Att bevisa

Idag startar min nya mattecirkel. Det är förvisso bara en elev i den än så länge, men jag kallar det hela mattecirkel i alla fall av en gammal vana. Mina mattecirklar brukar innehålla sådana problem som inte förekommer i vanliga skolan, utan snarare i matematiktävlingar, som HMT.

Det är svårt men ganska spännande att introducera någon till matematikvärlden. Vilka områden skall man lära sig mer om först av allt? Vilka problemlösningstekniker?

Det mest essentiella i matematikstudier är att kunna avgöra vad som är ett bevis eller inte. Sedan så småningom får man intuition för vad som är tillräckliga bevis eller inte. Till exempel blir studenter ganska ofta osäkra på ifall de kan anta ett visst påstående i kursboken eller om man ska visa påståendet. Eller hur många Gausseliminationer måste man redovisa för att uppgiften inte ska få avdrag?

Allt detta beror på i princip på erfarenhet, och man lär sig att avgöra sådana frågor efter några månader eller något år.

Hur började du med matematiken? Vilka bevis förstod du först av allt?

(Passande förresten att starta en mattecirkel på pi-dagen :) Grattis alla!)

En liten inluppsrättningshistoria

I stort sett varje lärare spenderar många timmar av sitt liv på att rätta tentor och inlämningsuppgifter. Det kan vara frustrerande, om många personer gör olika fel. Det kan vara snabbt och lätträttat när alla gjort rätt. Men ofta är det tyvärr tråkigt, när det gäller inluppar i alla fall, nämligen att studenterna har  samarbetat och gjort exakt likadana fel.

Under en sådan session berättade min kollega om ett roligt avskriftsfel.

Uppgiften gick ut på att hitta en bas till något rum, det vill säga en lista med vektorer. Svaret bestod alltså av en uppradning av vektorernas koordinater.

Min kollega håller på och rättar uppgiften. I en av inlupparna har en viss elev gjort allting rätt, men plötsligt kommer det någonting konsigt på slutet. Precis på raden med svaret är det fel! Av någon anledning har eleven delat alla vektorer med 5. Hmm, men allt annat är ju rätt, så varifrån kommer det här konstiga felet, tänker min kollega … Ett tag senare hittar han en annan elev, som har gjort precis samma fel! Allt är rätt, men vektorerna delas med 5 på slutet.

Då detta uppenbarligen varit avskriftfel letar min kollega igenom högen efter originalet. Vad ser han där? Allt i uppgiften är gjort rätt. Och på slutet, så har eleven markerat svaren lite grann, genom att stryka under varje vektor. Ni vet, sådan s-formad understrykning. :)

Moralen är: det märks oftast när studenterna skriver av varandra utan att tänka efter.

Alternativa examinationsmetoder: munta

Det finns många olika sätt att genomföra sin undervisning. Läraren kan ha föreläsningar, lektioner, laborativa pass, case studies och diskussionstillfällen, bara för att nämna några. Men det många inte tänker på är att man också kan variera sig när det gäller slutlig examination.

Det man oftast väntar sig av en kurs i ett teoretiskt ämne, är att den slutar i något form utav skriftligt prov. Ibland är det en så kallad hemtenta, det vill säga ett större prov man skriver hemma på egen hand. Men oftast är det en salstenta, men begränsad tid och bestämda frågor, vars svar skall lämnas in skriftligt av var och en.

Denna examinationsform är dominerade och det är inte så konstigt varför det är så. Men hjälp av några skriftliga frågor och problem går det att täcka det mesta av kursinnehållet. Dessutom finns det äldre prov som man kan basera sina egna på. Då finns det två föredelar: eleverna studerar gamla tentor och vet de vad de har att förvänta sig av det nya, samt att läraren kan vara säker på att ta upp allt det relevanta.

Eller?

Det går aldrig att testa om en elev kan allt innehåll i kursen och man kan argumentera om vad “kan” egentligen betyder. Men det gör vi inte här. Istället vill jag berätta om mina erfarenhet av muntlig examination!

När jag och några kollegor ordnade munta var det inte den enda stora examinationen, utan en del av det. Om man klarade muntan behövde man inte göra en svår del av tentan. Detta var alltså ett sätt att locka studenterna till att göra munta. Varje munta beräknades ta 10 minuter per student och man fick komma i grupper om max 3 personer (dock inte hjälpa varandra med att svara på frågorna under muntans gång). Allt för att göra det hela till en behaglig upplevelse.

