Den här matematiska sagan är skriven av Victor Ufnarovski och publiceras här med hans tillåtelse.
Vi måste välja. Vi måste fatta beslut. Vi gör det varje dag. Och beklagar ibland hela livet. . .
Men man måste veta att det finns några situationer, som har icke-triviala lösningar. Matematiker har upptäckt dem. Och ibland kan dessa lösningar hjälpa oss att välja våra lösningar.
Problemet med att dela
Två rövare delar ett byte. Det var så enkelt och trevligt att röva, men det är så svårt att dela! Varje rövare tror att han själv kan dela bytet mitt itu, men tror inte att hans kollega kan. Till slut sa den äldre rövaren:
”OK, jag har en idé. Får jag försöka dela bytet mitt itu?”
”Du kan inte!” ropade den yngre rövaren.
”Men vänta litet grann! Jag ska bara försöka” svarade den gamla rövaren och delade bytet. ”Så, jag har delat det och tror att dessa två delar är lika. Tror du också att de är lika?” ”Nej, det är ojämnt!”
”OK, vilken del är större?” frågade den gamla rövaren.
”Denna!” svarade den yngre utan att tveka.
”Ta den då! Är du nöjd?” ”Javisst, men är du nöjd? ” ”Utan tvivel! Jag är säker på att vi har jämna delar. Det var jag, som delade det!”
Så var båda två nöjda. Men nästa gång var de tre, som rövade. Nu behövde de dela bytet i tre delar, och det var mycket svårare nu. Hur skulle de göra?
Först försökte den gamla rövaren att använda samma idé.
Han delade bytet i tre (som han trodde) lika delar och föreslog dem andra att välja. Han hoppades att de andra skulle välja var sin del och han själv skulle ta den tredje så att alla skulle bli nöjda. Men de två rövarna valde samma del.
”OK”, sa han. ”Ni tror att denna är den bästa delen. Välj då den sämsta. Jag tar den och ni kan dela resten utan mig. ”
Det var en bra idé, men tyvärr valde de nu olika delar. Och ingen visste vad de skulle göra. De var rövare och de började att skjuta…
Polisen kom snart och de var nöjda att de lyckades undkomma. Men alla tre funderade på hur de kunde ha delat bytet?
Nästa gånger var de 10 som rövade. Det var underbart! Men nu behövde de dela bytet i 10 delar. Den äldsta rövaren berättade för de andra hur svårt detta problem var med bara 3 delar och föreslog:
”Jag tror att vi ska be en matematiker att lösa det här problemet. Jag är god vän med en av dem. ”
”Ska vi betala honom?” frågade de andra. ”Nej, han kan göra det gratis. Han tycker mycket om att lösa svåra problem. Och han blir nöjd om han skriver en matematisk artikel om det. ” ”Utan våra namn?” ”Utan.” ”Då ska vi försöka” beslutade rövarna.
Matematikern var mycket intresserad av detta problem.
Till slut hittade han en lösning.
”Ni är rövare”, sa han. ”Var och en av er är säker på att han (och bara han) vet hur mycket 1/10 av detta skräp är. ”
”Javisst!” svarade alla. ”OK då. Kan du”, han pekade på en rövare, ”mäta upp 1/10 del av detta?” Rövaren gjorde det.
”Du”, nu pekade matematikern på en annan rövare. ”Tror du att det där är större än 1/10?” ”Nej, det tror jag inte”, svarade han.
”Bra. Och du”, frågade han nästa rövare, ”tror du att det är större än 1/10? ” ”Ja, det tror jag.”
”OK, minska då det, gör 1/10! ”
Rövaren tog bort en del av godset. ”Nu är det verkligen 1/10 av bytet”, kommenterade han.
”Men ni”, frågade matematikern de två första rövarna, ”är ni säkra på att det inte är större än 1/10?” ”Vi är säkra på att det är mindre än 1/10.” ”OK då. Nu frågar jag nästa. Är denna nya del större än 1/10?”
Och på sådant sätt frågade han varje rövare och tvingade dem att minska delen, om de tyckte att den var större än 1/10.
”Finns det någon som tycker att det här är större än 1/10?” frågade matematikern när den sista rövaren var tillfrågad. ”Nej”, svarade rövarna. Alla, som hade tänkt att den var för stor hade redan minskat den.
”Bra. Vem var den sista som minskade delen? ” ”Jag”, svarade en av dem.
”När du gjorde det var du då säker på att det är exakt 1/10 av bytet.” ”Jag är säker på det nu också. Ingen har minskat det efter mig. ”
”Ta det då! Du är säker på att du har 1/10 av bytet och ingen tror att du har mer.” ”Är det sant!” ”Ja”, ropade rövarna: de började att förstå.
”OK. Men nu har vi ett litet enklare problem. Vi ska dela resten i 9 delar. Vi börjar på samma sätt. Du, gör 1/9 av . . . ”
Och så delade matematikern bytet. Alla var nöjda. De köpte en stor flaska av ett gott gammalt vin (rövarna är också människor!) och gjorde en fest.
Plötslig föreslog matematikern: ”Ska vi dela vinet också?” ”Nej, det tar för lång tid. Vi ska dricka kvickt!” ”Det ska jag göra snabbt!” ”Hur då?”
”Mycket enkelt. Jag själv dricker inte alkohol. Så vi ska dela vinet i tio delar. Är varje och en av oss säker på hur mycket 1/10 av denna aska blir?” ”Inget problem.”
”Så, jag börjar långsamt hälla upp i denna stora bägare. När någon av er ser att det är 1/10 måste han genast säga ”Stopp!” Går det bra?” ”Ja, det gör det”, svarade rövarna med förvåning: de hade aldrig druckit så konstigt.
Han började att hälla upp i bägaren. Den blev mer och mer full. Till slut skrek en av rövarna: ”Stopp! Det blir för mycket. Nu är det exakt 1/10 av askan.”
”Men de andra tror det inte?” frågade matematikern. ”Nej. De tror att det är mindre än en tionde del. De var tysta.” ”Bra. Ta denna skål. Det är din del! Och vi ska fortsätta på samma sätt”, och han började att hälla upp i en ny bägare.
Rövarna funderade litet gran. ”Genialt! Så enkelt” sa till slut den duktigaste av dem, ”Men varför kunde vi inte dela bytet på samma sätt?”
Vad tänker du om det, läsare?