Mattebloggen

Det finns en platt kvadratisk tavla som är 1 dm x 1 dm stor. Vi säger att ett pappersark i form av en rektangel med area 2 dm^2 är ett omslag om man kan slå in tavlan i pappret så att båda sidorna täcks helt.

Både pappersarket 2 dm x 1 dm och papperskvadraten med sidan roten ur 2 dm är omslag.

(a) Hitta något annat omslag

(b) Visa att det finns oändligt många olika omslag

Lösning:

(a) Vi ska visa att rektangeln är ett omslag. Lägg rektangeln på kvadraten på så sätt att två av kvadratens hörn hamnar på långsidorna och ett tredje hörn hamnar i mitten på kortsidan som det ser ut på bilden.

Hur man viker biten vidare för att den ska omsluta kvadraten på båda sidor ser ni nedan:

(b) Dela upp kvadratens lodräta sidor i n delar. Då kan vi hitta en parallellogram, som omsluter kvadrattavlan. På bilden syns parallellogrammen med kortsidan (i detta fall n=5).

Sedan kan man göra om parallellogrammen till en rektangel, så att övertäckningen blir i princip densamma. Arean ändras fortfarande inte.

Notera att kvadraten fås när n=1, rektangeln när n=2, rektangeln när n=3:

n=3

Det finns en platt kvadratisk tavla som är 1 dm x 1 dm stor. Vi säger att ett pappersark i form av en rektangel med area 2 dm^2 är ett omslag om man kan slå in tavlan i pappret så att båda sidorna täcks helt.

Både pappersarket 2 dm x 1 dm och papperskvadraten med sidan roten ur 2 dm är omslag.

(a) Hitta något annat omslag

(b) Visa att det finns oändligt många olika omslag

Mattebloggen har en inoficiell tävling i att lösa mattegåtor. Skicka in din lösning till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans gåta, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Fredrik står i mitten av en rund gräsmatta, som har radien 100 meter. Varje steg Fredrik tar är 1 meter långt. Varje gång han ska ta ett nytt steg anger han riktningen som han ska gå i. Anna har då möjlighet att ändra Fredriks riktning mot den motsatta.

Kan Fredrik att komma på ett sätt att komma av gräsmattan oavsett vad Anna gör? Eller kan Anna alltid hindra honom?

Svar:

Ja, det kan han alltid, Anna kan inte hindra honom.

Lösning:

Han börjar med att ta ett steg åt något håll, oavsett om han får det eller måste gå åt andra hållet så hamnar han på avstånd 1 från centrum. Låt i fortsättningen honom försöka gå åt ett håll som är ortogonalt mot linjen som förbinder hans nuvarande position och centrum.

Oavsett om han får gå åt det hållet eller det motsatta, så hamnar han på samma nytt avstånd från centrum i alla fall. Om det gamla avståndet var , så kommer det nya enligt Pythagoras sats vara .

Således, efter 10001 steg kommer han vara mer än 100 meter bort från centrum, alltså utanför gräsmattan.

Fredrik står i mitten av en rund gräsmatta, som har radien 100 meter. Varje steg Fredrik tar är 1 meter långt. Varje gång han ska ta ett nytt steg anger han riktningen som han ska gå i. Anna har då möjlighet att ändra Fredriks riktning mot den motsatta.

Kan Fredrik att komma på ett sätt att komma av gräsmattan oavsett vad Anna gör? Eller kan Anna alltid hindra honom?

Det finns vissa saker som man bara måste lära sig utantill. Det kan tyckas att det är det enda som gäller i matten, men det kan räcka ganska långt att kunna bara några få formler.

Till exempel så kan vi prata om trigonometri. Jag tänkte dela med mig lite tips om hur man bäst kommer ihåg det essetiella och hur det går att härleda allt det viktiga därifrån.

För det första måste man lära sig vad sinus och cosinus är för någonting.

Båda två är funktioner som ger ut ett tal, när man stoppar in en vinkel. Men vad är det för tal? När vinkeln är känd (och mindre än 90 grader), så kan vi rita en rätvinklig triangel med den vinkeln. Låt oss säga att vår vinkel kallas för x. Det går förstås att rita flera olika stora rätvinkliga trianglar med x, men det kommer inte spela någon roll.

Vi mäter sidorna på vår uppritade triangel och konstateterar att kateterna är a och b långa och hypotenusans längd betecknar vi c. Då är sinus värde lika med den motstående kateten genom hypotenusan och cosinus är den närliggande kateten genom hypotenusan. Alla likformiga trianglar har samma förhållande mellan sidorna, därför spelar det ingen roll vilken storlek på triangeln vi väljer.

Men hur ska man komma ihåg vilken funktion som är vilken om man nyss har lärt sig dem? Tänk på att cos (cosinus) låter lite som ”kossa” och kossan den är lat, därför vill den vara nära sin vinkel (orkar inte gå till motstående sidan). Och sin är då den andra funktionen.

Ett annat sätt att komma ihåg det är att sinus är snäll och cosinus är elak. Så sinus offrar sig och går till den motstående sidan. Fler tecken på sinus snällhet och cosinus elakhet kommer vi se i del 2.

Om du nu kan lite vanlig geometri är det inga problem att räkna ut sinus och cosinus för flera kända vinklar! Här väljer jag att mäta vinklarna i grader.

De saker som du behöver kunna är:

- Pythagoras sats

- vad vinkelsumman i en triangel är

- att likbenta trianglar har basvinklarna lika

- att trianglar med lika basvinklar är likbenta

Vi kan då räkna ut vad sinus för vinkeln 30° är, om man inte minns det. Rita såklart först en rätvinklig triangel med en vinkel lika med 30°. Och eftersom vinkelsumman för vilken triangel som helst är 180°, så är den sista vinkeln lika med 180°-90°-30° = 60°.

Rita sedan upp en likadan triangel, fast spegelvänd, och för ihop halvorna. Det som bildas är förstås en ny triangel, eftersom vinklarna på 90° passar ihop och bildar en linje. Men notera att den stora triangeln har alla vinklarna lika med 60°, därför är den liksidig. Alltså är c = 2a.

Nu är det lätt att räkna ut sinus av vinkeln 30°.

På så sätt är det rätt enkelt att lista ut vad cos 60° är för någonting. Det är nämligen samma som sinus 30°, eftersom om vi kollar på de två olika spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel, så blir enas motstående sida den andras närliggande och tvärtom. Hypotenusen är densamma.

Men hur tar vi reda på sin 60° (och samtidigt cos 30°)? För det måste vi bestämma förhållandet b/c. Men eftersom (Pythagoras sats), så kan vi i vårt fall skriva:

så

Eftersom alla längder är positiva har vi och då är

Och hur gör vi nu med vinklarna 0°, 45°, 90° grader? Det går faktiskt att rita upp motsvarande triangel och ”triangel”. Fundera på vad sinus och cosinus för de respektive viklarna blir. Faciten kommer i nästa del.

Om man minns de här trianglarna är det möjligt att alltid räkna ut sinus eller cosinus som man behöver. Men om det är lite svårt med geometrin, finns det en rätt bra minnestabell.

Skriv upp alla ”kända” vinklar: 0°, 30°, 45°, 60° och 90°. Deras sinus och cosinus följer då ett intressant mönster:

Detta inlägg är fortsättning på del 1 om Cevas sats. Första delen förklarar satsens formulering och ger tips för hur man skulle kunna bevisa den. Den här delen innehåller själva beviset.

Cevas sats

Given är en triangel ABC. Tre cevianer AM, BL och CK skär varandra i samma punkt om och endast om 

Bevis:

Antag först att cevianerna skär varandra i en och samma punkt O. Vi skall visa att värdet av uttrycket verkligen är 1.

Notera till exempel att trianglarna COM och MOB har lika stora höjder utgående från punkten O, eftersom deras baser ligger på samma linje. Låt höjderna ha längden h. Därför kan vi enkelt uttrycka förhållandet mellan dessa två areor:

Eftersom trianglarna CAM och MAB också har lika långa höjder, utgående från A, så kommer deras areor också att förhålla sig som  

Låt  k (något reellt tal). Men om är k gånger större än och är k gånger större än , så är differensen, , också k gånger större än

Det vill säga

Med analogiska resonemang får vi förhållanden mellan de andra par av de färgade trianglarna:

Därför kan vi skriva om uttrycket:

eftersom allt förkortas i det omskrivna uttrycket.

