exakt vilka kort som plockades bort från början (de som också hade den bruna färgen).

Ett annat exempel vore om personen i publiken valde korten 1 & 3, så pekar assistenten på korten 4 & 5 eftersom de paren har samma röda färg:

Lösning för 29 kort:

De flesta skickade in lösningen som följer. Här gäller det att tänka som att alla korten läggs på rad och att efter 29 kommer 1 igen. Trollkarlen och assistenten kan även tänka att korten ligger i en cirkel i ordning.

Vad händer då om en person i publiken väljer vilka som helst två kort? Om de inte ligger bredvid varandra, så pekar assistenten på de korten som ligger direkt efter vart och ett av de bortplockade, som till exempel här:

Om de valda korten ligger bredvid varandra, så pekar assistenen på två kort som också ligger bredvid varandra, nämnligen de två som kommer direkt efter. Här är ett exempel:

Trollkarlen kan se skillnad på de olika fallen. Ligger de talen han hör inte bredvid varandra, så gäller det första fallet. Då ska han bara subtrahera 1 från varje (och säga 29 ifall något av talen var 1). Ligger talen bredvid varandra, så ska han subtrahera 2 från varje (på samma sätt här, lite speciell subtraktion vid gränsen).

Notera att lösningen fungerar på samma sätt för vilket som helst antal kort och inte bara 29.

I ett tehus träffades 55 människor, de var indier och turkar. Varje person drack antingen te eller kaffe. När en indier dricker te så talar han alltid sanning och när han dricker kaffe så luras han alltid, turkarna är precis tvärtom. På frågan ”Dricker du kaffe?” svarade 44 personer ”ja”, ”Är du turk?” svarade 33 personer ”ja” och ”Regnar det ute?” svarade 22 personer ”ja” på. Hur många indier drack te på tehuset?

På ett papper finns en bild på en svart kvadrat. Du har tillgång till 7 kvadratformade brickor av samma storlek som den ritade kvadraten. Hur ska du göra för att täcka över kvadraten med brickorna så att inga brickor ligger på varandra och varje bricka täcker åtminstone en liten del av kvadraten (åtminstone en punkt inuti)?

Det kluriga ligger i att lista ut att man kan vrida på brickorna innan man lägger dem på kvadraten. Den lösningen kom de regelbundna lösarna Johan och Ove på, men också niorna Amanda, Elin, Emelie, Adam, Michaela och Hampus från Häggviksskolan i Stockholm. Författaren tackar Adam Jonsson, deras lärare, för hans engagemang!

Här är de inskickade lösningarna, som förstås är egentligen likadana. Notera dock att alla lösningar är fel för att kvadraten inte är svart

Lösning:

Eleverna stirrar i tomma intet, läraren kan inte komma på tillräckliga förklaringar, alla lyssnar intensivt men ingen tar emot vad som sägs. Vad ska man göra när lektionen har blivit för svår? Och finns det någon poäng med att ha svåra lektioner?

För några få människor kan det vara väldigt stimulerande att gå på obegripliga föreläsningar. ”Tänk att det finns så mycket kvar att lära sig” inser de och blir stimulerade till att jobba mer för att ha chansen att första sådana framtida föredrag. Sådana människor har oftast inga problem att lära sig nya saker själva, eller i alla fall har lätt för stimulans för inlärning. Men för de flesta är det tyvärr inte så.

Sådana tillfällen då deltagarna tar till sig alldeles för lite för att kalla det hela ”förståelse” hör inte hemma i den vanliga undervisningen. Antalet träffar är mycket begränsat både i grundskolan och högskolan och man måste utnyttja dem maximalt. Det finns sätt att få i både stimulans, utmaning och förståelse i lektionen utan att göra det för svårt.

Hur gör man då som lektionsledare? Ofast har man (förhoppningsvis) större kunskaper än eleverna och därför också överskattar vad de har koll på och hur lätt det är för dem att förstå någonting nytt. Jag håller därför lektionerna på enklaste möjliga nivån, vilket innebär att jag alltid påminner om vad begrepp innebär. Som man säger på ryska ”Repetitionen är lärandets moder”. Ingen vågar ju ställa frågor om de enklaste sakerna, eller sakerna man gick igenom förra gången, för att inte verka dum. Men det är ju egentligen konstigt att förvänta sig att alla ska kunna allt man gått igenom. Men tyvärr tror de flesta att det är kravet för att vara duktig i skolan.

Det är ungefär som att förvänta sig att när en matematiker definierar någonting, så ska vi genast förstå det. Vadå, han har ju definierat det, det måste vara nu universiellt vedertaget

De bästa lektionerna jag har haft har varit interaktiva, där eleverna är så mycket som möjligt involverade i diskussioner och problemlösning men samtidigt bara då lektionen började på ganska enkel nivå. Det gäller att få igång dem och sedan öka svårighetsgraden långsamt.

En hel del svåra lektioner har jag haft också. Även om man gör det hela så enkelt som möjligt är det ingen chans att man gör det för enkelt men fortfarande stor chans att man gör det för svårt. Det är inte lätt att bryta mitt i lektionen och börja om, men det ger mer för klassen om man går igenom få saker ordentligt och begripligt än att man hinner igenom all tänkt material men tar sig igenpm det för fort.

Vad ska man gör som elev då? Om du upptäcker att du knappt förstår någonting på din lektion eller föreläsning, fråga om den första saken du inte förstod. Om svaret inte klargjorde något, gå därifrån. Antingen kunde inte läraren anpassa sig till din nivå eller så är du inte redo för att förstå ämnet eller så fungerar inte lärar-elev-relationen just på den lektionen. Hur som helst kommer du inte få ut särskilt mycket av att stanna kvar och det är då bättre att studera timmen ut på egen hand.

En trollkarl med bundna ögon och hans assistent utför följande trick. Trollkarlen har 29 kort med talen 1 till 29 på. Han ger korten till någon person i publiken, som väljer ut två av dem. Resten av korten ges till assistenten, som sedan väljer två av de resterande korten och visar till personen i publiken. Personen läser upp högt båda talen för trollkarlen (i vilken ordning han vill). Därefter gissar trollkarlen vilka kort som personen valde ut i början.

Hur skall trollkarlen och assistenen förbereda sig för att alltid lyckas med tricket?

På hur många sätt kan man skriva talet 2009 som en summa av några positiva nästan lika heltal? Talen kallas nästa lika om deras skillnad är (till beloppet) maximalt 1. Sätten betraktas som samma om det enda som skiljer dem åt är ordningen på termerna.

Diskussion:

Först och främst ska man pröva sig fram till lösningar, för att ”känna på” problemet. Det gäller alltså att komma på några sätt att dela 2009 i några nästan lika stora delar.  En första tanke är  att dela upp det som en summa av lika stora delar. Hur man göra det beror på vilka tal 2009 är delbart med.

2009 = 7*287 = 7*7*41

Så till exempel har vi uppdelningarna i exakt lika termer

2009 = 287 + 287 + 287 + 287 + 287 + 287 + 287

2009 = 1 + 1 + … + 1    (2009 stycken ettor)

2009 = 41 + 41 + … + 41    (49 stycken 41:or)

2009 = 2009

Men vad händer om vi försöker dela upp i ett visst antal termer, där antalet inte är en delare till 2009? Till exempel två termer? Då delar vi på två så gott det går, resultatet blir 1004 med rest. Men uppdelningen

2009 =  1004 + 1005

funkar ju, för att 1004 och 1005 är nästan lika.

Försök på samma sätt med tre termer. 2009 delat på 3 blir 669 och resten är 2. Då kan vi göra såhär:

2009 = 669 + 670 + 670

Den här idén med rester kommer vi att använda i lösningen.

Lösning:

Enligt villkoren måste varje sätt att summera upp till 2009 innehålla maximalt två sortes termer: ena kan uttryckas som x och andra som x+1. Ifall det fanns andra tal, skulle de inte vara nästan lika med x eller x+1.

Notera nu att för varje antal termer (beteckna antalet med n), så finns det ett sätt att dela upp 2009 i just så många nästan lika termer. Nämligen, dela 2009 med n med rest:

2009 = n*k + r

där k är kvoten och r är resten. Man vet att resten alltid är mindre än det man delade med, således mindre än antalet termer.

Likheten kan skrivas om:

2009 = k + k + … + k + r

där termen k förekommer n gånger. Men för att få just n stycken termer, fördelar vi r stycken ettor på r stycken k-termer. Det kan vi göra eftersom k är mindre än n. Således:

2009 = k + k + … + k + (k+1) + (k+1) + … + (k+1)

där termer av typen k förekommer (n-r) gånger och termer av typen (k+1) förekommer r gånger.

Så nu har vi 2009 stycken sätt att dela upp! Ett sätt för varje antal termer. Men finns det inga andra sätt?

Nej, faktiskt inte. Vi sa ju tidigare att termerna måste vara x och x+1. Har vi ett fixerat antal termer i summan

2009 = x + x + … + x + (x+1) + (x+1) + … + (x+1)

så kan vi inte ändra vare sig några x till x+1 eller tvärtom, för då skulle det hela inte summera upp till 2009.

Således är svaret: 2009 sätt.