Lektioner från kollot

Snart är sommaren slut för min del och det är dags att sammanfatta vad jag lärt mig under mattekollotiden (jag var lärare för några av Rysslands mest skärpta åttor):
1. Åttan är lite för tidig årskurs för att introducera begreppet grupp.
2. Komplexa tal definieras bäst som mängden av par av tal plus regler.
3. Ha med några stycken 15-spel när du undervisar om permutationer!
4. 2x2x2 – Rubiks kuber som smycken är snyggt.
5. Om man är oförsiktig i sina matteresonemang kan man missa att man egentligen behöver använda satsen om att maximum på kompakt mängd existerar.

Förutom det har jag lärt mig att föra krig mot getingar, gå upp 5 minuter innan lektionerna börjar och hitta dold matematisk betydelse i ryska poplåtar.

Hur använder människor matte i vardagen?

För ett tag sedan åkte jag tåg från Stockholm till Köpenhamn och i sätena bredvid fick jag trevliga medpassagerare. Så småningom nämnde jag att jag höll på med matte, varpå kvinnan jag satt med berättade att hon faktiskt använde sig av matte i sitt jobb.
Det var inga jätteavancerade uträkningar, jag gissar att de involverade för det mesta division. Men det var viktigt att räkna rätt, eftersom människornas hälsa hängde på det.
Jag har tidigare inte riktigt tänk över hur mycket matte folk verkligen använder i sitt jobb- och privatliv (nu menar jag förstås dem som inte är matematiker, fysiker, statistiker etc.). Hur mycket matematik använder en ingenjör egentligen? Vad är viktigare för detta yrke: att räkna rätt eller att tänka djupt?
Sådant tål att funderas på när vi lär ut matten till barn, ungdomar och studenter. Människor lär sig själva det de själva vill förstås, men man kan styra deras förståelse något beroende på vilket utlärningssätt man väljer. Vi styr också i hög grad människornas förhållningssätt till matematiken.
Säg att vi vill lära ut addition av flersiffriga tal till någon elev E. Det finns några olika scenarion:
1. E får mändgder med liknande uppgifter att räkna igenom. Han lär sig en metod: hur man ställer upp additionen och sedan utför den. Till slut utför algoritmen mekaniskt, utan att E tänker särskilt noga, räkning kan bli till en meditativ process.
På så sätt lär barnen sig addition i Kina. Matteproven i de lägre årskurserna består av långa spaltar med räkningsuppgifter, som ska utföras på väldigt kort tid. Där måste eleverna lära sig att räkna hypersnabbt.
Hur kul detta är för E, beror lite på hur E lagt. Jag skulle tippa på att E tycker att det är kul i början (barn i allmänhet tycker om repetativa uppgifter ett tag), men kan bli uttråkad i längden, om samma sak händer lektion efter lektion.
2. E:s lektioner i addition är lite av en lek. Läraren förklarar något spännande sätt att utföra addition på. Exempelvis får eleverna se att
398+345 = 398+2+345-2 = 400+343 = 743
(inte just de stegen skrifligt, utan just idén om att lägga över delar av ena talet till det andra).
E får räkna några få uppgifter under de lektionerna, kanske tillsammans med kompisar. Varje uppgift är intressant och varje resultat uppmuntras eller belönas. E har väldigt kul under den lektionen. Men i fortsättningen räknar han ganska ofta fel, eftersom han inte fick öva så jättemycket själv när han lärde sig.
3. Läraren är hardcore och visar eleverna det teoretiska bakom addition, det vill säga att alla tal är uppbyggda av ental, tiotal, hundratal och så vidare. Eleverna får se flera olika sätt att addera på, samt får förklaringen på varför additionen ställs upp som den gör.
E fattar inte riktigt allt, men hans klasskompis F gör. Detta resulterar i att F blir mycket bättre än alla andra på att räkna och E blir lite förvirrad. Så småningom lär sig alla i klassen räkna hyfsat bra och en del av klassen får en mycket bra känsla för siffror, som gör deras fortsatta inlärning lättare.
De flesta lärare i grundskolan kör på någon blandning ut av de scenarion. Och de är fullt befogat, olika sätt passar ju olika individer.
Men kan det vara så att olika sätt passar olika yrken också? Om man tar integralkalkylen och försöker resonera som i exemplet ovan, så ser man att det finns ännu fler scenarion. Den skall absolut läras ut olika, beroende på hur den skall användas. Vissa kommer att behöva en djupare förståelse för funktioner och grafer i deras arbete och vissa kommer bara att behöva räkna femtioelva integraler om dagen i sitt yrke.
Tyvärr så har Bolognaprocessen en nackdel där. Alla möjliga utbildningar får ta sig igenom en och samma kurs med en och samma kursplan. Det betyder att folk, som behöver lite olika kunskaper och färdigheter alla dras över samma kam.
Men allt är inte kört än, eftersom lärarna oftast har större makt över studenternas inlärning än kursplanen!

För ett tag sedan åkte jag tåg från Stockholm till Köpenhamn och i sätena bredvid fick jag trevliga medpassagerare. Så småningom nämnde jag att jag höll på med matte, varpå kvinnan jag satt med berättade att hon faktiskt använde sig av matte i sitt jobb.

Det var inga jätteavancerade uträkningar, jag gissar att de involverade för det mesta division. Men det var viktigt att räkna rätt, eftersom människornas hälsa hängde på det.

Jag har tidigare inte riktigt tänk över hur mycket matte folk verkligen använder i sitt jobb- och privatliv (nu menar jag förstås dem som inte är matematiker, fysiker, statistiker etc.). Hur mycket matematik använder en ingenjör egentligen? Vad är viktigare för detta yrke: att räkna rätt eller att tänka djupt?

Sådant tål att funderas på när vi lär ut matten till barn, ungdomar och studenter. Människor lär sig själva det de själva vill förstås, men man kan styra deras förståelse något beroende på vilket utlärningssätt man väljer. Vi styr också i hög grad människornas förhållningssätt till matematiken.

Säg att vi vill lära ut addition av flersiffriga tal till någon elev E. Det finns några olika scenarion:

1. E får mändgder med liknande uppgifter att räkna igenom. Han lär sig en metod: hur man ställer upp additionen och sedan utför den. Till slut utför algoritmen mekaniskt, utan att E tänker särskilt noga, räkning kan bli till en meditativ process.

På så sätt lär barnen sig addition i Kina. Matteproven i de lägre årskurserna består av långa spaltar med räkningsuppgifter, som ska utföras på väldigt kort tid. Där måste eleverna lära sig att räkna hypersnabbt.

Hur kul detta är för E, beror lite på hur E lagt. Jag skulle tippa på att E tycker att det är kul i början (barn i allmänhet tycker om repetativa uppgifter ett tag), men kan bli uttråkad i längden, om samma sak händer lektion efter lektion.

2. E:s lektioner i addition är lite av en lek. Läraren förklarar något spännande sätt att utföra addition på. Exempelvis får eleverna se att

398+345 = 398+2+345-2 = 400+343 = 743

(inte just de stegen skrifligt, utan just idén om att lägga över delar av ena talet till det andra).

E får räkna några få uppgifter under de lektionerna, kanske tillsammans med kompisar. Varje uppgift är intressant och varje resultat uppmuntras eller belönas. E har väldigt kul under den lektionen. Men i fortsättningen räknar han ganska ofta fel, eftersom han inte fick öva så jättemycket själv när han lärde sig.

3. Läraren är hardcore och visar eleverna det teoretiska bakom addition, det vill säga att alla tal är uppbyggda av ental, tiotal, hundratal och så vidare. Eleverna får se flera olika sätt att addera på, samt får förklaringen på varför additionen ställs upp som den gör.

E fattar inte riktigt allt, men hans klasskompis F gör. Detta resulterar i att F blir mycket bättre än alla andra på att räkna och E blir lite förvirrad. Så småningom lär sig alla i klassen räkna hyfsat bra och en del av klassen får en mycket bra känsla för siffror, som gör deras fortsatta inlärning lättare.

De flesta lärare i grundskolan kör på någon blandning ut av de scenarion. Och de är fullt befogat, olika sätt passar ju olika individer.

Men kan det vara så att olika sätt passar olika yrken också? Om man tar integralkalkylen och försöker resonera som i exemplet ovan, så ser man att det finns ännu fler scenarion. Den skall absolut läras ut olika, beroende på hur den skall användas. Vissa kommer att behöva en djupare förståelse för funktioner och grafer i deras arbete och vissa kommer bara att behöva räkna femtioelva integraler om dagen i sitt yrke.

Tyvärr så har Bolognaprocessen en nackdel där. Alla möjliga utbildningar får ta sig igenom en och samma kurs med en och samma kursplan. Det betyder att folk, som behöver lite olika kunskaper och färdigheter alla dras över samma kam.

Men allt är inte kört än, eftersom lärarna oftast har större makt över studenternas inlärning än kursplanen!

Mattekollo

Jag och en elev
Jag och en elev

Ännu en juli har passerat då jag har jobbat som lärare på ett mattekollo. Det var en spännande månad med tonvis jobb och upplevelser.

Vi organiserade lekar och sportaktiviteter, film- och spelkvällar, men framförallt var vårt uppdrag att utbilda tonåringar i matematik. Kollot har ett intagningsprov, ett arbete man måste skicka in för att visa att man är välförberedd vad det gäller matematiska kunskaper och färdigheter. Och även många av dem som kommit in har det ganska svårt på lektionerna.

Detta skedde då i Ryssland, man kan se att systemet skiljer sig från den svenska då “alla som vill ska med”. Man kan undra om det finns någon poäng med denna elitism bland barn, vad är egentligen vitsen med att hårdträna dem så tidigt?

Jag skulle vilja påstå att det inte spelar så stor roll att de lär sig just matte. Ämnet är tyvärr oftast föräldrarnas val. Det viktigaste för mig på kollot är att uppfostra tänkande individer. Att sammanföra på detta sätt skola, lek och vänner ger dem en positiv upplevelse av utbildning, hur svår den än må vara.

Eftersom alla har föräldrarna långt borta är alla i samma situation. De vuxna de får umgås med är oftast intressanta engagerade människor (vi ;) ). Om ett barn verkligen är blivande matematiker, kan hon/han välja och vraka bland förebilder.

Det jag inte tycket om är att barnen kan bli för resultatinriktade. De tar med sig betyghetsen från vanliga skolor och blir ledsna ifall inte allting går perfekt. För om man inte får godkänt, kommer man antagligen inte få åka på kollot året därpå. Vilket så gott som alla våra barn ville!

Ljug när du föreläser

Bra fysikföreläsare på Uppsala universitet lyser med sin frånvaro, men nyligen hörde jag talas om ett undantag. Jag vet inte vem det är och kommer inte ihåg varför han var bra, men ett undervisningsknep tänker jag någon gång låna från honom.

Innan varje föreläsning försäkrar han om att någon gång under föreläsningen kommer han att ljuga. Det kan vara allt från ett litet faktafel och felräkning på tavlan till dåligt resonemang gällande någon komplicerad förklaring. Poängen är att studenterna då skall reagera och säga åt läraren eller ställa en fråga om det som känns felaktigt.

Tänk er en morgontidning den 1:a april. De flesta stora tidningarna har garanterat någon skämtartikel den dagen och det gäller att komma på vilken. Men det är inte så lätt att komma på!

Jag brukar snabbt bli misstänksam över någon nyhet och tänker “näää, det där kunde väl aldrig ha hänt”, men sedan vänder jag sidan och har en exakt samma tanke för nästa nyhet. Nästa dag visar det sig att båda nyheterna var riktiga och det var en helt annan grej som var på skämt. Detta visar på att min förmåga att kritisk tänka över nyheter är näst intill obefintlig.

Men samma princip om kritiskt tänkande kan tillämpas på matematiken. Om man inte riktigt kan skilja på sanning och lögn under en föreläsning så accepterar man istället allting godtroget. Även om läraren gör något uppenbart räknefel är det många som inte vågar påpeka det. De litar inte på sin förmåga att urskilja matematiskt sanning från lögn och det kan bero på flera saker. Kanske tränar man inte förmågan särskilt ofta eller så kan man inte tillräckligt om ämnet, som i fallet med mig och nyheter.

“Ljuga på varje föreläsning”-strategin skulle passa utmärkt på matematikföreläsningar. Frågan är ifall den lämpar sig bäst för “äldre” studenter, som har fått lite kött på benen när det gäller matte, men jag anser inte det. På samma sätt som att man lär ett barn att simma genom att kasta det i vattnet så lär man nya studenter att orientera sig i matte genom att tvinga dem till att göra det.

Den här strategin får elever att lyssna nogrannt, ställa frågor så fort det finns någonting oklart och hindrar dem från att fastna i ett transliknande tillstånd “skriv av allt från tavlan” (för något kan ju vara fel och då får man skriva om). Varje föreläsning får de en ny intellektuell utmaning, varje gång kommer de “läsa tidningen” lika noggrant som 1 april!

Så du som har undervisning, prova att ljuga för dina studenter (berätta om det först för dem såklart) och skriv hur det gick!

Ska man plugga matte själv eller i grupp?

Studierna på universitetet skiljer sig mycket ifrån gymnasiestudier. Det kan verka först att det enda som förändrats är mängden arbete man måste utföra för att klara sig bra, men så enkelt är det inte.

Mängden “plugg” som måste ske är lika stor som på gymnasiet egentligen, men all planering lämnas nu åt dig själv. Det viktigaste under din första termin är att utveckla din studieteknik, det vill säga när, hur och var du pluggar för att lära dig bäst. Själv insåg jag detta så sent som mitt andra år på universitetet. Sedan dess har jag provat med olika sätt att plugga och bara nyligen (femte år på universitetet) kommit fram till hur jag pluggar bäst. Så sätt igång och utveckla din studieteknik nu!

Här är ett länktips:

Min favoritblogg i studieteknik (på engelska)

Ditt sätt att studera måste förstås anpassas efter ämne, låt oss anta att ämnet du skall studera är matematik. Du kanske redan har testat att öppna matteboken själv och upplevt hur långsamt det går att ta sig igenom texten. Det går att räkna några uppgifter själv men man fastnar alltid så småningom!

Annat är det om man har kompisar att plugga med! Alla hjälps åt att första det svåra i boken och om alla räknar samma uppgift så går det att jämföra svaren.

Det kan ofta avgöra dina studieresultat ifall du hittar någon person som det passar bra att plugga med. Hittar du någon som ligger på ungefär samma nivå som du, ungefär lika snabb på att räkna och som inser saker du inte gör och vice versa, blir det plötsligt mycket roligare att även tentaplugga. Kan personen passa tider, så kan det knappast bli bättre.

Men akta dig från att fastna i tankesättet “det viktigaste är att klara tentor”. Det är inget fel med att tycka så egentligen och då rekommenderar jag delvis gruppräkning. Men vill du ha garanti på att du verkligen har lärt dig sakerna i en viss kurs, så måste du plugga huvuddelen av tiden på egen hand. Problemet med att vara i en grupp är att bilden av vad du egentligen förstår kan bli ganska skev. Kompisarna kommer inte vara där på tentan och kan inte fylla i dina luckor!

I matten finns ingen “delförståelse”. Antingen förstår man en teori eller en metod eller så gör man inte det, vilket kan både vara nackdel och fördel. Visst, du kanske kan utföra en metod utan att förstå det och det ger absolut poäng på tentan, men du kommer inte minnas metoden sen. Poängen med kurser förutom faktakunskaper är framförallt att du ska ha sett strukturer och metoder, fått en känsla för dem och ska kunna känna igen liknande saker senare.

Det är precis på samma sätt med saker som vi lär oss i grundskolan. “Vem bryr sig om spansk grammatik?” tänker man kanske, och har en helt berättigad fråga. Spansk grammatik är säkert inte så viktigt just för dig, men övar du på att förstå grammatiska strukturer kommer du ha det lättare när du lär dig nya språk, programmeringsspråk och andra saker senare i livet.

De senare åren på högskolan blir det för det mesta eget arbete. Kurserna har få deltagare, projekten blir fler. Därmed är det viktigt att du redan vet hur du testar dina kunskaper på egen hand, hur du tar dig igenom en svår bok eller uppgift. Glöm inte att föreläsarna och deras medhjälpare finns till för att svara på dina frågor, men tänk någon minut själv på frågan innan du ställer den. Tyvärr så är inte alla föreläsare perfekta, så det är bra att ha backup-planen “studera själv” om du råkar få en dålig lärare, eller kursare som du inte vill plugga med för den delen.

Så plugga själv och diskutera frågor om du måste, och gör det helst med någon som kan ämnet. Pluggar du med kompisar är det bäst för dig själv att lära ut saker du redan kan för att minnas dem, men kom ihåg att någon annans förklaring implicerar inte din förståelse.

För svåra lektioner

Eleverna stirrar i tomma intet, läraren kan inte komma på tillräckliga förklaringar, alla lyssnar intensivt men ingen tar emot vad som sägs. Vad ska man göra när lektionen har blivit för svår? Och finns det någon poäng med att ha svåra lektioner?

För några få människor kan det vara väldigt stimulerande att gå på obegripliga föreläsningar. “Tänk att det finns så mycket kvar att lära sig” inser de och blir stimulerade till att jobba mer för att ha chansen att första sådana framtida föredrag. Sådana människor har oftast inga problem att lära sig nya saker själva, eller i alla fall har lätt för stimulans för inlärning. Men för de flesta är det tyvärr inte så.

Sådana tillfällen då deltagarna tar till sig alldeles för lite för att kalla det hela “förståelse” hör inte hemma i den vanliga undervisningen. Antalet träffar är mycket begränsat både i grundskolan och högskolan och man måste utnyttja dem maximalt. Det finns sätt att få i både stimulans, utmaning och förståelse i lektionen utan att göra det för svårt.

Hur gör man då som lektionsledare? Ofast har man (förhoppningsvis) större kunskaper än eleverna och därför också överskattar vad de har koll på och hur lätt det är för dem att förstå någonting nytt. Jag håller därför lektionerna på enklaste möjliga nivån, vilket innebär att jag alltid påminner om vad begrepp innebär. Som man säger på ryska “Repetitionen är lärandets moder”. Ingen vågar ju ställa frågor om de enklaste sakerna, eller sakerna man gick igenom förra gången, för att inte verka dum. Men det är ju egentligen konstigt att förvänta sig att alla ska kunna allt man gått igenom. Men tyvärr tror de flesta att det är kravet för att vara duktig i skolan.

Det är ungefär som att förvänta sig att när en matematiker definierar någonting, så ska vi genast förstå det. Vadå, han har ju definierat det, det måste vara nu universiellt vedertaget :)

De bästa lektionerna jag har haft har varit interaktiva, där eleverna är så mycket som möjligt involverade i diskussioner och problemlösning men samtidigt bara då lektionen började på ganska enkel nivå. Det gäller att få igång dem och sedan öka svårighetsgraden långsamt.

En hel del svåra lektioner har jag haft också. Även om man gör det hela så enkelt som möjligt är det ingen chans att man gör det för enkelt men fortfarande stor chans att man gör det för svårt. Det är inte lätt att bryta mitt i lektionen och börja om, men det ger mer för klassen om man går igenom få saker ordentligt och begripligt än att man hinner igenom all tänkt material men tar sig igenpm det för fort.

Vad ska man gör som elev då? Om du upptäcker att du knappt förstår någonting på din lektion eller föreläsning, fråga om den första saken du inte förstod. Om svaret inte klargjorde något, gå därifrån. Antingen kunde inte läraren anpassa sig till din nivå eller så är du inte redo för att förstå ämnet eller så fungerar inte lärar-elev-relationen just på den lektionen. Hur som helst kommer du inte få ut särskilt mycket av att stanna kvar och det är då bättre att studera timmen ut på egen hand.

Hur man håller ett bra föredrag

Förra veckan befann jag mig på en mattekonferens i Glasgow. Temat var kategorifikationer, så ni kan gissa att de flesta av föredragen var ganska svåra. Det hände mer än sällan att jag bara förstod en liten del eller inte något alls.

Det lustiga är dock att det till en väldigt stor del beror på hur föreläsaren lägger upp presentationen och till en inte så stor del på innehållet. Själv har jag hållit i färre föredrag än det finns fingrar på min vänstra hand, men lyssnare har jag varit på många fler än vad jag kan minnas.

Så jag tänkte ge en lyssnares perspektiv på det hela. Eventuella föredragshållare som läser detta får betrakta listan som tips för eventuell förbättring.

Låt oss dock enas om att föredragen i fråga är inte för allmän publik, det vill säga snarare om något expertområde. Det kan vara en specialföreläsning för studenter, något för temadagen på högstadieskolan, men absolut inte något politiskt tal till exempel. Föredraget hålls för större publik, säg 15 personer eller fler, som kan ha mycket olika bakgrund men är intresserade av föredragets ämne (alternativ finner titeln spännande). På förhand känner föredragshållaren inte till alla i publiken.

På vilket sätt undviker man att göra det för lätt, för svårt eller med för hög sömnfaktor?

1. Förebered innehållet. Förhoppningsvis vet du på förhand vad du vill säga. Det märks tydligt om talaren kan sin sak väl och föredraget flyter smidigare om så är fallet. Skriv ner precis allt du ska säga tydligt på stödpapper, om du skall använda tavlan, i annat fall är det fördelaktigt att skippa anteckningar.

2. Planera tiden. Det är mycket vanligt att tiden tar slut innan du hunnit berätta allting. Ett sätt att undvika detta är att repetera föredraget högt själv eller framför testpublik och se hur lång tid det tar. Sedan lägg på en tredjedel av den tiden för eventuella frågor. Om det ändå blir tidsbrist när du väl gör det på riktigt, var inte rädd att avsluta tidigare än du tänkt. Visst vill man kanske förmedla något väldigt viktigt, men det kan göra mer skada än nytta när publiken ändå är för trötta för att lyssna. Tycker de att föredragets början var spännande, kommer de kanske själva komma fram och fråga det som intresserar dem efteråt. Kom ihåg att föredraget är till för publiken.

3. Presentera idén. Det finns något viktigt i det du har att säga. I matematiken är det ofta någon idé som tillämpas under föredraget. Börja gärna med att säga några ord om vad du vill förmedla och vad som är största poängen i det som kommer. Nämner man inte det alls är det stor risk att många förlorar sig i de tekniska detaljerna och då inte tar till sig idén.

4. Använd illustrationer. Säg att du använder tavlan. Kom ihåg att “en bild säger mer än 1000 ord” och försök att vid varje tillfälle ha åtminstone en bild eller ett diagram någonstans på tavlan. Annars tilltalar inte föredraget människor med visuell förståelse. Samma sak om du använder overhead (eller powerpoint) – ha sliden liggande och synlig i åtminstone 3 minuter. Rita gärna på overheadslides eller ha stegvis uppbyggande av powerpointsidor, då ser åskådaren hur bilden skapas och mycket lättare kan följa talarens tankegång. Notera också att inte bara bilder kan vara bra illustrationer, även exempelvis vardagsberättelser kan illustrera en poäng.

5. Tala till publiken. Som sagt, du föreläser inte för tavlan, golvet eller väggen, utan för publiken. Vanan att titta på lyssnarna när man talar kommer naturligt med erfarenheten. Ögonkontakten inbjuder åskådarna till mer interaktion, som till exempel att ställa frågor.

6. Undvik sidospår. Det händer att man kommer på något extra att säga eller upptäcker ett sätt att förklara något extra noga. Inget fel i sig, men lyssnarna har (förhoppningsvis) mycket ny information att ta till sig redan. Kräver något i ditt föredrag mycket förkunskaper, är det ingen idé att försöka gå igenom dem “lite snabbt”. Antingen kan personen som lyssnar det eller inte och på kort tid går det inte att få full förståelse. Förklara det svåra i ett par meningar och i stora drag, unvik exakta definitioner och formuleringar.

7. Ha en röd tråd. Påminn om idén från punkt 3 genom hela föredraget. Återknyt det du har berättat till din början, på så sätt blir poängen tydliga. Berättelsen blir också mer växlande: från fördjupande till övergripande. Sammanfatta gärna i slutet vad det är du egentligen har berättat om, tyvärr blir detta sällan gjort på grund av brister i tidsplaneringen,

8. Använd humor, men inte för mycket. Humor kan användas för att väcka upp folk som börjat tänka på annat. Föredrag brukar ha stort kunskapsvärde men inte så högt underhållningsdito. Å andra sidan kommer du inte uppfattas som seriös föredragare om du skämtar för mycket. Ungefär tre roliga meningar eller illustrationer per timme rekommenderas. Som i alla andra sammanhang, var positiv, du har då större chans att nå ut till dina lyssnare.

