Mattebloggen

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Eli bor i ett höghus med 9 våningar. Han kan åka hiss från sin egen våning till den första och då tar det 1 minut.

Men han når inte knappen till sin egen våning, eftersom han är så liten. Istället trycker han på den högsta knappen han når och därefter går han upp. Hela vägen upp tar 1 minut 10 sekunder.

Hissen har samma hastighet både upp och ner och Eli går upp två gånger så långsamt som hissen. Vilken våning bor Eli på? (Observera att basvåningen är samma som första våningen det vill säga våning nummer 1.)

Pelle delade upp ett 8×8-bräde i 30 stycken rektanglar på så sätt att likadana rektanglar inte nuddar varandra, inte ens med hörn. Försök att förbättra hans resultat genom att dela upp brädet i ännu fler rektanglar så att de fortfarande uppfyller villkoret.

Lösning:

Det bästa resultatet kommer från Erik T., han lyckades trycka in 35 rektanglar:

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Du har hittat en skatt som består av 6 stycken antika mynt. I skattkistan låg en lapp som berättade om att ett av mynten är falskt. Det väger inte lika mycket som de riktiga mynten (de riktiga mynten väger lika mycket). Men det stod inte ifall det vägde mer eller mindre än ett riktigt mynt.

Till ditt förfogande har du en vanlig våg. Den visar summan av vikten på alla mynt som du lägger på vågen vid ett tillfälle.

Hur kan du bestämma det falska myntet genom tre sådana vägningar?

Under familjefikat drack alla en hel kopp kaffe med mjölk. Det visade sig att Terese drack en fjärdedel av all mjölk och en sjättedel av allt kaffe. Hur många familjemedlemmar finns det?

Lösning:

Terese drack en del kaffe och en del mjölk, antag att delen mjölk var lika med x. Det är ett tal mellan 0 och 1 som säger betecknar den delen av koppen som var full med mjölk (en tredjedel till exempel).

I så fall var andelen kaffe i Tereses kopp lika med 1-x.

Då kan vi räkna ut hur mycket dryck det fanns totalt, nämligen:

x*4 + (1-x)*6 = 4x + 6 – 6x = 6 – 2x

6 – 2x måste då bli ett heltal, för att mängden dryck motsvarar ett helt antal koppar (oavsett mjölk-kaffe-fördelningen i varje kopp).

Det ger att även 2x är ett heltal. Det enda x mellan 0 och 1 som uppfyller det är talet ½.

Så totalt fanns det 6-1 = 5 koppar dryck, vilket betyder att antalet familjemedlemmar är 5.

Lösning 2:

Vi tittar på hur mycket Terese konsumerade. Fyra gånger Terese konsumtion skulle innebära all mjölk men endast fyra sjättedelar av kaffet, vilket är mindre än den totala vätskemängden. Terese måste alltså ha druckit mindre en en fjärdedel.

Samtidigt vore sex gånger så mycket allt kaffe men sex fjärdedelar av mjölken, det vill säga mer än den totala mängden kaffe-och-mjölk. Alltså har Terese tryckt i sig mer än en sjättedel.

Slutsatsen blir därmed att Terese har stått för en femtedel av drickandet, och att det därmed finns fem familjemedlemmar.

Det här är fortsättningen på inlägget Transformationsmatrisen – del 1. I första delen behandlas begreppet baser.

Vektorer i olika baser

Vektorer som skrivs med hjälp av siffror till exempel så här betyder egentligen ingenting särskilt av sig själv, utan måste ha en bas hängande efter sig som en svans. betyder att en vektor är uttryckt i basen b.

Ofta skriver man inte ut denna svans och det är när man har koll på vilken bas det är som gäller. Ganska ofta menar man standardbasen. Men skriv alltid ut den när det händer basbyten och liknande grejer! Det är lätt att tappa bort sig.

Till exempel är , och helt olika vektorer:

Hur visste jag hur de olika vektorerna såg ut? Jo, i bas b betyder  och på samma sätt i bas c betyder och i bas d betyder :

Det vi vill nu är tvärtom: att skriva samma fysiska vektor i olika baser b, c, d. Då kommer dess siffror att se ut på olika sätt.

Exempelvis är vektorn i standardbasen lika med:

Och hur får man tag på dem siffrorna? Jo, man kan antingen ”se” hur många basvektorer av varje sort som behövs för att få vektorn :

Eller så kan man ställa upp en ekvation, som för basen d. Säg att det behövs stycken första basvektorer och stycken andra basvektorer (kan också vara icke-helt antal stycken).

Så och då



De motsvarande koordinaterna skall vara lika, så och . Då har vi att genom att summera båda ekvationerna ledvis och då måste och följaktigen .

Om vi nu behöver göra detta många gånger till (bestämma koordinater med hjälp av ekvationssystem) blir det tröttsamt i längden. I stället kan vi bestämma transformationsmatrisen mellan standardbasen och basen d exempelvis och därefter bara behöva multiplicera med den matrisen.

Jag kan avslöja redan nu att transformationsmatrisen, som tar vektorer i standardbasen och sedan uttrycker dem i bas d är

Vi testar:
blir . Hurra!

Hur man bestämmer sådana här transformationsmatriser kommer att avslöjas i nästa del!

De flesta matematik- och ingenjörsstudenter läser någon form av linjär algebra. Det är ett högst rimlig inslag i deras utbildning – vilken vuxen människa räknar inte med matriser :)?

Just beräkningar är dessutom det studenterna måste lära sig först. Efter att de behärskat teknikerna som Gauss-elimination och matrismultiplikation är det dags för nästa steg: räkna med olika baser.

