Lösning till gåta vecka 26
Använd valutan euro, mynt och sedlar, för att beteckna talen 1, 2, 5 och 10. Med hjälp av dem och (gratis) parenteser och de fyra räknetecken (+, -, *, /) bilda ett uttryck, vars värde är 2009, genom att spendera så lite pengar som möjligt.
Diskussion:
Notera att man aldrig ska använda 10:or i sitt uttryck, eftersom de kan ersättas med 2*5. På så sätt använder vi 7 euro i stället för 10 euro.
Ett snabbt sätt att komma upp i höga tal är att använda multiplikation. Vi försöker till exempel att faktorisera talet 2009 och skriva faktorer med hjälp av 1:or, 2:or och 5:or.
2009=41*49=41*7*7=(2*2*2*5+1)*(2+5)*(2+5)
Här använder vi 2+2+2+5+1+2+5+2+5=26 euro, vilket man skulle kunna tro är svaret. Men i uttrycket ovan förekommer faktorn 7, som är ”dyr”. Talet 8 skulle vara ”billigare”, bara kosta 6 euro (2*2*2=8). Vad händer om vi istället försöker faktorisera 2008 eller 2007?
Ett svar:
Genom att prova med olika tal kommer man fram till att det går att klara sig med 25 euro:
2009=2008+1=2*2*2*251+1=2*2*2*(5*5*5*2+1)+1
(2+2+2+5+5+5+2+1+1=25).
Jag har dock inget bevis för att det är det minsta möjliga antalet pengar man behöver använda.
Hej!
På samma sätt som ovan kan man argumentera att man inte BEHÖVER använda 5,
eftersom 5 = (1+2+2) har samma kostnad, så alla 5:or kan bytas ut mot (1+2+2).
Lika gäller för 2 = 1+1.
Således kan man hitta ett uttryck med minimal kostnad innehållandes enbart ettor (och tvåor = 1+1).
Uttrycket ((2*2*2*2*2*2-1)*2*2-1)*2*2*2 + 1 är ett sådant.
(Att visa att det är minimalt kräver nog ett argument om hur många 2:or som måste vara med.)
Ett annat sätt att göra med 25 euro vore
(2*2*2*5*5+1)*2*5-1
men det har du förmodligen redan tänkt på. Det känns svårt att föreställa sig att det skulle finnas en bättre lösning. Att tillåta potenser skulle ju dock förbättra situationen väsentligt.