Nu har vi kvar att bevisa att värdet på uttrycket inte kan vara 1 utan att cevianerna skär varandra. Vi antar motsatsen, det vill säga att värdet är 1, men cevianerna råkade inte skära varandra i samma punkt:

Nu är vi så smarta som möjligt och använder oss av del 1, som vi redan har bevisat. Precis som i följande berättelse:

En matematiker och en fysiker löser praktiska uppgifter. De blev tillsagda att koka upp 1 liter vatten med hjälp av en vattenkran och en vattenkokare. Båda fyller förstås sin vattenkokare med vatten och sätter på den.

Nästa uppgift är annorlunda: de får en vattenkokare full med vatten och ska nu igen koka upp 1 liter vatten.

Vad gör en fysiker? Han ställer vattenkokaren på plattan och sätter på den förstås.

Vad gör en matematiker? Han häller ut vattnet och därmed ska han lösa praktisk uppgift nummer ett, vilket han redan kan.

I detta fall är det förstås inga onödigheter vi sysslar med. Men på samma sätt som i berättelsen ska vi göra någonting, för att kunna använda oss av tidigare kunskaper. Vi drar en ny linje, för att få samma situation som förut. Dra linjen CK’, som går igenom skärningspunkten för cevianerna AM och BL.

Från del 1 vet vi att följande måste gälla:

Men enligt antagandet har vi också

Bland annat är uttrycken lika med varandra och på så sätt får vi  , vilket i sin tur implicerar att , vilket är omöjligt, eftersom BK<BK’ och K’A<KA. Motsägelse, alltså var situationen omöjlig!

Således så fort uttrycket är lika med 1, så måste cevianerna skära varandra i en punkt.

Användningar för satsen

På så sätt har vi i princip bevisat flera satser på en gång, till exempel att medianerna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. Samma sak gäller för bisektriserna, samma för linjer som förbinder hörn och tangeringspunkter för den inskrivna cirkeln. Det lämnas åt läsaren att komma på hur man ska använda Cevas sats för att visa de egenskaperna.

Cevas sats är ett av de vackraste geometriska faktum för trianglar. Men för att kunna formulera satsen lättare, ska vi först definiera vad en cevian är för något.

Cevianer

Medianen är ju en ganska känd sträcka, det är den som går ut från ett hörn på en triangel och slutar på motstående sidan på så sätt, att den delas mitt itu. Notera att en triangel har tre olika medianer.

Bisektrisen är också en kändis. Den är den sträckan i triangeln som delar vinkel mitt itu. Även bisektriserna är tre i en triangel.

median

bisektris

Även om vi drar en sträcka från hörn till sida, som inte alls är speciell, så vill vi kalla det för något. Vi säger att det är en cevian. Cevianer är alltså ett samlingsnamn för medianer, bisektriser, höjder osv. Notera att mittpunktsnormaler inte är cevianer.

cevian

Cevas sats

Given är en triangel ABC. Tre cevianer AM, BL och CK skär varandra i samma punkt om och endast om 

”Om och endast om”:

Detta är en väldigt vanlig förkortning i matematiken. Istället för att skriva att man ska bevisa två saker (”om” och ”endast om”), sätter man ihop dem i en och samma mening. I detta fall är de två sakerna man ska visa:

1. Om AM, BL och CK skär varandra i samma punkt , så gäller

2. Om , så skär cevianerna AM, BL och CK varandra i samma punkt.

Tankegång:

Som vanligt finns det många sätt att bevisa satsen. Ett av de mest kända använder areabegreppet. Det enda vi behöver är areaformeln för en triangel: arean är lika med basen gånger höjden delat på två. Vi betecknar i fortsättningen arean av triangeln ABC med .

För att använda detta i vårt problem gäller att komma på att beteckna (den eventuella) skärningspunkten med O och dela upp triangeln i tre mindre: AOB, BOC och AOC.