Kan man lära ut matte med hjälp av spel?

Eller en ekvivalent fråga: kan man lära sig matte med hjälp av spel?

Jag har lagt till en spelsida på bloggen med lite snodda småpussel. Syftet med detta är ännu oklart, men det fick mig att tänka på ovanstående frågor. Så nu menar jag alltså spel för en person, säg datorspel.

Kännetecken för spel är det interaktiva, det som just är kärnan i allt lärande.

Säg till exempel att ni skall förstå situationen “kontinuerlig, men inte deriverbar (i en viss punkt)”. Någon säger till er att denna situation förekommer och ni försöker förstå varför detta är möjligt. Ni kommer kanske på själva eller oftast berättar läraren rakt av exemplet y=|x|, beloppfunktionen. Aha, nu är det klart hur det kan vara möjligt!

spel

Något senare träffar ni på ett annat exempel, som den till höger. Och visst passar den och ni kanske kommer ihåg den i kort tid. Men om någon frågar er om en funktion som är kontinuerlig men inte differentierbar i alla punkter, så föreställer ni er först av allt y=|x|. Lite för att ni såg den först, men mest för att ni förstod den först.

Det kanske inte var ett jättebra exempel. Men fråga nästan vem som helst som har bevisat något. Om man bevisar någonting själv, men sedan får se ett snyggare och kortare bevis för samma sak, minns man ändå med all säkerhet sitt egna bevis, men inte det andra.

Därför är det helt avgörande för inlärningen hur mycket eleven själv får jobba.

Kan man då på något sätt få in matematikens lärdomar i ett spel? Vad är det man redan kan lära sig i existerande spel?

Tag sudoku till exempel. Brukar stå i tidningar “träna din hjärna mha en sudoku varje dag” osv osv. Det sudoku egentligen tränar är:

1. Förmågan att se över mönstret och urskilja det viktiga, till exempel titta på alla 9:or och fylla i dem som saknas.

2. Tekniken “systematisk fallundersökning”. Ifall det finns flera möjligheter för en viss siffra, så kanske man skriver en möjlighet lite smått i en ruta och försöker forsätta. Det viktiga här är att inte glömma alla fall.

3. Problemlösningförmågan ifall man löser svåra sudokun. Om man inte fuskar och läser på nätet så kanske man upptäcker en ny metod själv.

Det är inte mer än så. Det händer ännu mindre om man spelat på samma nivå länge.

Poängen med de spelen jag överhuvudtaget kan komma på är att de tränar “skills” och inte lär ut någon kunskap/fakta. Mycket lättare är det för ämnet historia, många har lärt sig största delen spelandes Civilization och Europa Universalis och inte i skolan. Historia handlar per definition om människans interaktion.

Matematiken och andra naturvetenskaper är mycket mindre beroende av människan.

Ett bra mattespel skulle gå ut på att spelaren löser problem eller hittar bevis. Det får mig att tänka på spelen som liknar Myst, det vill säga quest-spel. Man spelar väsentligen genom att klicka på saker i rätt ordning, gå till olika platser och hitta samband mellan saker som händer. Brukar vara jättekul att spela tills man fastnar på någon svår sekvens.

Går det att göra något liknande med ren matematik? Säg att man samlar ihop lappar med definitioner och påståenden. Lägger man dem i rätt ordning, så kommer kanske ett lemma ut. Och sista bossen är Fermats stora sats!

Låter inte som världens mest spännande spel, men tål att funderas vidare på. Slutsatsen jag drar är att spel kan träna och utveckla specifika förmågor, som är nyttiga i matematikstudier. Logisk resonering, mönsterseende, allt detta kommer till nytta. Men förståelsen för matematisk teori verkar omöjlig att lära ut på något sätt som inte är ekvivalent med traditionell lärare eller bok.

What the Best College Teachers Do

Även om man  har ett riktigt jobb, ett rätt krävande sådant, så har man ibland lite tid att läsa böcker också. En dag såg jag en bok med titeln ovan liggande hemma hos min vän. “Jag vill vara en sådan!” tänkte jag, “hur gör man?” och bad om att få låna boken. Det var någon gång i november tror jag.

Boken, som är skriven av Ken Bain, tog ett tag att läsa, för att engelskan i den är lite svår. Jag läste klart den igår (mars är det nu). Men redan från början blev jag helt fascinerad av idéerna och ofta la jag undan boken för att tänka igenom hur jag skulle kunna implementera vad som står där. Jag kan lugnt säga att det till en jättestor del var just den här boken som fick mig att starta bloggen.

Vad kan man säga om boken? Det är en studie där många framstående universitetslärare betraktades och man såg vad de gjorde för saker gemensamt. Det är väldigt läsvärda insikter, oavsett om man är lärare eller elev. Det framgår tydligt att undervisningens poäng är att hjälpa människor att lära sig saker och hjälpa dem att lära sig hur man lär sig själv saker. Om man förstår hur man bäst lär sig då lär man sig bättre, givetvis!

Ett av de viktigaste insikterna jag kom fram till om mig själv hade att göra med min uppväxt. Barn, som får uppmuntran och beröm för specifika saker de utför, lär sig att hårt och inbitet arbete lönar sig. Andra, som får beröm i största allmänhet, tror snarare på att intelligens är medfött och olika talanger kan inte uppkomma eller utvecklas från ingenting. Individerna i det senare fallet tycker snarare om att jobba med saker som är lätta att klara av och senare på universitet bryr sig inte så mycket om djup inlärning. Jag insåg med lite ångest att jag var ett av de senare fallen till en stor del. Nu tror jag på att hårt arbete ger resultat oberoende av hur bra man var på något från början.

Vad finns det mer att säga om boken? Läs den!

Och ifall ni har några andra böcker om undervisning som ni kan rekommendera, skriv det gärna i kommentarerna!

Svenska eller engelska?

Imorgon skall jag hålla i en föreläsning om kategoriteori. Det är i en kurs som några doktorander går, och varje deltagare måste hålla i ett par föreläsningar själv. Vilket är jättebra, tycker jag, för man lär sig bäst genom att berätta materialet för andra, men det blir kanske ett annat inlägg.

Det som förbryllar mig ibland är att på de avancerade matematikkurserna sker undervisningen i princip alltid på engelska. Det beror ibland på utbytesstudenter närvarande, eller kanske gästforskare från utomlands, men ofta är inte fallet så. Ofta kan alla i rummet prata svenska, förstå svenska på ett bättre nivå än engelska (för de flesta får minst lika mycket praktik i svenska). Ändå föreläser man på engelska och diskuterar eventuell frågor på engelska också.

Det finns en enkel orsak till det, nämligen att det inte finns någon utvecklad terminologi i avancerad matematik på svenska. Hur säger man “pullback”, “sesquilinear” eller “Lie bracket”? I talspråk doktoranderna emellan säger man “Liebracketen”. :) Det är inte helt uteslutet att de svenska orden finns, men de är i vilket fall inte i bruk. Läser man matematiklitteratur på engelska, så kan man orden just på engelska och inget annat.

Vari ligger problemet då?

Jo, även om det känns onaturligt att prata engelska i ett rum full av svensktalanade personer, så är inte det ett fel i sig. Men, majoritetn av de här personerna talar mindre flytande engelska än svenska. Säg att någon ska ställa en fråga. Då går halva (eller mer) tankekraften åt att formulera frågan på engelska och resten åt att tänka igenom matematikinnehållet i frågan. Språk och matematik ockuperar samma hjärnhalva och slåss om hjärnkapaciteten!

Efter att frågan är ställd, skall en annan svensktalande person först uppfatta frågan, översätta och tolka den matematiskt och sedan händer samma process med svaret. Det är inte problematiskt i sig att diskussionerna pågår långsammare, men man tappar det här flytet, så att det hela inte längre går att kalla för “ett naturligt samtal”.

Händer detta på en grundutbildningskurs är det ett ännu värre problem, eftersom många har svårare för att ställa frågor då. Jag vågade i alla fall inte prata engelska förrän sista året på utbildningen.

Nu har jag mycket mindre problem med engelskan, men jag vet inte om jag borde köra på det imorgon för terminologins skull. Jag menar, vem är inte van att höra på föreläsningar på svengelska ;)