Mattebloggen

En lördag morgon samlades några underliga människor vid ingången till ett universitet. De hade valt att rätt matteprov ideellt en hel lördag förmiddag från och med klockan 9 istället för att sova gott i sängen.

Dessa människor är nuvarande och före detta elever på Danderyds gymnasiums matematiklinje. Denna matematikprogram med riksintag har funnits i mer än 20 år och jag gick den själv för några år sedan. Tycker du om naturvetenskap, speciellt matte och fysik, och smarta människor finns det knappast bättre gymnasieval.

En gång om året, efter att högstadieeleverna har skrivit sin tävling, har matematikeleverna tradionen att samlas och rätta den. Det låter kanske inte så spännande, men verkligen intressanta möten kan bli av. Igår blev jag inbjuden till att åka till Azerbajdzjan till exempel, för att övervaka en naturvetenskapstävling. Sådana erbjudanden får man ju oftast genom kontakter :)

Men vad är Högstadiets matematiktävling? Det är precis vad det låter som, eleverna på högstadiet tävlar i att lösa mattegåtor, enskilt på sin egen skola. Denna tävling är rikstäckande och får man tillräckligt med poäng, får man komma vidare till finalen i Stockholm.

Det är precis vad vi avgjorde den 28 november. Många blev nedrättade från sina preliminära poäng, men några blev upprättade. Det visade sig att alla elever med åtminstone 9 poäng av 18 möjliga gick vidare till finalen. Den bästa eleven fick 16 poäng. Så årets kvalificeringstävling var svår, det var bara 35 elever som kom vidare till final.

Testa dig själv! Hur mycket poäng skulle du få? Här är problemen och här är rättningsmallen. Observera att ett och samma problem kan ha olika lösningar, så mallen går inte alltid att tillämpa.

Finalen äger rum den 23 januari 2010 på Danderyds Gymnasium i Stockholm. Då kommer vi matematikeleverna samlas igen och kora vinnaren!

Benny skrev upp namnet på sin hemstad och alla cykliska ”förskjutningar” av det och fick tabell 1. Sedan ordnade han om namnen och skrev de i bokstavsordning i tabell 2 i stället.

Därefter läste han av ”ordet” i sista kolonnen: SLAUPPA.

Josefin gjorde samma sak med sin hemstad och fick ”ordet” TNUUENRTL. Vilken stad kommer Josefin ifrån om man vet att den börjar med bokstaven L?

Mattebloggen har en inoficiell tävling i att lösa mattegåtor. Skicka in din lösning till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans gåta, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Dela upp figuren på bilden i två sammanhängande delar, på så sätt att det går att sätta ihop delarna till en kvadrat 8*8.

Lösning:

Så här kan man göra:

För ett tag sedan åkte jag tåg från Stockholm till Köpenhamn och i sätena bredvid fick jag trevliga medpassagerare. Så småningom nämnde jag att jag höll på med matte, varpå kvinnan jag satt med berättade att hon faktiskt använde sig av matte i sitt jobb.

Det var inga jätteavancerade uträkningar, jag gissar att de involverade för det mesta division. Men det var viktigt att räkna rätt, eftersom människornas hälsa hängde på det.

Jag har tidigare inte riktigt tänk över hur mycket matte folk verkligen använder i sitt jobb- och privatliv (nu menar jag förstås dem som inte är matematiker, fysiker, statistiker etc.). Hur mycket matematik använder en ingenjör egentligen? Vad är viktigare för detta yrke: att räkna rätt eller att tänka djupt?

Sådant tål att funderas på när vi lär ut matten till barn, ungdomar och studenter. Människor lär sig själva det de själva vill förstås, men man kan styra deras förståelse något beroende på vilket utlärningssätt man väljer. Vi styr också i hög grad människornas förhållningssätt till matematiken.

Säg att vi vill lära ut addition av flersiffriga tal till någon elev E. Det finns några olika scenarion:

1. E får mändgder med liknande uppgifter att räkna igenom. Han lär sig en metod: hur man ställer upp additionen och sedan utför den. Till slut utför algoritmen mekaniskt, utan att E tänker särskilt noga, räkning kan bli till en meditativ process.

På så sätt lär barnen sig addition i Kina. Matteproven i de lägre årskurserna består av långa spaltar med räkningsuppgifter, som ska utföras på väldigt kort tid. Där måste eleverna lära sig att räkna hypersnabbt.