Jag har som lärare på kursen Linjär algebra II fått överlägset mest frågor om avsnittet som handlar om transformationsmatriser. De frågorna var jag också sämst på att besvara, eftersom man alltid är tvungen att hålla tungan rätt i mun med transformationsmatriser. Olika beteckningar i olika böcker förbättrar inte situationen.

Så vad är en transformationsmatris?

Med en transformationsmatris från basen b till basen c menar jag en matris som omvandlar vektorer, uttryckta i basen b, till likadana vektorer, men uttryckta i basen c.

Eller snarare så här: tar man en vektor (föreställ er ett geometriskt objekt) och skriver upp dess koordinater i basen b och sedan multiplicerar med transformationsmatrisen från vänster (det vill säga tar produkten matris vektor), så kommer resultatet vara samma vektor (exakt samma geometriskt objekt), men koordinaterna kommer ändra sig. De kommer att vara uttryckta i basen c.

Därför kallas transformationsmatrisen också basbytesmatrisen. Det den gör är att byta vilken bas som för tillfället är den aktuella, i vilken bas vi just nu räknar saker.

Vissa begrepp kanske känns oklara i förklaringen ovan. Vi reder ut dem!

Vadå baser?

En bas kan ses som en sorts koordinatsystem. Om vi arbetar på det tvådimensionella planet så kan vi rita flera olika koordinatlinjer:

Som vi ser bestäms hela bilden alltid av två sorts linjer. Det är riktningarna på linjerna som är viktiga.

På samma sätt bestämmer två vektorer en bas i planet. De skall vara riktade åt olika håll (inte parallella). En bas är alltså ett par av vektorer. (Men i rum med högre dimension ska en bas bestå av fler vektorer, antalet är lika med dimensionen.)

Så exempel på baser (som vi ska jobba med) är:

bas b

bas c

bas d

Om vi lägger på koordinater på rutnätet kan vi läsa av vad de här basvektorerna har för koordinater (i standardbasen):

Nämligen , , , , ,

Eller, skrivna på kollonform: , , , , ,

Det är egentligen ingen väsentlig skillnad mellan radform och kolonnform, men oftast skriver man vektorerna på kolonnform. Om man gör det, så skall matrisen skrivas till vänster om vektorn vid multiplikation.

I nästa del reder vi ut hur man beräknar och skriver vektorer i olika baser.

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Pelle delade upp ett 8×8-bräde i 30 stycken rektanglar på så sätt att likadana rektanglar inte nuddar varandra, inte ens med hörn. Försök att förbättra hans resultat genom att dela upp brädet i ännu fler rektanglar så att de fortfarande uppfyller villkoret.

I en triangel ABC så är mitten av sidan AB markerad med punkten M. Även höjderna AH och BL är utritade. Det visade sig att triangeln MHL blev liksidig. Måste det vara så att även triangeln ABC är liksidig?

Om ja, ge ett bevis för varför den måste vara det. Om nej, visa hur ett motexempel konstrueras.

Svar:

Nej, det går att konstruera ett motexempel. Men för att komma fram till det måste vi titta på bilden lite noggrannare.

Diksussion:

Vi ritar en komplett (men ful) bild där höjderna är inkluderade. BL är alltså vinkelrät mot AC, AH är vinkelrät mot BC och AM = MB.

En viktig observation nu är att LM är medianen i den rätvinkliga triangeln ALB. Och enligt en sats så är medianen i en rätvinklig triangel lika med halva hypotenusan (kan visas genom att titta på vinklarna i de små trianglarna).

Således måste alla sträckorna AM, ML, LH, MH och MB vara lika stora!

Vi ser att vi har antydan till en cirkel, vi ritar med medelpunkt M och radien AM.

Vi ser att denna bild (eller vad man ifall försökte rita) är möjlig, eftersom vinklar, som ska vara räta verkligen är räta. Det är de, eftersom de är randvinklar, som står på en diameter.

Så detta ger oss en idé om hur vi ska konstruera en motexempel från scratch.

Lösning:

Så fort vi har en cirkel, så fixar det där med rätvinklarna sig. Det vi måste garantera är att triangeln MHL som vi konstruerar verkligen är liksidig.

Så vi börjar med en sträcka AB och markerar mitten på den, punkten M:

Sedan ska den liksidiga triangeln MHL dyka upp. Rita en cirkel med diameter AB och då medelpunkten M. Vilka två radier vi än ritar ut, kommer de vara lika långa. Så ta ett par radier så att vinkel mellan dem är 60°. Se till så att

Markera de två ny punkterna på cirkeln med L och H. Den likbenta triangeln LMH med vinkel 60° i toppen måste vara en liksidig triangel, precis vad vi ville ha!

Nu återstår det att hitta punkten C. Den hittar vi på skärningen mellan linjerna AL och BH:

Vinklarna ALB och AHB är verkligen räta, eftersom de står på diametern i den nu snygga cirkeln. Således är AH och BL verkligen höjder. Och triangeln ABC är inte liksidig, eftersom i det fallet skulle punkterna L och H ligga spegelsymmetriskt kring mittpunktsnormalen till AB.

Summan av kardemumman: vi har använt massa geometriska kunskaper för att konstruera en halvful triangel med snygg egenskap!

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Under familjefikat drack alla en hel kopp kaffe med mjölk. Det visade sig att Terese drack en fjärdedel av all mjölk och en sjättedel av allt kaffe. Hur många familjemedlemmar finns det?

Kan man dela upp en kvadrat i 9 kvadrater och måla en av dem i vitt, 3 av dem i grått och 5 av dem i svart på så sätt att kvadrater med samma färg har samma storlek, men kvadrater med olika färg har olika storlek?

Lösning:

Ja, det kan man faktiskt! Så här till exempel: