Mattebloggen

Du har hittat en skatt som består av 6 stycken antika mynt. I skattkistan låg en lapp som berättade om att ett av mynten är falskt. Det väger inte lika mycket som de riktiga mynten (de riktiga mynten väger lika mycket). Men det stod inte ifall det vägde mer eller mindre än ett riktigt mynt.

Till ditt förfogande har du en vanlig våg. Den visar summan av vikten på alla mynt som du lägger på vågen vid ett tillfälle.

Hur kan du bestämma det falska myntet genom tre sådana vägningar?

Lösning:

Säg att våra mynt är a, b, c, d, e samt f. Låt a+b beteckna den sammanlagda vikten av a och b, och så vidare.

Väg först a, b tillsammans och c, d tillsammans. Om a+b=c+d, så vet vi att antingen e eller f är falskt. Väg nu d och e tillsammans. Om d+e=c+d, så är f falskt, annars är e falskt.

Om a+b≠c+d, så vet vi att a, b, c eller d är det falska myntet (och att e, f är äkta). Vi vet att a+b=x och c+d=y. För att bestämma vilket mynt som är falskt så väger vi a, c och e.

Om a eller b är falskt
Då väger ett äkta mynt lika mycket som y/2. Om a är falskt, väger a+c+e så mycket som (a+b)+e=x+y/2. Om b är falskt, väger a+c+e lika mycket som tre äkta mynt, det vill säga a+c+e=y/2+y/2+y/2=3y/2.

Om c eller d är falskt
Här resonerar vi på liknande sätt. Eftersom a, b är äkta, så väger ett äkta mynt lika mycket som x/2. Om c är falskt, så väger a+c+e=a+(c+d)=x/2+y. Om d är falskt, så väger a+c+e=x/2+x/2+x/2=3x/2.

Eftersom vi vet vad x och y är lika med från de första två vägningar och vi vet att de är olika, så kan vi avgöra vilket av resultaten vi får. De möjliga resultaten för a+c+e är x+y/2, 3y/2, y+x/2 och 3x/2 och då är respektive myntet a, b, c, eller d falskt.