Mattebloggen

I en stad finns 6 torg. Ur varje torg utgår 3 raka vägar till exakt 3 andra torg. Inga två vägar korsar varandra. Bland de tre vägarna, som utgår från samma torg, ligger ena vägen inuti vinkeln, som de andra två bildar (en vinkel är mindre än 180 grader). Rita en möjlig plan för staden.

Lösning:

Det är egentligen inte så mycket mer än att prova sig fram och rita och ändra lite. Efter ett tag får man kanske något i stil med:

Och om man ritar jättesnyggt från början blir det kanske så här:

Det finns femtio olika positiva heltal givna. Tjugofem av dem är inte större än 50 och resten är större än 50 men mindre än 100. Och inga två tal skiljer sig med exakt 50. Hitta summan av alla de givna femtio talen.

Fredrik står i mitten av en rund gräsmatta, som har radien 100 meter. Varje steg Fredrik tar är 1 meter långt. Varje gång han ska ta ett nytt steg anger han riktningen som han ska gå i. Anna har då möjlighet att ändra Fredriks riktning mot den motsatta.

Kan Fredrik att komma på ett sätt att komma av gräsmattan oavsett vad Anna gör? Eller kan Anna alltid hindra honom?

Det finns ett rutigt papper. På det finns rektanglar som har sin gräns gående längs med rutorna. Varje rektangel består av ett udda antal rutor och inga två rektanglar har gemensamma inre rutor. Visa att det går att måla rektanglarna i fyra färger på så sätt att två rektanglar med samma färg aldrig har gemensam gränspunkt.

Lösning:

Dela upp pappret i 2×2-kvadrater och låt varje kvadrat färgas så här:

Då kommer varje rektangel ha hörnrutorna färgade likadant, eftersom båda sidorna består av ett udda antal rutor. Måla då om varje rektangel till just den färgen som hörnrutorna har.

Nu kommer inga två grannrektanglar ha samma färg. Hade de haft det, så skulle deras hörnrutor från början vara färgade i samma färg. Men om två rektanglar ligger bredvid varandra, så ligger två av enas hörnrutor och två av andras hörnrutor i två kolonner eller rader bredvid varandra.

Men om mönstret var så här från början, så är det ju omöjligt.

I en stad finns 6 torg. Ur varje torg utgår 3 raka vägar till exakt 3 andra torg. Inga två vägar korsar varandra. Bland de tre vägarna, som utgår från samma torg, ligger ena vägen inuti vinkeln, som de andra två bildar (en vinkel är mindre än 180 grader). Rita en möjlig plan för staden.

Cissi klippte ut två likdana figurer ur en stor kartong. Sedan la hon dem på bottnen av en rektangulär låda så att de delvis täckte varandra. Det visade sig att hela bottnen blev täckt.

Sedan slog Kalle in en spik i mitten av lådans botten. Kunde det bli så att spiken gick igenom ena figuren, men inte den andra?

Lösning

Detta är faktiskt möjligt att göra, på flera olika sätt! Låt oss se hur vi kan tänka för att konstruera ett exempel.

En figur skall täcka mittpunkten, men inte den andra. Samtidigt måste de vara ganska stora, för att tillsammans täcka hela bottnen. Så en lösning vore ju att låta en av figurerna ha ett hål i sig, som hamnar precis på bottnens mittpunkt.

Gör den figuren ganska stor och sedan gör en likadan figur, så att de täcker hela bottnen tillsammans. Så här kan det se ut:

Och här är figurerna ifyllda var för sig, så det syns att de täcker allt:

Spiken går genom den gröna figuren, men inte den rosa!

Det finns ett rutigt papper. På det finns rektanglar som har sin gräns gående längs med rutorna. Varje rektangel består av ett udda antal rutor och inga två rektanglar har gemensamma inre rutor. Visa att det går att måla rektanglarna i fyra färger på så sätt att två rektanglar med samma färg aldrig har gemensam gränspunkt.

Det finns ett naturligt tal m, sådant att talet 2^m har siffersumma 8. Kan sista siffran i talet 2^m vara lika med 6?

Svar:

Det kan den inte! Jag har fått in tre stycken olika lösningar, så det är bara att välja och vraka.

För att kunna förstå lösningarna är det bra att kunna:

moduloräkning

Om två tal har lika rester vid division med ett och samma tal n, så säger man att de talen är kongruenta modulo n.

