Mattebloggen » Geometri

En lektion för små barn om trianglar

Val — Fri, 10 Feb 2012 09:45:38 +0000

Detta är en kortfattad planering av en del av en lektion med barn på 5, 6, 7 respektive 10 år. Där det inte står något är aktiviteterna riktade åt de yngre barnen.

Notera att barnen redan har haft två lektioner om vinklar och olika vinkeltyper.

Trianglar

Det är dags att sätta ihop punkter, sträckor och vinklar till trianglar!

Sammanbinda punkter

Uppgiften är att kopiera av punkter på bilden till sitt eget papper och sedan sammanbinda dem till en triangel. De yngre barnen får ett lika stort papper som originalet, men de äldre får en annan storlek och därmed implicit får träna skala.

Exempelvis en sådan bild skall kopieras

Hur många hörn har en triangel? Hur många sidor?
Hur många spetsiga vinklar kan du hitta i din triangel? Hur många trubbiga? Är det någon som har en triangel med en rät vinkel?

Efter att alla är klara med övningen kan barnen få extraövning (eller så blir det läxa): sammanbinda alla tripplar av punkter, som är av samma färg.
Den här bilden:

Blir till en tolvuddig stjärna:

Rita och klipp ut en egen triangel

Barnen får välja färg på pappret och ett uppdrag av mig: rita en spetsvinklig, trubbvinklig eller en rätvinklig triangel. Sedan skall trianglar klippas ut och vi ordnar dem efter storleken på den största vinkeln (först den mest trubbvinkliga triangeln, sedan andra trubbvinklig, sedan rätvinkliga etc.).

Efter det får barnen låna varandras pappersrester för att klippa ut andra trianglar och bygga ihop ett torn (som bara består av trianglar). Tillsammans tillverkar vi ”triangellandet”:

Triangellandet från geometriboken

Kanske lägger jag ihop Sergels Torg – mönstret under tiden. Eller så klipper jag ut svarta och vita trianglar och barnen får arrangera dem till ”Sergels Torg”.

Triangelolikheten

Nu skall trianglar byggas av pinnar. Men det är inte alltid det går! Får man tre pinnar med längder 2cm, 3cm respektive 6cm, så går de inte sätta ihop till en triangel. Anledningen är triangelolikheten.

Barnen får en massa pinnar och skall hitta tre stycken som de kan sätta ihop till en triangel (med häftmassa till exempel). De äldre barnen ska försöka förklara när det går att bygga en triangel och när det inte går.

Vägar

Apropå triangelolikheten kan vi prata om den kortaste vägen och det kortaste avståndet med 7- och 10-åringarna. Hur kan man t.ex. avgöra om ens handled eller fotled är smalare (t.ex. med snöre)? Med samma hjälpmedel kan man avgöra vilket har större omkrets: en cirkel eller en liksidig triangel, inskriven i cirkeln?
Vilken väg från dörren till fönstret är kortast (notera att bord kan vara i vägen för den raka sträckan)?

Också att fundera på: vilken av dödsrelikerna har störst omkrets?

Bygga med en magnetisk struktur

Vi avslutar med att pyssla med en magnetisk byggsats, där bitarna är magnetiska pinnar och kulor, som binds ihop väldigt starkt med varandra. Vilka former på trianglar går att bygga med hjälp av byggsatsen? Går det att bygga 3D-strukturer som består av trianglar och i så fall vilka? (T.ex. en tetraeder eller en ikosaeder går att bygga.) För de äldsta barnen berättar jag om de platonska kropparna som finns och vi försöker bygga dem alla.

Notera att jag antagligen inte hinner med allt ovanstående på alla lektioner. Ibland fastnar barnen på en sak, ibland blir uppgiften för svår. Men det mesta kommer ändå med på lektionerna.

Triangellandet

Val — Thu, 22 Dec 2011 10:16:27 +0000

Triangellandet

Triangellandet har formen av en liksidig triangel. En inre gräns delar landet i två stater, som har lika stor area. Beskriv hur gränsen ser ut (formen och positionen) om den har den minsta möjliga längden.

Visa lösningen

Problem vecka 18

Val — Tue, 03 May 2011 18:33:33 +0000

De här problemen ingår i mattebloggens tävling vårterminen 2011, men man kan inte skicka in lösningar på dem längre. Kolla istället tävlingens regler och den aktuella poängställningen. Lösningarna kan du titta på nedan.