Själv hade jag aldrig behövt göra munta under min tid på universitetet. Och hade jag behövt göra det skulle jag ha varit rädd, speciellt första gången. Kan man inte allting utantill känns det inte jättelockande att spendera ens 10 minuter med lärarna som ställer frågor och ber en berätta allt möjligt och bli bedömd på direkten. Kanske till och med utskrattad! Hemskt!

Trots allt detta kom majoriteten av våra elever, läste på innan dess, gjorde sitt bästa under muntan och var i stort sett nöjda med hela experimentet efteråt. Vi ställde för det mesta teoretiska frågor om envariabelsanalys. De fick formulera satser, ibland bevisa något eller lösa något exempel på tavlan. Eleven fick själv välja ett ämne inom anaysen att berätta om, och vi lärarna valde ett annat ur en lista med ämnen (som var känd innan).

Vi hann givetvis inte prata om så mycket med eleven på 10 minuter, men i någon mening blev det i alla fall något som påminde om en dialog. Eleven har chansen att försvarar sig om denne blir missuppfattad, samma gäller oss lärarna. Det var också en fördel att vara flera stycken som diskuterade betyget (eleven fick inte vara med då, men vi var alltid två lärare). Det var inte bara den rena kunskapen vi betygsatte utan också förmågan att berätta matematik för någon annan och kunna uttrycka sina tankar.

För är inte det som är målet med alla våra kurser egentligen? Den faktiska kunskapen spelar sekundär roll, förståelsen kommer med tiden. Det mesta i kursen är ändå inte särskilt viktigt att kunna i ens framtida yrke. Att kunna förklara sina tankar däremot är en av de mest grundläggande färdigheterna som behövs för framgång!

Inlärning

För länge sedan läste jag att man lär sig bäst när det nya i materialet utgör 30% . Med andra ord, 70% av det man läser, hör och ser ska helst redan vara bekant. Det tycker jag är en ganska rimlig siffra, dock går inte det ihop med begreppet traditionell föreläsning.

En vanlig matteföreläsning innehåller i princip bara nya begrepp,  satser och metoder. Föreläsarna ånstränger sig mycket för att hinna med åtminstone det som står i kursplanen, just för att eleverna ska ha sett “allt” innan de går och studerar på egen hand. De blir ju förstås upprörda om det kommer upp någonting på examinationen som de aldrig har sett förut.

Det är svårt att hitta något alternativ för att optimera inlärning under en föreläsning. Det bästa är att ta upp gamla exempel i lysa upp dem i det nya sammanhanget. Exemplet är någonting studenterna (förhoppningsvis) har sett förut och har någon slags relation till. Berättar man någonting nytt om det kommer det att utgöra ungefär 30% av hela exemplet.

På grund av samma princip lär jag mig bäst innehållet i en kurs tidigast kursen efter. När man ska lära sig flerdimensionell analys är det absolut viktigt att kunna endimensionell analys och då lär man sig det. Och när kursen i endimensionell analys går lär man sig vad man egentligen sysslade med på gymnasiet :)

I matematiken gäller alltså påbyggnadskunskap hela tiden. För att ta ett exempel, tänk på en rektangel. Alla lär sig det begreppet förr eller senare i livet, antingen från verkligheten eller abstrakta bilder. När det är dags att förstå begreppet “area” ritar läraren upp kvadrater eller rektanglar på tavlan och vi får genast en relation till det här nya mattebegreppet. Det första människor tänker på när någon säger “area” är en rektangel. Vi fortsätter vidare, förbi funktioner till envariabelanalys. Säg att vi behöver lära oss hur funktioner maximeras. Absolut bästa exemplet då är det som går ut på att hitta största arean för en rektangel med given omkrets. Väldigt verklighetsanknutet och högst praktiskt problem. Svaret är då att en kvadrat är den formen som ger störst area. Om inte mer, lär man sig åtminstone att maximera funktionen x(1-x) från detta exempel.

Här syns min förkärlek till exempel och jag kan aldrig själv föredra att gå en kurs med endast nytt teoretiskt material. Det är ingen som tycker att någonting är intressant om ingen kan förstå det.

Att sätta händerna i degen

I den stora boken “Algebra” av Grillet liknar författaren viss matematikinlärning med att knåda deg. Att lära sig vissa saker går bara om man själv försöker härleda eller använda dem. Till exempel matrisräkning kan man inte utantill om man inte multiplicerat en enda matris.

Jag håller fullt med om detta. Var själv väldigt priviligerad om att gå i den hårda ryska skolan och räkna 20 polynom, ekvationer och uttryck om dagen. Samma sak med multiplikation och division i de tidigare skolåren. Detta kommer till en användning i vardagen, då jag inte alltid har dator/miniräknare med mig, men oftast tillgång till papper & penna eller tavla & krita. 

Jaja, det är kanske ingen som bryr sig om att kunna räkna fort nuförtiden, varken tal eller andragradsekvationer, men människor vill kunna göra det (utan miniräknare). Speciellt studenter. Och enda vägen att lära sig är hårda vägen. 

Vad är bästa sättet att få eleverna att göra 20 ganska likadana uppgifter?

Om motivationen är “klara provet” eller “klara tentan” är det plötsligt en väldigt tråkig sak för dem att göra, för att man “måste”. Det sättet som gjorde det roligt för mig i lågstadiet i alla fall var att jag tävlade mot min bänkkamrat. Oavsett om det var rysk grammatik eller matte, så tävlade vi om vem som gjorde uppgifterna snabbast på lektionen. Långt ifrån alla är tävlingsinriktade förstås och alla har olika tempo. Dessutom var det inte läraren som gjorde det roligt för oss, utan det var vi själva.

Som lärare har jag inte vågat säga åt eleverna att utföra det här repetativa uppdraget. Det har Thomas Erlandsson däremot gjort till mina nya elever och jag kan säga att det funkar hur bra som helst. Han sa åt dem att räkna ett hundratal uppgifter från boken och det gör de också. När allt kommer omkring, är inte uppgifterna så djävulkst tråkiga.

När det gäller matriser och linjära avbildningar, så har jag gjort en stencil som börjar enkelt och testar färdigheter, men sedan blir allt svårare. Jag delade ut den på lektion 9 i kursen “Linjär algebra och geometri I” och man fick sitta med var sin stencil och komma så långt man kunde. Notera att samtidigt som att man gör standarduträkningar, smyger ovanliga uppgifter in och de får upptäcka lite matematik själva. Jag kan stolt skryta om att eleverna inte märkte när lektionstiden var ute, för de var så inne i stencilen. Här är den och stort tack går till min vän Djalal, som fixade kaninbilderna. (Bäst är att läsa den i utskriven version för sidorna på slutet är bilder som hör till tidiga uppgifter.)

Har ni några tips på att göra tråkig räkning rolig?

Att använda olika färger

Jag har precis haft föreläsningar med en ny lektor, och hans tavelteknik var fascinerande! Förutom att han talade tydligt och klart, förklarade långsamt och bra, tittade mot klassen och aldrig drog över tiden, så var han en mästare på att använda färger!

Tänk er en vanlig grön/svart tavla som man skriver med vit krita på.  Efter ett tag blir det rätt så monotont, för att inte tala om plottriga bilder. Man ursäktar sig och försöker flitigt förtydliga vilka sakerna på grafen eller bilden är genom att rita massa små pilar med förklaringar. Eleverna försöker desperat kopiera från tavlan och det uppstår frågor om var “x” egentligen är på bilden ;)

Inte gör Warwick (föreläsaren) så inte. Han använder framför allt vit, gul och röd krita. Skriver två rader (en mening till exempel) med vitt, men sedan kommer en ekvation, den skriver han då med gult! Nästa rad är omvandling av den första ekvationen, de hänger ihop, så den andra ekvationen skriver han också med gult. Dags att växla tillbaks till vitt. Nu kanske de behövs en liten anmärkning, den skrivs med små bokstäver och rött. Allt detta flyter på utan avbrott! Han har alla tre kritorna i handen hela tiden (hmm, kanske till och med fler färger) och växlar snabbt och naturligt.

Det som står på tavlan blir 50% roligare och 94% tydligare att läsa, man vet nu vad som händer ihop med vad! Man livas upp och blir glad av den gula färger och börjar nästan tycka mer om ekvationer än ord.

För att inte tala om vad man kan göra med grafer/bilder/diagram! Använda en ny färg för varje ny typ av grej på bilden är en bra tumregel.

På måndag blir det besök i kritskåpet!

Underhållningsvärdet av en lektion

Några av mina andra lektioner i Linjär Algebra II gick inte lika bra som den första. Ett litet tag in på lektionen märkte jag att eleverna tyckte att det jag pratat om var för svårt, för tråkigt eller kanske för lätt – de började gäspa. Vänder man sig mot klassen med jämna mellanrum kan man lätt märka ifall de följer med och lyssnar eller om de tänker på annat. Är de inte inne i vad jag säger så snackar de kanske med grannen eller halvsover.

Vad gör man då? Nervositeten stiger, rösten darrar, man försökte skämta för att liva upp dem lite, vilket inte brukar gå så bra. Inte ens färgglada vektorer på tavlan hjälper. Då skulle det varit bäst att avbryta med en uppgift så de själva får jobba, men det är inte säkert att de kommer göra det, de är ju för oinspirerade och uttråkade.

I andra grupper går lektionen bra allra från början, är det en del som lyssnar uppmärksamt, så sprids den inställningen i hela gruppen. Alla mina skämt går hem och blir uppskattade (ok, åtminstone några)! Efter genomgången tar något trötta elever rast och nästa timme arbetar flitigt på egen hand.

Jag tänkte att detta berodde på något sämre förberedda lektionerna i första fallet, kanske de olika uppläggen av kursen för de olika grupperna. Kanske berodde detta på elevernas bakgrunder eller matematikkunskaper.

Men nu ser jag att just hur underhållande lektionen blir, hur kul eleverna har, beror på gruppsammanhållningen. Har ni märkt att de duktiga eleverna ofta är minst två och de sitter bredvid varandra?  Det är svårt att komma på alla frågor och funderingar på egen hand. Har ni märkt att eleverna har det roligare på rasterna om det finns bra gruppsammanhållning? Senaste lektionen kallade mina elever varandra för “linjärt beroende” och drog massvis med matteordvitsar :D Yeah!

Intresset för saker de lär sig spelar också stor roll förstås. Därför är målet för en lärare att från dag ett fixa:

1. Gruppsammanhållning genom en gemensam uppgift eller stor diskussion där alla verkligen är involverade (behöver inte handla om matte).

2. Intresset för kursen. Dra några problem eller exempel relevanta för elevgruppen eller människor i allmänhet.

Finns det dumma frågor?

Man hör jämt vissa lärare säga “det finns inga dumma frågor”. Man hör också ofta sina kursare eller klasskompisar klaga på någon störig typ, som “alltid ställer korkade frågor”. Så vilket är det som gäller?

Själva frågan som ställs är svår att döma i sig, speciellt tagen ur sammanhanget. “Är 2+2=4?” betraktas inte som en jättesmart fråga på mellanstadiet, på universitet/högskolan kan den däremot vara djupt filosofisk utan något kort svar. “Varför kommer det ut ånga ur vattenkokaren?” är en smart fråga för ett litet barn, men lite dum för en fysiker/kemist.

Det vi egentligen dömer är tänket bakom frågan, hur resonerade personen innan han eller hon ställde frågan, resonerades det överhuvudtaget? Om vi själva tror att personen inte tänkte efter, samtidigt som vi gjorde det, så stämplar vi personen som “dum”. Felaktigheten här ligger i att själva frågeställningen är en tanke, om personen inte tänkte efter och ställde en fråga, så tänkte personen bara högt. Vilket i civiliserad kultur betraktas konstigt eller dumt.

Vad är då en smart fråga? Frågor som uppfattas som smarta av läraren och andra elever är sådana som ingen annan tänkte på. Frågan är då ett bevis på att eleven förstått, tänkt efter och tänkt längre. Men så är det inte alltid, säg att läraren glömde att ta upp något trivialt specialfall av ett problem. När eleven påpekar felet handlar det om uppmärksamhet plus lite grundlig förståelse.

Som sagt, att ställa en fråga, tyst eller högt, är att tänka på det man ser eller hör. Innan dess bearbetas informationen och egna slutsatser dras. Och att tänka själv, är inte det att vara smart? Jag håller fast vid att det inte finns dumma frågor, men det finns mängder med opassande tillfällen att ställa en viss specifik fråga.

Ett sätt att lösa det som lärare är följande. Ge eleverna något att tänka på, gärna något klurigt, där man är osäker på svaret. Låt dem tänka självständigt i ett par minuter, be dem att eventuellt skriva ner sina funderingar. Detta ger garanti på att de verkligen tänkt efter och inte kommer ställa spontan fråga, som är störig för andra. Låt de sedan prata med grannen, diskutera slutsatser och jämföra funderingar. De flesta “uppenbara” frågor efter det kommer redan att vara besvarade av eleverna själva, om inte lärarens förklaringar var bristande. Då kan man starta större diskussioner, kanske hela klassen. De blyga personerna kommer vara säkra på relevansen av sin fråga, för det har de fått bekräftade av en kamrat, och spontana personer kommer att ha djupare frågor.

Frågor på det?

Första lektionen

Lektionerna nummer ett är nu avklarade! 

Det är alltid lite mer nervöst att ha lektion i en ny kurs för första gången, än med en ny grupp, men nu hände båda sakerna på en gång.  Sedan var det en ny grupp tre gången till :).  Varje gång gick jag igenom teoristoffet på lite olika sätt, med så många frågor som möjligt riktade till studenterna.

– Vad är ett vektorrum?

– Är linjen y=3 ett underrum till R^2?

– Hur beskriver man världen vi lever i (rummet) för en alien?

alien

Man får då notera att alienet är kanske två-dimensionellt och lever i sin egen värld. Även om situtationen bryter mot fysikens alla lagar så förstår  ju eleverna frågan. Då säger jag att alla bra svar på den här frågan är samma sak som en bas. En bas beskriver ett vektorrum på ett optimalt sätt, inte mer än så. Jag tror att det där med matematik anknyts till verkligen bäst med hjälp av aliens, ska försöka använda dem oftare.

I allmänhet är den första lektionen väldigt viktig. Det är då man fixar alla inställningarna på programmet som körs. Å ena sidan skall studenterna bilda en ungefärlig uppfattning om vad som väntar dem varje lektion, å andra sidan skall de inte bli uttråkade. Man vill rycka med dem, så det blir en bra start! Det är alltid bra när man är aktiv från början och ställer frågor.

Det där med frågor brukar min kompis, som undervisar i Stockholm, ta upp på sina första lektioner. Han berättar då om ett visst psykologiexperiment som genomfördes på någon högskola. Eleverna kom överens om att lyssna noga på läraren när han befann sig i högra halvan av klassrummet och titta lite slött i sina böcker när han befann sig i den vänstra. Läraren gick runt och pratade och allt eftersom började bara befinna sig i högra halvan av klassrummet. Då gjorde eleverna samma sak igen: kollade upp i högra fjärdedelen av klassrummet och tittade ner när läraren var någon annanstans. Utan att tänka på saken befann sig läraren så småningom i högra fjärdedelen av klassrummet. Experimentet fortsatte så … Till slut stod läraren i dörren och pratade till studenterna därifrån, som då förstås lyssnade väligt nogrannt :).

Sensmoralen är då att vi vill våra studenter känna att de har makt, men också ansvar, över sin egen utbildning. Finns det självförtroendet är det både lättare för dem och för oss att genomföra bra lektioner.

W2B, IT2A, IT2B, KandMa1

Hittils har lätt förvirring rått angående mina grupper. Nu har jag till slut förstått att W2B (miljö- och vattenteknik-programmet, årskurs 2, grupp B) och KandMa1 (kandidatprogrammet i matematik) har en gemensam föreläsare (min handledare Walter Mazorchuk), och IT-ingenjörerna har en annan (Thomas Erlandsson). Dessutom går tekniska fysiker med första gruppen och “system i teknik och samhälle”-nissarna går med den andra.

Varför har man grupperat dem så? På något sätt måste det ju göras för klassrumskapaciteten är inte godtyckligt stor. Tekniska fysiker och matematiker brukar dessutom gå rätt många genemsamma kurser, så det är naturligt för dem att fortsätta. Hur som helst, jag är nöjd med 2-2-fördelningen och med olika program i den första gruppen och samma i andra. Variationen är alltså garanterad.

Föreläsarna har nämligen bestämt sig för olika kursböcker till samma kurs. Det finns en standardbok, som är oficiell kurslitteratur (skriven av Anton och Rorres), alla har den som rekommenderad litteratur. Den boken tyckte jag till en början om, den var bra för att vara en linjär algebra-bok. Sedan började jag läsa i den för mina lektionsförberedelser och den var trååååååkig. Det gick att läsa en stund, visst, det kom definitioner och exempel som vanligt, men jag tyckte de valde tråkiga sätt att förklara saker på och rätt tråkiga beskrivningar på tillämpningar. Vissa var lyckade, men man stötte på tråk i varje kapitel i alla fall. 

Den andra boken, som Walter valde, är “Boken med kossan på”. Den finns tillgänglig på nätet, så alla kan skriva ut den förhoppningsvis. Vad jag kollat verkar den okej, men tydligen finns det inte så många bra uppgifter. Frågan är var det går att hitta passande intressanta roliga nyttiga uppgifter till kursen Linjär algebra II? Google, here I come!