Mattebloggen

 Äntligen har sommaren intagit Sverige och för de flesta av oss innebär detta upphåll från matten.

Inte dock för de som läser sommarkurser och faktiskt inte för mig heller! Min semester spenderar jag på ett mattekollo i Ryssland.

Det innebär för min del att spendera en månad ute i ingenstans i en skog tillsammans med några vuxna och några hundra barn som vi ska lära någon sorts matte. Och samtidigt ansvara för att de mår bra och har skoj. Justja, några miljoner myggor kommer finnas där också.

Förhoppningsvis kommer jag uppdatera lösningarna på de senaste mattegåtorna. Det går fortfarande bra att skicka in lösningsförslag på de sista två. Efter det är den inoficiella tävlingen slut för terminen.

Redan nu kan man konstatera att Johan har vunnit tävlingen och det är kanske inte så konstigt, ty han är doktorand!

Bloggen återkommer till liv den 1 augusti och tills dess, ha en kanonsommar!

Använd valutan euro, mynt och sedlar, för att beteckna talen 1, 2, 5 och 10. Med hjälp av dem och (gratis) parenteser och de fyra räknetecken (+, -, *, /) bilda ett uttryck, vars värde är 2009, genom att spendera så lite pengar som möjligt.

En turist vill ta en promenad i Gamla Stan från busshållplatsen (punkt A) till sitt hotell (punkt B). Han vill ha en så lång rutt som möjligt. Han tycker att det är tråkigt att komma tillbaka till korsningar där han har varit förut, så det undviker han. Rita en så lång rutt som möjligt åt turisten och visa att det inte finns längre.

Lösning:

För att få en så lång rutt som möjligt, måste vi besöka maximalt antal korsningar. Men eftersom varje korsning kundes besökas endasten gång, så går det teoretiskt att göra som mest 35 steg (vi kan gå till alla korsningar utom A).

Men går det verkligen att komma från A till B och på vägen besöka alla rutor? Titta på följande bild:

Här har vi målat korsningarna i ett schackrutigt mönster, varannan svart och varannan vit. Notera att turisten i varje steg byter färg hur han än går.

Men om han börjar i A (vit korsning)och tar 35 steg, så kommer han hamna i en svart korsning (1 steg – hamnar i svart, 2 steg – hamnar i vit, 3 steg – hamnar i svart, 4 steg – hamnar i vit och så vidare).

Men B är inte svart!

Således är det omöjligt att ha en väg som är 35 steg långt.

Däremot går det att hitta på en väg med 34 steg. Det går att göra på många olika sätt, bland annat så:

Låt F₁ vara en godtycklig konvex fyrhörning. För k>1, F_k konstrueras genom att man skär F_k-1 i två delar längs en av dess diagonaler, vänder på en av delarna och sedan klistrar delarna samman längs samma diagonal. Bestäm det största möjliga antalet icke-kongruenta fyrhörningar i följden {F_k}.

Lösning:

(a) Det gäller alltså att hitta något villkor (som kan variera), som när det är uppfyllt ger upphov till exakt 12! olika fall. Det där låter lite luddigt om man inte har funderat på det, men här kommer det mer konkreta förklaringen.

Spader ess är fixt, det kan vi inte flytta på. Säg att vi har något snyggt sätt som kortleken är lagd på. Notera då att vi kan byta plats på alla treor och alla fyror i respektive färg (så hjärter tre och hjärter fyra byter plats osv.)

Men vi kan även byta plats på alla tvåor och kungar samtidigt. Vi kan egentligen byta plats på vilka valörer som helst så länge alla kort av den valören byts mot ett annat fixt valör och så länge essen inte flyttas (de får inte flyttas för spaderesset).

Eftersom man får byta plats på 12 valörer (man kan även byta fler än 2 valörer samtidigt, t.ex. tvåor byts mot treor, treor mot fyror och fyror mot tvåor), så finns 12! sådana byten. Därför är antalet snygga uppläggningar delbart med 12 fakultet.

”Villkoret” här var egentligen att vi fixerade vilken färg varje plats hade samt vilka platser som hade likadana valörer och alla essens platser var också bestämda. Det finns 12! sätt att nu placera ut de bestämda valörerna.

(b) Uppgiften kan ses på ett annat sätt. I fall det finns en 4×13-tabell, där raderna betecknar färger och kolonnerna betecknar valörer, så är antalet snygga sätt lika med antalet sätt som ett torn kan inuti tabellen så att den startar från säg vänstra övre hörnet, kommer till varje ruta en gång och sedan kommer tillbaka till sin egen plats. Kom ihåg att ett schacktorn kan gå lodrätt eller vågrätt godtyckligt många rutor.

Eftersom delen (a) är visat, räcker att bevisa att antalet sätt är delbart med 13. Klistra ihop tabellen längs de korta ändarna så att det bildas ett band med fyra rader. Om vi fixerar en rutt som börjar från spader ess så kan vi rotera bandet 12 steg så att det för varje steg bildas en ny rutt (som inte längre börjar med spader ess).

Vi visar att varje sådan falsk rutt kan göras om till en riktig och den kommer inte vara lika med den ursprungliga.

Varje falsk rutt går ändå igenom spader esset vid något tillfälle, och eftersom den kommer tillbaka till samma ruta som den startade ifrån så kan den lika gärna betraktas som en rutt som börjar i spader ess (som nu är tillåten).

Men varför är det inte lika med det ursprungliga? Då skulle rutten vid en viss rotation avbildas till sig sjäv. Betrakta då vilket som helst vågrätt drag (ett sådant måste finnas). Om vi gör rotationen 13 gånger så ser vi att alla rutor på den raden är startpunkter för vågräta drag (eftersom 13 är ett primtal). Men det kan inte vara möjligt, eftersom vi då inte kommer från den raden.

På så sätt delas rutter upp i grupper om 13 och alltså är antalet rutter delbart med 13!

Bra fysikföreläsare på Uppsala universitet lyser med sin frånvaro, men nyligen hörde jag talas om ett undantag. Jag vet inte vem det är och kommer inte ihåg varför han var bra, men ett undervisningsknep tänker jag någon gång låna från honom.

Innan varje föreläsning försäkrar han om att någon gång under föreläsningen kommer han att ljuga. Det kan vara allt från ett litet faktafel och felräkning på tavlan till dåligt resonemang gällande någon komplicerad förklaring. Poängen är att studenterna då skall reagera och säga åt läraren eller ställa en fråga om det som känns felaktigt.

Tänk er en morgontidning den 1:a april. De flesta stora tidningarna har garanterat någon skämtartikel den dagen och det gäller att komma på vilken. Men det är inte så lätt att komma på!

Jag brukar snabbt bli misstänksam över någon nyhet och tänker ”näää, det där kunde väl aldrig ha hänt”, men sedan vänder jag sidan och har en exakt samma tanke för nästa nyhet. Nästa dag visar det sig att båda nyheterna var riktiga och det var en helt annan grej som var på skämt. Detta visar på att min förmåga att kritisk tänka över nyheter är näst intill obefintlig.

Men samma princip om kritiskt tänkande kan tillämpas på matematiken. Om man inte riktigt kan skilja på sanning och lögn under en föreläsning så accepterar man istället allting godtroget. Även om läraren gör något uppenbart räknefel är det många som inte vågar påpeka det. De litar inte på sin förmåga att urskilja matematiskt sanning från lögn och det kan bero på flera saker. Kanske tränar man inte förmågan särskilt ofta eller så kan man inte tillräckligt om ämnet, som i fallet med mig och nyheter.

”Ljuga på varje föreläsning”-strategin skulle passa utmärkt på matematikföreläsningar. Frågan är ifall den lämpar sig bäst för ”äldre” studenter, som har fått lite kött på benen när det gäller matte, men jag anser inte det. På samma sätt som att man lär ett barn att simma genom att kasta det i vattnet så lär man nya studenter att orientera sig i matte genom att tvinga dem till att göra det.

Den här strategin får elever att lyssna nogrannt, ställa frågor så fort det finns någonting oklart och hindrar dem från att fastna i ett transliknande tillstånd ”skriv av allt från tavlan” (för något kan ju vara fel och då får man skriva om). Varje föreläsning får de en ny intellektuell utmaning, varje gång kommer de ”läsa tidningen” lika noggrant som 1 april!

Så du som har undervisning, prova att ljuga för dina studenter (berätta om det först för dem såklart) och skriv hur det gick!

En turist vill ta en promenad i Gamla Stan från busshållplatsen (punkt A) till sitt hotell (punkt B). Han vill ha en så lång rutt som möjligt. Han tycker att det är tråkigt att komma tillbaka till korsningar där han har varit förut, så det undviker han. Rita en så lång rutt som möjligt åt turisten och visa att det inte finns längre.

Vi människor läser vanligtvis från vänster till höger och uppifrån och ner. Ödlor är inte lika snabba på att läsa, men de kan göra det på fler olika sätt. Ödlan kan läsa en bokstav och sedan förflytta sig ett steg ner, upp, till höger eller till vänster för att fortsätta läsa.

På hur många sätt kan en ödla läsa ordet FJÄRIL här nedan?

Diskussion:

Man kan förstås bara sätta igång och försöka räkna alla sätten. Det är en helt okej metod för att ta reda på svaret, men det finns ingen garanti på att man räknar rätt och inte glömmer någonting. Egentligen går uppgiften ut på att skapa just den garantin, att alla fall är medräknade. Det kallas att man gör systematisk undersökning.

Men det är krånglig att göra en direkt systematisk uppräkning. Det finns 11 stycken F att börja läsa på, redan där 11 fall som vi måste hålla koll på. Vid flera av F:en har vi två vägval, vi måste nämligen välja något J. Och så vidare … och det går förstås att komma fram till rätt svar men det blir mycket krångel.

Det underlättar att notera att bilden är symmetrisk. För varje F utom det längst upp finns ett motsvarande på andra sidan pyramiden. Det finns exakt lika många sätt att läsa FJÄRIL från de speglade F:n. Därför räcker det att räkna ut antalet sätt från de första 5 F:en och sedan multiplicera det med två och sedan addera ett sätt till (från det mittersta F:et går det att bara läsa neråt). Efter det kan man notera mer symmetri som underlättar beräkningar. Det slutar med att man bara måste räkna antalet sätt från de första tre F:en. Det blir totalt 1+5+10+10+5+1+5+10+10+5+1=63 sätt.

Vi kontrollerar detta på ett annat sätt.

Lösning:

Notera att antalet sätt att läsa ordet FJÄRIL är samma som antalet sätt att läsa ordet LIRÄJF (vi låter ödlan läsa baklänges). Och annorlunda formulerat, det är lika med antalet sätt att komma från bokstaven L till kanten av pyramiden, gående till nästa bokstav i ordet LIRÄJF varje gång.

Vi löser ett lite större problem. Nämligen, för varje ruta, sätt ut ett tal som berättar om hur många sätt det finns att ta sig till den rutan om man börjar i L. I början får vi följande bild, ty det finns bara ett sätt att komma till varje I från L:et:

Om vi nu ska forsätta vandra till R:en, så kan vi hamna i vissa R från två olika I. Därför ska antalet sätt adderas där och vi får totala antalet sätt att läsa LIR och sluta i ett specifikt R. Just här är det kanske inte så svårt att räkna dem sätten från början, men metoden blir mer användbar senare:

Forsätt att fylla ut tabellen på det sättet. Varje nytt tal blir summan av talen som kommer ”precis innan”, till exempel på höger sida blir det summan av talet under och talet till vänster (om nu båda finns). Till slut fås tabellen:

Återigen, antalet sätt totalt att läsa ordet LIRÄJF är 1+5+10+10+5+1+5+10+10+5+1=63.

För dig som har orkat läsa så här långt kommer en extrafråga. Vad kommer svaret att vara om vi har ett längre ord istället för FJÄRIL? Låt säga att vi har en pyramid av samma sort, men ett ord som har n olika bokstäver.

Tag en vanlig kortlek med 52 kort. Säg att kortleken ligger snyggt, ifall varje par av kort där ena ligger på den andra antingen har samma färg eller samma valör, samma sak gäller för det översta och nedersta kort samt att spader esset ligger överst. Visa att antalet sätt att lägga kortleken snyggt är

(a) delbart med 12! (12 fakultet, det vill säga 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)

(b) delbart med 13! (13 fakultet)

Det finns en rutig remsa 1xn:

Anders och Filip spelar ett spel. De turas om att göra drag: Anders får sätta ett kryss i en tom ruta och Filip får sätta en ring i en tom ruta. Dock får inte två kryss hamna bredvid varandra och inte heller två ringar. Spelaren, som inte kan göra ett drag när det är hans tur, förlorar.

Anders gör det första draget. Vem har ett vinnarstrategi, det vill säga vem kan alltid vinna oavsett hur motståndaren spelar?

Lösning:

Det finns många sätt att lösa problemet, jag har fått in några fina lösningar, men den här är nog den enklaste.

För det första är n=1 ett specialfall. Det finns bara ett sätt som spelet kan gå till på, nämligen att Anders sätter kryss och Filip kan inte göra något drag längre och därför förlorar.

Men för alla andra storlekar på remsan så vinner Filip. Det roliga är att hans första drag måste vara speciell, men efteråt kan han spela hur som helst så länge hans drag är tillåtna och ändå alltid vinna, oavsett hur Anders spelar.

Anders börjar med att sätta kryss någonstans. Det kan vara på remsans ände eller så kan det vara någonstans däremellan. I vilket fall som helst kan Filip sätta ring i en av remsans ändrutor:

eller

De fortsätter spela under tillåtna regler (aldrig två kryss eller två ringar bredvid varandra). Låt oss säga nu att Filip på något sätt lyckas förlora. Det betyder att han i en viss situation har ingenstans att sätta sin ring och de har precis varit Anders tur.

Eftersom Anders började och det precis har varit hans tur, så har han gjort ett fler drag än Filip, det vill säga det finns ett fler kryss än ringar på remsan.

Men notera att i den här situationen måste två utsatta kryss ha en ring mellan dem. För att två kryss kan inte vara bredvid varandra, och hade det bara funnits tomma rutor mellan dem, så skulle Filip ha en möjlig drag.

Alltså finns det minst en ring mellan varje parav kryss. Om vi börjar räkna upp symboler från kanten där Filip gjorde sitt första drag (första ringen) kommer vi se: ring, kanske fler ringar, kryss, ringar, kryss, ringar, kryss, … , slutar med kryss eller ring. (Här betyder ”ringar” att det kan vara exakt en ring också). Schematiskt exempel: OXOOOXOOXOOOXOOOXOOX.

Men då ser vi att varje kryss har minst en ring strax till vänster om sig. Det betyder att antalet kryss kan i den här situationen inte vara fler än antalet ringar. Vårt antagande om att Filip inte kunde göra drag var fel, därmen kommer Filip alltid att kunna göra drag efter att Anders har gjort sitt. Alltså är det Anders som först inte kommer kunna göra drag och förlorar för n>1.