Cirkelkonstruktion (2 poäng).
Du har en passare, som du kan rita cirklar med (så länge du känner till cirkelns mittpunkt och dess radie) samt en ograderad linjal, som du inte kan mäta något med, men som du kan rita en linje med genom två valfria punkter.

Du har fått ett papper där en cirkel c är ritad (och dess mittpunkt är markerad) och där en punkt A utanför cirkeln är markerad.

Hur kan du med hjälp av dina verktyg rita en ny cirkel, som har A som mittpunkt och som precis tangerar den redan ritade cirkeln c? Bevisa att din konstruktion ger korrekt resultat.

Cosinussumman (5 poäng).
Visa att ifall summan av cosinusar på vinklarna hos en fyrhörning är lika med 0, så måste fyrhörningen antingen vara cyklisk, en parallellogram eller ett parallelltrapets.

Visa lösningar

Cirkelkonstruktion (Davids lösning):
Låt B vara mittpunkten i cirkeln c. Drag sträckan AB. Låt X vara punkten där AB skär c. Rita en cirkel med mittpunkt i A och som går genom X. Jag vill visa att denna cirkel tangerar c. De har ju en gemensam punkt X, så jag vill visa att de inte har någon annan gemensam punkt.

Antag att de har en annan gemensam punkt Y. Då finns det två sätt att gå från A till B: via X (vägens längd är |AX|+|XB|) eller via Y (vägens längd är |AY|+|YB|). AX och AY är radier i vår konstruerade cirkel, alltså |AX|=|AY|. XB och YB är radier i c, alltså |XB|=|YB|. Alltså |AX|+|XB|=|AY|+|YB|. Men när vi går via X följer vi en rät linje enligt vår konstruktion, så ingen annan väg från A till B kan vara lika kort. Vilket motsäger att vägen via Y är lika kort. En motsägelse som visar att vår cirkel och c har en och endast en gemensam punkt, alltså tangerar de varandra.

Cosinussumman (Skäggets lösning):
Vi börjar med att konstatera att ett parallellogram är ett specialfall av en parallelltrapets, så vi visar bara att en fyrhörning är antingen cyklisk eller en parallelltraptes om summan av cosinus av vinklarna är 0.

Låt oss kalla vinklarna i vår fyrhörning för A, B, C och D (med ordningen än så länge godtycklig).

Vi vet att summan av vinklarna i en fyrhörning är 360 grader, och vi kommer använda följande identitet för cosinus:

Vi antar nu att summan av cosinus av alla vinklar är noll, det vill säga:

Vi vet att D = 360 – A – B – C, samt att cos (180 – X) = – cos X. Detta ger oss:

Lås oss anta att cos (A + B)/2 är skiljt från 0. Då får vi:

Eftersom C och D är godtyckliga kan vi ignorera vårt +/- i högerledet, och vi får:

Vi får alltså att ifall cos (A + B)/2 är nollskiljt så kommer A,D och B,C vara par av supplementära vinklar.

Vi noterar att cos (A + B)/2 = 0 implicerar att (A + B)/2 = 90 eller 180, och alltså att A + B = 180 (ty A + B + C + D = 360, och alla vinklar är positiva, så A + B = 360 är ingen möjlighet).

Med andra ord, tar vi två godtyckliga vinklar i vår fyrhörning och kallar dem A och B, då gäller att A + B = 180 eller så är A + D = 180, där D är någon annan vinkel. Alltså är vi garanterade att vinklarna i vår fyrhörning är parvis supplementära.

Vi får två möjligheter, att intilliggande vinklarna är supplementära eller att motstående vinklar är det. Ifall de är intilliggande får vi att två sidor i vår figur är parallella, och vi har alltså en paralleltrapets. Och ifall motstående vinklar i en fyrhörning är supplementära, då är fyrhörningen cyklisk.

Sammanfattningsvis har vi alltså funnit att om summan av cosinus av alla vinklar är 0, då gäller att antingen så är varje vinkel supplementär till en intilliggande vinkel (och då är fyrhörningen en parallelltraptes) eller så är motstående vinklar supplementära (och där är fyrhörningen cyklisk), vilket skulle bevisas.

Adventspyssel 20

Val — Mon, 20 Dec 2010 05:00:00 +0000

Möbelfabriken

Tre kandidater till jobbet på en möbelfabrik fick en uppgift på intervjun. De fick beskriva hur man avgör huruvida en bordskiva är formad som en kvadrat eller inte.

