Mattebloggen

Eftersom föregående inlägget inte innehöll något strikt bevis, så var lösningen i den givetvis fel :). Det bästa sättet jag hade kommit på använde man sig av 25 euro.

Johan kom på ett sätt, där det går att klara sig med 24 euro. Tricket är att se 7:or som 2*(2+1)+1, det vill säga att de kostar bara 6 euro.

2009 = 49*41 = 7*7*41 = (2*(2+1)+1)*(2*(2+1)+1)*41 = (2*(2+1)+1)*(2*(2+1)+1)*(2*2*2*5+1)

2+2+1+1+2+2+1+1+2+2+2+5+1=24

Men det finns fortfarande inget bevis för att det skulle vara det minsta antalet pengar. Vi måste på något sätt bevisa att det aldrig går med 23 (eller hitta på ett exempel då det går).

Allmänna saker man kan säga är att multiplikation är det bästa sättet att få fram stora tal. Då är frågan vilka tal som är bäst att multiplicera, för att vi ska få så stort resultat som möjligt och spendera så lite pengar som möjligt. Vi struntar just nu i att uppgiften handlar om talet 2009.

1 är meningslöst att multiplicera med sig självt.

2-potenser är 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 och så vidare. De kostar 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 euro respektive.

3-potenser är 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187 och så vidare. De kostar 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 euro respektive.

4-potenser kostar lika mycket som 2-potenser, eftersom 4=2*2.

5-potenser är 5, 25, 125, 625, 3125 och så vidare. De kostar 5, 10, 15, 20, 25 euro respektive.

Här ser vi att 3-potenser egentligen är bäst bland de här, eftersom för 21 euro kan vi få 2187, medan ett mindre tal 2048 kräver för 2-potenser hela 22 euro. På liknande sätt kan vi jämföra med 5-potenser: 625 kostar 20 euro, men med 3-potenser kan vi få talet 729 med bara 18 euro.

Men vad händer om vi fortsätter med 6, 7, 8 euro?  Där finns det bättre sätt att skriva just de talen än 1+1+…+1, nämligen

6 = 2*(2+1) fås med 5 euro,

7 = 2*(2+1)+1 fås med 6 euro (som förut),

8 = 2*2*2 fås med 6 euro (och i så fall blir lika bra som 2-potenser).

Vi kan se att i omskrivningar av de här talen använde vi faktiskt endast multiplikation med 2 och 3 och plussade på 1:or när det behövdes. Det tyder på att multiplikation med 2-3 är optimal. Det har att göra med att talet e = 2,718281828… ger snabbast tillväxt vid multiplikation med sig själv, men vi kan ju bara använda heltal.

Detta var egentligen Johans funderingar också, men vi har fortfarande inte kommit på något sätt att lösa gåtan helt. Alla ytterligare förslag är välkomna!