Till exempel så är talen 3 och 11 kongruenta modulo 4 eftersom båda ger rest 3 när man dividerar med 4. Även talet -1 är kongruent med 3 modulo 4.
Man kan också skriva 3 11 (mod 4)

delbarthetsprincipen för 3

Ett heltal är delbart med 3 om och endast om dess siffersumma är delbar med 3. Man kan också vara fancy och säga att ett tal är delbart med 3 om och endast om talets siffersumma är kongruent med 0 modulo 3.

Till exempel så är talet 450072456 inte delbart med 3, eftersom siffersumman är 4+5+0+0+7+2+4+5+7=34 och det talet går inte att dela jämnt på 3.

delbarthetsprincipen för 9

Liknar faktiskt delbarthetsprincipen för 3. Ett heltal är delbart med 9 om och endast om dess siffersumma är delbar med 9.

Till exempel så är talet 1111000011111 delbart med 9, eftersom siffersumman är lika med 9.

Det är även så att ett godtyckligt tal och dess siffersumma alltid ger samma rest vid division med 9, det vill säga det är kongruenta modulo 9.

Lösning 1 (den officiella):

Vi konstaterar att de första tvåpotenserna är 2, 4, 8, 16 och 32, samt att inget av dessa uppfyller kriterierna. Dock måste alla kandidater vara jämnt delbara med dessa tal.

Om ett tal har siffersumman 8 och slutar på 6 finns två möjligheter:

a) Talet har formen 2*10^k + 6 för något k>=1 (dvs 26, 206, 2006, osv.)

26 (=2*13) är inte en tvåpotens, alltså måste k>=2, men alla andra tal på formen
2*10^k är delbara med 8, medan 6 inte är delbart med 8. Således blir talet som
helhet (2*10^k + 6) ej delbart med 8. Vi kan alltså helt utesluta denna möjlighet.

b) Talet har formen 1*10^k + 1*10ⁿ + 6 för något k>n>=1 (dvs på formen 100..0100…06)

6 är inte delbart med 4, så resten får inte heller vara det, om summan skall vara delbart med 4. Det enda n sådant att 10ⁿ inte är delbart med 4 är n=1 (k kan inte vara så litet). Alltså måste talet ha formen 1*10^k + 16.

Vi ser dock på samma sätt att 16 inte är delbart med 32, så det får inte 10^k heller vara. För alla k>=5 är 10^k jämnt delbart med 32, så dessa förkastas.

Man kan nu pröva de återstående lösningarna (10016, 1016, 116) var och en, men närmare bestämt är 16 16 i modulo 32, så 10^k måste vara lika med 32-1616 (mod 32). Det enda k som uppfyller detta är k=4, vilket ger 10016 = 2⁵ * 313, som på intet vis är en tvåpotens. För säkerhets skull kan konstateras att 1016=2³*127 och 116=2²*29.

Lösning 2 (den med perioder):

Att siffersumman av 2^m 8, kräver att 2^m är kongruent med 8 modulo 9.

Att 2^m slutar på 6, kräver att 4|m. Detta ser man genom att helt enkelt
göra en tabell av potenser av 2, och ser att den har period 4, om man bara
betraktar sista siffran.
2, 4, 8 (1)6, (3)2,(6)4, (12)8, (25)6,…

Så, vi undrar egentligen om det finns heltal k, så att 2^4k 8 (mod 9).
Ekvivalent med att
16^k 8 (mod 9)<=>
7^k 8 (mod 9) (*)

Nu,
7¹ 7 (mod 9)
7² 4 (mod 9)
7³ 1 (mod 9)
och nu har vi nått 1, så denna sekvens kommer upprepa sig om och om igen.

Alltså kan högerledet aldrig bli 8, och (*) kan ej lösas. Att (*) ej kan lösas
implicerar att 2^m ej kan sluta på 6 och samtidigt ha siffersumma 8.

Lösning 3 (den snygga):

Antag att ett sådant tal finns. Notera att 2^k endast slutar på 6 om k är jämnt (t.o.m delbart med 4, men jämnt räcker).
Då har 2^k-1 siffersumma 7 och är inte delbart med 3. Men k=2n så
2²ⁿ-1=(2ⁿ-1)(2ⁿ+1).
Märk att talen 2ⁿ-1, 2ⁿ och 2ⁿ+1 är tre stycken på varandra följande, så något utav dessa måste vara delbar med 3. Men det kan inte vara 2ⁿ, eftersom det är en tvåpotens.
Någon av faktorerna i uttrycket är således delbar med 3 och vi får motsägelse.