En fotboll är hopsydd av 32 lappar: vita sexkanter och svarta femkanter. Varje svart lapp gränsar till bara vita, varje vit lapp gränsar till tre vita och tre svarta lappar. Hur många vita lappar finns det i en fotboll?
Man kan anta att Eulerkarakteristiken på fotbollen är 2 och arbeta utifrån det, om man nu vet vad Eulerkarakteristik är för något. Med nedan använder jag mig av Thomas lösning.
Lösning:
Det finns S svarta lappar och V vita lappar. Totalt finns det 32 st, så S + V = 32.
För varje svart lapp finns 5 vita lappar runt den, men varje vit lapp ligger intill 3 svarta, så 5S räknar varje vit lapp 3 gånger och vi får 5S / 3 = V
Och S + 5S/3 = 32, det vill säga 3S + 5S = 96 och då är S = 12, V = 20. Alltså finns 20 vita lappar.
Eftersom varje hörn finns i precis EN svart ruta, blir antal hörn = 5×12=60 st.
De olika figurerna har 5×12+6×20= 180 kantlinjer. Vardera räknas 2 gånger, dvs fotbollen har 90 kantlinjer.
Antal kantytor är som sagt 32 stycken.
V-E+F = 60 -90 +32 = 2
Bollen är rund, Euler är kung!
Inte så konstigt, eftersom kalkylen bygger just på V – E + F = 2. Farligt nära cirkelbevis alltså!
Tja, som jag förstår, verifierar du att V-E+F verkligen är lika med 2 för det svaret som vi fick. Och det stämmer, Euler är kung!
Om man skulle försöka göra tvärtom (kallar antalet hörn för H):
H-E+F=2, det får vi anta.
F=32, det vet från uppgiften
H=Sx5, precis som du resonerar
E=(Sx5+Vx6)/2, precis som du resonerar.
5S-2.5S-3V+32=2
alltså
2.5S+30=3V, otillräckligt för att bestämma S eller V. Man måste använda villkoret om hur vita lappar är positionerade.