Den första kandidaten föreslog att man skulle jämföra bordskivans sidor med varandra, den andra tyckte att man skulle mäta diagonalerna och se ifall de var lika, den tredje tyckte däremot att man skulle jämföra de fyra strecken som bildas då diagonalerna skär varandra.

Vem av kandidaterna har störst chans att få jobbet?

Visa svaret

Adventspyssel 14

Val — Tue, 14 Dec 2010 05:00:09 +0000

Finns det något bra ord för att någonting är någon yta, fast utvecklad och tillplattad? Det heter i alla fall ”net” på engelska.

Möjliga kuber

Vilka av figurerna på bilden kan vecklas ihop till en kub?

Visa svaret

Adventspyssel 9

Val — Thu, 09 Dec 2010 05:00:31 +0000

Som vanligt med adventgåtorna får ni skriva om ni har frågor, en lösning eller vill tipsa mig om något liknande.

Tändstickor

Du har 6 tändstickor och med hjälp av dem ska du bygga en figur som består av 4 liksidiga trianglar. Hur ska du göra om tändstickorna inte får brytas itu och du måste använda alla tändstickor?

Visa svaret

Lösningen till problemet för de yngre vecka 45

Val — Thu, 25 Nov 2010 17:50:24 +0000

Mattegåta

En chokladtårta är rektangelformad och sju personer ska dela på den. På tårtan finns 7 marsipanrosor:

Hur kan man dela tårtan i sju delar så att det finns en ros i varje del, om man bara får skära tårtan tre gånger och skärningarna måste vara raka linjer? Observera att delarna inte behöver vara lika stora.

Diskussion

Om det till en början inte verkar gå med tre linjer, tänk på vad tre linjer kan bilda för konfigurationer vid sidan av tårtan. Tre linjer som inte korsar varandra i en och samma punkt och som inte är parallella bildar en triangel och sex oändliga delar om de ritas på ett oändligt plan.

Sju är det maximala antalet delar, så linjerna på tårtan ska bilda någon liknande figur (det ska vara en ros i varje del).

Ett annat sätt att komma fram till svaret är att rita en linje i taget. Om man tänker från slutet, måste varje del på tårtan innehålla högst två rosor innan sista linjen ritas (så att den eventuellt skär på dessa delar). På samma sätt, måste varje del innehålla högst fyra rosor innan den andra linjen ritas. Så den första linjen som ritas måste dela tårtan i två delar: en med tre rosor och en med fyra.

Lösning (av Nicklas Yttergren)

Så här till exempel:

Matteproblem för de yngre vecka 45

Val — Thu, 11 Nov 2010 15:09:52 +0000

Skickar gärna lösningar eller frågor om detta problem till valentina.chapovalova@gmail.com. Om din lösning kommer in senast onsdagen den 24 november får du vara med i bloggens tävling och då har du chansen att vinna priser!

Mattegåta

En chokladtårta är rektangelformad och sju personer ska dela på den. På tårtan finns 7 marsipanrosor:

Matteproblem för de yngre vecka 38

Val — Thu, 23 Sep 2010 20:47:17 +0000

Hösterminen 2010 är tävlingen på bloggen uppdelad i två kategorier: matteproblem för de äldre (personer som har avslutat en gymnasieutbildning) och för de yngre (personer som går i grundskolan eller på gymnasiet). Givetvis får alla skicka in lösningar på problem från den andra kategorin, men de äldre får inte poäng för de yngres problem.

Skicka alltså in lösningsförslag till problemet nedan till valentina.chapovalova@gmail.com senast onsdagen den 6 oktober. Missa inte chansen att få priser!

Mattegåta

Jon-Erik har en triangel utan några markeringar, som är gjord av plast. Triangeln är rätvinkling och har förutom vinkeln 90° också vinklarna på 60° och 30°. Hur kan Jon-Erik konstruera en vinkel på 15° om han inte får använda några andra redskap än plasttriangeln och papper?

Matteproblem för de äldre vecka 38

Val — Tue, 21 Sep 2010 20:09:00 +0000

Skicka alltså in lösningsförslag till problemet nedan till valentina.chapovalova@gmail.com senast måndagen den 4 oktober. Missa inte chansen att få priser!

Mattegåta

En cirkel är ritad på koordinatplanet och dess mittpunkt har koordinaterna (a,b). Man vet också att origo hamnade inuti cirkeln.

Om S⁺ är den totala arean av delarna i cirkeln, som består av punkter med samma tecken på koordinaterna och S^- är totala arean av delarna med punkter som har olika tecken på koordinaterna, vad är S⁺-S^- lika med?