Hur kul detta är för E, beror lite på hur E lagt. Jag skulle tippa på att E tycker att det är kul i början (barn i allmänhet tycker om repetativa uppgifter ett tag), men kan bli uttråkad i längden, om samma sak händer lektion efter lektion.

2. E:s lektioner i addition är lite av en lek. Läraren förklarar något spännande sätt att utföra addition på. Exempelvis får eleverna se att

398+345 = 398+2+345-2 = 400+343 = 743

(inte just de stegen skrifligt, utan just idén om att lägga över delar av ena talet till det andra).

E får räkna några få uppgifter under de lektionerna, kanske tillsammans med kompisar. Varje uppgift är intressant och varje resultat uppmuntras eller belönas. E har väldigt kul under den lektionen. Men i fortsättningen räknar han ganska ofta fel, eftersom han inte fick öva så jättemycket själv när han lärde sig.

3. Läraren är hardcore och visar eleverna det teoretiska bakom addition, det vill säga att alla tal är uppbyggda av ental, tiotal, hundratal och så vidare. Eleverna får se flera olika sätt att addera på, samt får förklaringen på varför additionen ställs upp som den gör.

E fattar inte riktigt allt, men hans klasskompis F gör. Detta resulterar i att F blir mycket bättre än alla andra på att räkna och E blir lite förvirrad. Så småningom lär sig alla i klassen räkna hyfsat bra och en del av klassen får en mycket bra känsla för siffror, som gör deras fortsatta inlärning lättare.

De flesta lärare i grundskolan kör på någon blandning ut av de scenarion. Och de är fullt befogat, olika sätt passar ju olika individer.

Men kan det vara så att olika sätt passar olika yrken också? Om man tar integralkalkylen och försöker resonera som i exemplet ovan, så ser man att det finns ännu fler scenarion. Den skall absolut läras ut olika, beroende på hur den skall användas. Vissa kommer att behöva en djupare förståelse för funktioner och grafer i deras arbete och vissa kommer bara att behöva räkna femtioelva integraler om dagen i sitt yrke.

Tyvärr så har Bolognaprocessen en nackdel där. Alla möjliga utbildningar får ta sig igenom en och samma kurs med en och samma kursplan. Det betyder att folk, som behöver lite olika kunskaper och färdigheter alla dras över samma kam.

Men allt är inte kört än, eftersom lärarna oftast har större makt över studenternas inlärning än kursplanen!

En sifferkod, som består av 7 olika siffror kallas för godkänd sifferkod. Man vet att ett kassaskåp har en viss okänd godkänd sifferkod.

Om man slår in någon godkänd kod och åtminstone en rätt siffra kommer på rätt plats, så öppnas kassaskåpet.

Kan man öppna kassaskåpet på färre än 7 försök?

Robert tänker på två positiva tal: x och y. Han skriver ner 4 tal på ett papper: x+y, x-y, xy och , men säger inte i vilken ordning han skriver ner dem. Hur kan Adam lista ut vilka tal Robert tänker på genom att bara titta på pappret (Adam vet alltså inte vilken operation varje tal motsvarar)?

Bra att känna till:

Det aritmetiska medelvärdet (AM) av två tal och är talet . Man brukar också bara säga ”medelvärde” om det aritmetiska medelvärdet.

Det geometriska medelvärdet (GM) av två tal och är talet .

AM-GM-olikheten: Det aritmetiska medelvärdet är alltid större än eller lika med det geometriska medelvärdet för två tal:

Lösning:

Adam vet att det finns två tal, vars geometriska medelvärde är lika med det andra talparets aritmetiska medelvärde. Hitta en sådan uppdelning av de fyra talen i par, så att det villkoret är uppfyllt. Det vill säga vi har hittat a, b, c, d sådana att

.

Men är de talen verkligen vad vi tror att de är? Det vill säga, måste det vara så att a och b är x+y och x-y (i någon ordning) och c och d motsvarar xy och x/y (också i någon ordning)?

Vi skall visa att det verkligen måste vara så.

Antag att x+y och x-y inte gömmer sig på samma sida om likheten

.

Det vill säga, man har tagit likheten

och bytt plats på en av termerna i vänsterledet med en av termerna i högerledet och det ändå blev lika.

Men sådant händer bara om talen vi bytte plats på är lika (annars skulle resultatet på ena ledet minska och på den andra öka, och då skulle de inte varit lika längre).

Och om talen ändå varit lika, så spelar det ingen roll, vilket av dem vi väljer som a (eller b).

Så hur vet vi att a och b är paret och inte paret ? Enda sättet att blanda ihop det hela om följande likhet också gäller:

.

Men tillämpa då AM-GM-olikheten:

.

Således får vi:

och

vilket är omöjligt för positiva tal x och y.

Vi vet alltså att ena talet i paret a, b är x-y (nämligen det minsta av dem) och andra är x+y (det största av dem).

Man kan räkna ut x genom att ta (det aritmetiska) medelvärdet av de talen och man räknar sedan ut y, genom att ta det största talet utav a och b och subtrahera x.

Det finns mängder med formler med sinus och cosinus att minnas, men inlärningsprocessen blir mycket lättare om man vet att de flesta utav formlerna är ganska lika.

Och så är det bra att komma ihåg att sinus är ”snäll” och cosinus är ”elak” (eller som min pappa säger: ”sinus är flicka, cosinus är pojke”). Varför då?

Kolla på formeln för ”dubbla vinkeln”:

Som syns är sinus rättvis och står sida vid sida med cosinus, ingen är prioriterad och det blir exakt samma sak, om vi byter ut all sin till cos och all cos till sin: (). Men cosinus är inte alls rättvis! Den ställer sig själv i kvadrat på första plats, medan hans vän sinus får nöja sig med andra platsen och ett minustecken.

Den mer generella formeln är den för summan av två vinklar, det vill säga:

Här är förstås sinus snäll och rättvis igen, medan cosinus busar och ändrar tecken och sätter sig själv på första plats.

Jämför med formlerna för skillnaden mellan två vinklar:

Eftersom det nu är minus, är sinus lydig och bevarar det tecknet. Nu måste sinus prioritera någon utav termerna. Han väljer att ta först, för att x är det som står först (och av sinus och cosinus måste ju sinus prioritera sig själv lite före). Cosinus busar igen och ändrar tecknet till plus.

Om du absolut har svårt för de här krångliga formlera (och de är krångliga, jag erkänner att det tog mig flera år att lära mig dem utantill), så räcker det att komma ihåg dem ungefär.

Varför räcker det med ungefär? Jo, för om du minns cosinus och sinus för de vanliga vinklarna, så kan du kolla huruvida den formeln du typ minns stämmer eller ej.

För , så , så 1 ska bli resultat av några operationer mellan , , och som är , , och respektive. Då känns det ganska rimligt att det ska bli . Så förmodligen är , men för att vara helt säkra, kan vi kolla att t.ex. likheten

stämmer. Stämmer det så är det hög chans att vi använde rätt formel.

Mer tecken på sinus är snäll och rättvis:

, minus är med på båda sidorna lika mycket. Detta innebär att sinus är en så kallad udda funktion.

Och att cosinus är skum och dum:

, tecknet försvinner bara sådär. Det betyder att cosinus är en jämn funktion.

Dela upp figuren på bilden i två sammanhängande delar, på så sätt att det går att sätta ihop delarna till en kvadrat 8*8.

Det finns femtio olika positiva heltal givna. Tjugofem av dem är inte större än 50 och resten är större än 50 men mindre än 100. Och inga två tal skiljer sig med exakt 50. Hitta summan av alla de givna femtio talen.

Lösning:

Vi har tjugofem tal som är 50 eller mindre.

Vi har också tjugofem tal som ligger mellan 50 och 100. Genomför följande operation: subtrahera 50 från vart och ett av de större talen.

Vad blir det för nya tal då? För det första får vi inga två likadana tal bland de här femtio talen. Hade vi fått det, betyder att två tal från början skilde sig exakt med 50, vilket vad förbjudet.

För det andra, alla tal vi får är större än 0 och inte mindre än 50. Femtio stycken olika tal, alla ligger mellan 1 och 50, hmmm, vad kan det vara för några? Så klart 1, 2, 3, …, 50.

Det som krävs nu är att räkna ut summan av de ursprungliga talen. Summan av de nya är 1+2+3+…+50=51*25.

Kom ihåg samtidigt att vi subtraherade 50 från tjugofem av talen tidigare. Alltså är det precis vad behöver addera till för att få svaret.

Summan av de ursprungliga talen är alltså 51*25+25*50=25*101=2525.

Robert tänker på två positiva tal: x och y. Han skriver ner 4 tal på ett papper: x+y, x-y, xy och , men säger inte i vilken ordning han skriver ner dem. Hur kan Adam lista ut vilka tal Robert tänker på genom att bara titta på pappret (Adam vet alltså inte vilken operation varje tal motsvarar)?