Lite roligare matematik
Archive for september 2009
Cissi klippte ut två likdana figurer ur en stor kartong. Sedan la hon dem på bottnen av en rektangulär låda så att de delvis täckte varandra. Det visade sig att hela bottnen blev täckt.
Sedan slog Kalle in en spik i mitten av lådans botten. Kunde det bli så att spiken gick igenom ena figuren, men inte den andra?
På tavlan skrev matteläraren Adam en uträkning. Men precis innan lektionen skulle börja, så busade någon utav eleverna och bytte ut två siffror mot nya. Därefter stod det:
Men vilka var siffrorna från början?
En av möjligheterna är att båda siffrorna som byttes ut var på vänstra sidan om likhetstecknet. Men en av fyrorna måste vara riktig i vilket fall som helst, eftersom det finns tre stycken. I så fall måste multiplikationen resultera i ett jämnt tal, vilket det inte gör om talet till höger är riktigt. Därför är det här fallet omöjligt.
En annan möjlighet är att båda falska siffrorna är i det stora talet. Men i så fall är 4x5x4x5x4 vad som stod på tavlan från början. Men 4x5x4x5x4=1600 och det går inte att få 2247 ur 1600 genom att bara byta ut två siffror.
Sista möjligheten som vi har kvar är att en siffra på vardera sida av likhetestecknet hade bytts ut. Vi kan observera att en av dem är 7:an eftersom en av 4:orna måste vara korrekt och i så fall måste talet vara jämn (alltså ha jämn slutsiffra). Å andra sidan vet vi att en av 5:orna är korrekt, således måste resultatet sluta på 0 eller 5. Vi vet därmed att 0 byttes ut mot 7.
Resultatet är alltså 2240 och vi vet att det är en 4:a eller en 5:a på vänstersidan som är falsk. Vi prövar de två möjligheterna.
Om en 4:a är falsk:
?x5x4x5x4=2240 ger att ?x400=2240 vilket inte ger något svar, eftersom 2240 inte går att dela på 400.
Om en 5:a är falsk:
4x?x4x5x4=2240 ger att ?x320=2240 vilket ger ?=7.
Så det som stod på tavlan från början var:
Det finns ett naturligt tal m, sådant att talet 2m har siffersumma 8. Kan sista siffran i talet 2m vara lika med 6?
Vargen bjöd hem de tre små grisarna och Rödluvan för att titta på film. Efter att de var klara gick Vargen till köket, räknade alla kex och upptäckte att det saknades två. Men han har en stor balansvåg hemma som han kan använda. Hur kan med hjälp av två vägningar bestämma, vem som åt upp kexen? Alla kex väger lika mycket, alla grisar (i alla fall när de precis hade kommit till Vargen) också. Vargen vet även att Rödluvan bantar, så hon kunde max äta upp ett kex.
Låt oss se rent teoretiskt, ifall lösningen är möjlig. Vi har två vägningar på oss, och varje vägning kan ge tre resultat: lika, första skålen väger mer eller andra skålen väger mer.
På så sätt har vi 9 teoretiska utfall efter 2 vägningar, man kan skriva upp dem som en lista, där vägningsresultaten står i ordning:
1. första väger mer, första väger mer
2. första väger mer, lika
3. första väger mer, andra väger mer
4. lika, första väger mer
5. lika, lika
6. lika, andra väger mer
7. andra väger mer, första väger mer
8. andra väger mer, lika
9. andra väger mer, andra väger mer
Å andra sidan har Vargen också 9 olika brottskombinationer:
1. gris 1 åt ett kex, gris 2 åt ett kex
2. gris 1 åt ett kex, gris 3 åt ett kex
3. gris 2 åt ett kex, gris 3 åt ett kex
4. gris 1 åt två kex
5. gris 2 åt två kex
6. gris 3 åt två kex
7. gris 1 åt ett kex, Rödluvan åt ett kex
8. gris 2 åt ett kex, Rödluvan åt ett kex
9. gris 3 åt ett kex, Rödluvan åt ett kex
Alla brottskombinationer kan hända. Därför är det teoretiskt möjligt för Vargen att lista ut svaret, om han nu lyckas hitta på sådana vägningar, så att varje resultat motsvarar entydigt en brottskombination. Men vilka grisar ska han väga, ska han väga Rödluvan och i vilken ordning? Notera att det kanske inte går i alla fall.
Men det går! Tricket är att använda kexen som Vargen har kvar. Min kompis Erik föreslår följande algoritm:
Vargen börjar förstås med att hiva upp två grisar på vågen, vi kan kalla dem gris 1 och gris 2. Om gris 1 och gris 2 inte väger lika mycket har den tyngre ätit ett eller två kex.
Låt oss antaga att gris 1 är den tyngre grisen. Då lägger han gris 1 i ena vågskålen och gris 3 plus ett kex i andra vågskålen. Om gris 1 är tyngre ändå, har han ätit båda kexen. Om gris 3 + kex väger lika mycket som gris 1 så har gris 1 ätit 1 kex, gris 3 ätit 0 kex och således har Rödluvan också inmundigat 1 kex. Om gris 3 + kex väger mer än gris 1, så har gris 1 och gris 3 ätit ett kex vardera.
Om gris 1 och gris 2 väger lika mycket tar man en av dem (säg gris 1) och väger denna tillsammans med ett kex mot den överblivna (gris 3). Om gris 1 + kex då väger mer än gris 3, har gris 1 och gris 2 ätit varsitt kex. Om gris 3 väger lika mycket som gris 1 + kex, så har gris 3 och Rödluvan ätit varsitt kex. Om gris 3 väger mer än gris 1 + kex så har gris 3 ätit båda kexen.
Denna lösning kan sammanfattas i följande diagram:
Det finns vissa saker som man bara måste lära sig utantill. Det kan tyckas att det är det enda som gäller i matten, men det kan räcka ganska långt att kunna bara några få formler.
Till exempel så kan vi prata om trigonometri. Jag tänkte dela med mig lite tips om hur man bäst kommer ihåg det essetiella och hur det går att härleda allt det viktiga därifrån.
För det första måste man lära sig vad sinus och cosinus är för någonting.
Båda två är funktioner som ger ut ett tal, när man stoppar in en vinkel. Men vad är det för tal? När vinkeln är känd (och mindre än 90 grader), så kan vi rita en rätvinklig triangel med den vinkeln. Låt oss säga att vår vinkel kallas för x. Det går förstås att rita flera olika stora rätvinkliga trianglar med x, men det kommer inte spela någon roll.
Vi mäter sidorna på vår uppritade triangel och konstateterar att kateterna är a och b långa och hypotenusans längd betecknar vi c. Då är sinus värde lika med den motstående kateten genom hypotenusan och cosinus är den närliggande kateten genom hypotenusan. Alla likformiga trianglar har samma förhållande mellan sidorna, därför spelar det ingen roll vilken storlek på triangeln vi väljer.
Men hur ska man komma ihåg vilken funktion som är vilken om man nyss har lärt sig dem? Tänk på att cos (cosinus) låter lite som ”kossa” och kossan den är lat, därför vill den vara nära sin vinkel (orkar inte gå till motstående sidan). Och sin är då den andra funktionen.
Ett annat sätt att komma ihåg det är att sinus är snäll och cosinus är elak. Så sinus offrar sig och går till den motstående sidan. Fler tecken på sinus snällhet och cosinus elakhet kommer vi se i del 2.
Om du nu kan lite vanlig geometri är det inga problem att räkna ut sinus och cosinus för flera kända vinklar! Här väljer jag att mäta vinklarna i grader.
De saker som du behöver kunna är:
- Pythagoras sats
- vad vinkelsumman i en triangel är
- att likbenta trianglar har basvinklarna lika
- att trianglar med lika basvinklar är likbenta
Vi kan då räkna ut vad sinus för vinkeln 30° är, om man inte minns det. Rita såklart först en rätvinklig triangel med en vinkel lika med 30°. Och eftersom vinkelsumman för vilken triangel som helst är 180°, så är den sista vinkeln lika med 180°-90°-30° = 60°.
Rita sedan upp en likadan triangel, fast spegelvänd, och för ihop halvorna. Det som bildas är förstås en ny triangel, eftersom vinklarna på 90° passar ihop och bildar en linje. Men notera att den stora triangeln har alla vinklarna lika med 60°, därför är den liksidig. Alltså är c = 2a.
Nu är det lätt att räkna ut sinus av vinkeln 30°.
På så sätt är det rätt enkelt att lista ut vad cos 60° är för någonting. Det är nämligen samma som sinus 30°, eftersom om vi kollar på de två olika spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel, så blir enas motstående sida den andras närliggande och tvärtom. Hypotenusen är densamma.
Men hur tar vi reda på sin 60° (och samtidigt cos 30°)? För det måste vi bestämma förhållandet b/c. Men eftersom 
så
Eftersom alla längder är positiva har vi 
Och hur gör vi nu med vinklarna 0°, 45°, 90° grader? Det går faktiskt att rita upp motsvarande triangel och ”triangel”. Fundera på vad sinus och cosinus för de respektive viklarna blir. Faciten kommer i nästa del.
Om man minns de här trianglarna är det möjligt att alltid räkna ut sinus eller cosinus som man behöver. Men om det är lite svårt med geometrin, finns det en rätt bra minnestabell.
Skriv upp alla ”kända” vinklar: 0°, 30°, 45°, 60° och 90°. Deras sinus och cosinus följer då ett intressant mönster:
På tavlan skrev matteläraren Adam en uträkning. Men precis innan lektionen skulle börja, så busade någon utav eleverna och bytte ut två siffror mot nya. Därefter stod det:
Men vilka var siffrorna från början? Förklara hur du kommer fram till svaret.
Rita sex streck, så att alla 16 punkter på bilden blir överstrukna, utan att lyfta pennan från pappret och utan att strecken går längs med rutnätet.
Så här till exempel:
För den som tröttnat på Sudoku och Battleships vill jag föreslå ett par andra pussel.
Den första är kenken, ett spel som självaste Gunnar Berg spenderar timmar med! Till synes liknar pusslet sudoku, men man får inte lika många siffror utsatta från början. Det gäller att fylla tabellen så att siffrorna inom varje rad respektive kolonn är olika (siffrorna skall vara från 1 till tabellens storlek). Dessutom skall olikaformade rutor ge ett visst resultat med given operation. Står det 15+ till exempel, så ska siffrornas summa i området vara 15.
Det pusslet är lite roligare än sudoku tycker jag. Man får öva på lite fler tekniker. Det bästa man kan göra för att lösa pusslet är att tillämpa den så kallade flaskhalsprincipen. Man börjar med den platsen, där det finns så få möjligheter som möjligt. Till exempel, står det 4x i ett område innehållande två rutor, så vet man att talens produkt skall vara lika med 4. Men eftersom de står på samma rad/kolonn så är enda möjligeten talen 1 och 4 (men man vet inte än i vilken ordning de kommer). Man lär sig lite om olika sådana exempel för varje aritmetisk operation. Prova på själv!
ett set
Den andra spelet är set, som i original pappersversion kan spelas med flera personer. Det gäller så snabbt som möjligt att hitta en trippel med kort som följer regeln ”allt lika eller allt olika”. Alltså varje egenskap som korten kan ha (färg, form, antal, fyllning) ska den i en set antingen vara lika för alla kort eller vara olika för alla kort. En annan tumregel är: ”om två är något, men inte den tredje, så är det inte ett set”. Det brukar vara svårt att hitta ett set i början, men efter ett tag utvecklar man ett sorts ”seende” och kan snabbt hitta de rätta korten. Spelet passar exakt lika bra för vuxna som barn.
Redan tre personer har löst förra veckans gåta, men alla andra har en vecka till på sig att skicka in lösningen. Och här är en ny gåta att klura på.
Vargen bjöd hem de tre små grisarna och Rödluvan för att titta på film. Efter att de var klara gick Vargen till köket, räknade alla kex och upptäckte att det saknades två. Men han har en stor balansvåg hemma som han kan använda. Hur kan med hjälp av två vägningar bestämma, vem som åt upp kexen? Alla kex väger lika mycket, alla grisar (i alla fall när de precis hade kommit till Vargen) också. Vargen vet även att Rödluvan bantar, så hon kunde max äta upp ett kex.
Nu är höstens första gåta äntligen här!
Lösningen på detta problem skall skickas in på joltmupp@gmail.com eller meddelas till mig på ett annat sätt senast tisdagen den 15 september, för att man skall kunna vara med i bloggens inofficiella tävling i mattegåtor.
Gåta
Rita sex streck, så att alla 16 punkter på bilden blir överstrukna, utan att lyfta pennan från pappret och utan att strecken går längs med rutnätet.
© 2009-2012 Mattebloggen