Det är förstås omöjligt att veta de exakta areorna hos de olikafärgade trianglarna. Men vi kan uttrycka hur areorna förhåller sig med hjälp av sträckorna, som förekommer i uttrycket.

Nu finns det nog med tips för att bevisa satsen på egen hand. Försök själv eller vänta på nästa inlägg!

Låt F₁ vara en godtycklig konvex fyrhörning. För k>1, F_k konstrueras genom att man skär F_k-1 i två delar längs en av dess diagonaler, vänder på en av delarna och sedan klistrar delarna samman längs samma diagonal. Bestäm det största möjliga antalet icke-kongruenta fyrhörningar i följden {F_k}.

Exempel:

För att förtydliga, en tillåten operation är följande:

Lösning:

Notera att om sidlängderna hos fyrhörningen är a, b, c, d, så finns exempel, där följden av fyrhörningar innehåller 6 icke-kongruenta: de med olika ordning på sidorna. Tag nämligenen fyrhörning med alla sidor olika, men som ändå påminner om en kvadrat (detta för att fyrhörningarna som bildas inte ska bli icke-konvexa). Men tillåtna operationer byt sedan plats på sidorna på alla möjliga sätt (trianglar med den gråa symbolen flippas):

Ritningen är inte exakt, men vi kan se att alla olika sidordningar verkligen förekommer. Eftersom fyrhörningar kan roteras, valde vi fixera sidan med längden a, den kommer ändå alltid finnas.

Så nu är frågan varför det inte går att konstruera fler fyrhörningar? Notera att det finns en sak som aldrig förändras och det är summan av två motsatta vinklar i fyrhörningen. Vid varje flipp är det ett par av motsatta vinklar som inte ändras, således kommer vinkelsumman i det andra paret inte heller förändras.

Men notera också att sidlängderna kvarstår. Tag nu någon ordning på sidorna, vi skall nu bevisa att det går att bygga exakt en fyrhörning med den ordningen ur den ursprungliga. Utan inskränkning kan vi anta att sidordning är (medurs) a, b, c, d och a är den vänstra sidan.

Kalla vinkeln mellan a och d för x. Då är vinkeln mellan b och c också bestämd, nämligen S-x, där S var vinkelsumman av den ”nedre vänstra” och den ”övre högra” vinkeln. Men då har vi två trianglar, beståndsdelarna i fyrhörningen, som kan sättas ihop endast på ett sätt och det endast när de okända sidorna är lika (de ska bli en diagonal).

De okända sidorna är lika endast för en vinkel x (den som det går att konstruera bilden för).  Det beror på att om vinkeln minskas, så minskas också den motstående sidan. Men då ökar S-x och dess motstående sida, och då kan de sidorna inte längre vara lika. Samma sak händer om vinkeln x ökas.

På så sätt har vi uttömt alla fallen och visat att antalet olika fyrhörningar är 6, en för varje sidordning.

Låt F₁ vara en godtycklig konvex fyrhörning. För k>1, F_k konstrueras genom att man skär F_k-1 i två delar längs en av dess diagonaler, vänder på en av delarna och sedan klistrar delarna samman längs samma diagonal. Bestäm det största möjliga antalet icke-kongruenta fyrhörningar i följden {F_k}.

På ett papper finns en bild på en svart kvadrat. Du har tillgång till 7 kvadratformade brickor av samma storlek som den ritade kvadraten. Hur ska du göra för att täcka över kvadraten med brickorna så att inga brickor ligger på varandra och varje bricka täcker åtminstone en liten del av kvadraten (åtminstone en punkt inuti)?

Det kluriga ligger i att lista ut att man kan vrida på brickorna innan man lägger dem på kvadraten. Den lösningen kom de regelbundna lösarna Johan och Ove på, men också niorna Amanda, Elin, Emelie, Adam, Michaela och Hampus från Häggviksskolan i Stockholm. Författaren tackar Adam Jonsson, deras lärare, för hans engagemang!

Här är de inskickade lösningarna, som förstås är egentligen likadana. Notera dock att alla lösningar är fel för att kvadraten inte är svart ;)

Lösning: