Lite roligare matematik
Archive for the ‘Student’ Category.
Kan man dela upp en kvadrat i 9 kvadrater och måla en av dem i vitt, 3 av dem i grått och 5 av dem i svart på så sätt att kvadrater med samma färg har samma storlek, men kvadrater med olika färg har olika storlek?
Ja, det kan man faktiskt! Så här till exempel:
Hittade ett enkelt spel som jag gissar att min brorsa skrev för sisådär 10 år sedan. Det går ut på att man är i en liten labyrint och ska hitta ut.
I den enkla varianten ser man själva labyrinten och kan efter ett tag enkelt komma ut.
Men i den svåra varianten är man blind och kan endast ”se” ifall det är en vägg framför en eller inte. Här ska man hitta ut ur labyrinten genom att minnas eller rita upp en bild i huvudet.
Bra hjärngympa helt enkelt!
Spela Labyrint
Detta spel fick mig att tänka på olika ”styra robotar i labyrinter”-spel och det senaste jag spelat är Light Bot. Det går ut på att man programmerar en robot att ta sig till specifika ställen och tända lampor.
Riktigt rolig träning i programmering där man inte behöver kunna något programmeringsspråk.
I Skogsmården bor bara alver och dvärger. Dvärgarna ljuger varje gång de pratar om sitt guld, annars talar de sanning. Alverna ljuger varje gång de pratar om dvärgar, annars talar de sanning. En gång hörde man två Skogsmårdbor prata:
A: Jag stal allt mitt guld från Draken.
B: Du ljuger.
Bestäm för varje person om denne är alv eller dvärg.
Båda är dvärgar.
Om någon anklagar någon annan för lögn, så kan inte båda ha rätt och båda kan inte ha fel heller. Den ena måste ha rätt och den andra måste ha fel.
Så antingen är det så att A talar sanning och B ljuger eller att A ljuger och B talar sanning. Vi undersöker de möjligheterna.
A talar sanning och B ljuger.
Om A talar sanning så måste han vara alv, eftersom dvärgar ljuger om sitt guld. Å andra sidan om B ljuger, så måste A vara dvärg, eftersom B pratar om en person, och man kan bara ljuga om dvärgar (om man pratar om någon person). Så detta alternativ är omöjligt. Alltså är det så att:
A ljuger och B talar sanning.
Om A ljuger om sitt guld, så måste han vara dvärg. Eftersom B pratar om en dvärg och talar sanning, så kan han inte vara alv och måste då också vara en dvärg. Det alternativet fungerar och det finns inga andra!
Under höstterminen kom gåtorna varje vecka och den som löster allra flest var Johan B. Här ser ni honom tillsammans med första priset:
Vinnaren bland studenter var Erik R. och bland högstadieelever var det Olle K., Hanna H., Jennifer U.-L., Karl E. och Alexander J. De kommer få sina priser snarast möjligt. Stort grattis!
Man kan ta ett schackbräde och göra en ”labyrint” av det genom att sätta upp små väggar på några av de ställen där en svart ruta gränsar till en vit.
Kalla en labyrint snäll ifall en liten råtta kan komma till vilken ruta som helst på schackbrädet oavsett vilken ruta man sätter den på. Och en labyrint kallas elak ifall råttan inte alltid kan nå alla rutor.
Vilka finns det flest av: snälla eller elaka labyrinter?
Den här smarta lösningen har Johan hittat på.
Antag att vi slumpmässigt sätter upp väggar med sannolikhet 1/2 på varje väggplats. Jag studerar ett hörn. Det är ”ensamt” om båda väggarna närmast hörnet finns med. Sannolikheten att ett givet hörn inte är ensamt är alltså 3/4.
Sannolikheten för att inget hörn är ensamt är (3/4)^4 = 81/256 < 1/2. Så över hälften av labyrinterna har ett ensamt hörn, och om råttan startar där kan den inte flytta sig alls. Det vill säga över hälften av labyrinterna är ickesnälla.
Benny skrev upp namnet på sin hemstad och alla cykliska ”förskjutningar” av det och fick tabell 1. Sedan ordnade han om namnen och skrev de i bokstavsordning i tabell 2 i stället.
Därefter läste han av ”ordet” i sista kolonnen: SLAUPPA.
Josefin gjorde samma sak med sin hemstad och fick ”ordet” TNUUENRTL. Vilken stad kommer Josefin ifrån om man vet att den börjar med bokstaven L?
I både tabell 1 och tabell 2 kommer varje bokstav i stadens namn komma på sista plats exakt en gång (eftersom ”orden” är alla förskjutningar av stadsnamnet).
Eftersom vi vet att ”orden” i tabell 2 kommer i bokstavsordning, så kan vi rekonstruera första kolonnen i den tabellen:
Notera nu att i tabellen står ”förskjutningar” av stadsnamnet. Då kan vi läsa av den delen av tabellen som vi fick fram att exempelvis att bokstaven R kommer precis efter bokstaven E, att ena bokstaven T kommer precis efter en bokstav N och den andra bokstaven T kommer precis efter en bokstav R och så vidare (föreställ er nu att ordet loopar, det vill säga vi kan säga att första bokstaven kommer precis efter det sista).
Med denna information kan vi rekonstruera andra kolonnen i tabell 2. Där vi garanterat vet efterföljaren (efter U kommer N, efter E kommer R, efter R kommer T, efter L kommer U) skriver vi in den direkt i den andra kolonnen. Där det finns tvetydighet (efter T kommer E eller U, efter N kommer L eller T) avgör vi hur de ska skrivas in med hjälp av bokstavsordningen. Till exemepel, E kommer före U i alfabetet, så det nya E:et ska skrivas in på 6:e raden och den nya U:et ska skrivas in på 7:e.
Vi fortsätter med samma princip att fylla på kolonnerna en i taget. Vi har en tydlig instruktion för hur tabellen ska fyllas i, eftersom vi vet efterföljarna för varje bokstav samt att ”orden” i tabell 2 står i bokstavsordning.
Till slut kommer vi kunna fylla hella tabellen och läsa av ordet i andra raden (eftersom staden började på L). Det kommer vara staden LUNTERTUN. Luntertun ligger i Ängelholms kommun i Skåne.
Idag flyger jag till Azerbajdzjan (ett land som gränsar till bland annat Turkiet och Georgien) för att vara observatör på IJSO, International Junior Science Olympiad. Detta är en högstadietävling i naturvetenskap och hålls i år för sjätte gången.
Sverige har inte varit med i den internationella tävlingen och för att vi ska kunna skicka ett lag måste någon ha observerat tävlingen något föregående år, vilket är precis det jag ska göra. Spännande att återigen få åka på en vetenskapstävling, det var riktigt länge sedan!
För er som vill ha någonting som har med matte att göra och inte mitt privatliv, här är lite mattejulpyssel:
Förvisso har jag sett videon innan, men återupptäckte den igår på Let’s Play Math!, en trevligt matteblogg på engelska.
Eftersom jag är borta, kommer det inte någon ny gåta på tisdag, utan det blir istället på fredag den 11:e december.
För ett tag sedan åkte jag tåg från Stockholm till Köpenhamn och i sätena bredvid fick jag trevliga medpassagerare. Så småningom nämnde jag att jag höll på med matte, varpå kvinnan jag satt med berättade att hon faktiskt använde sig av matte i sitt jobb.
Det var inga jätteavancerade uträkningar, jag gissar att de involverade för det mesta division. Men det var viktigt att räkna rätt, eftersom människornas hälsa hängde på det.
Jag har tidigare inte riktigt tänk över hur mycket matte folk verkligen använder i sitt jobb- och privatliv (nu menar jag förstås dem som inte är matematiker, fysiker, statistiker etc.). Hur mycket matematik använder en ingenjör egentligen? Vad är viktigare för detta yrke: att räkna rätt eller att tänka djupt?
Sådant tål att funderas på när vi lär ut matten till barn, ungdomar och studenter. Människor lär sig själva det de själva vill förstås, men man kan styra deras förståelse något beroende på vilket utlärningssätt man väljer. Vi styr också i hög grad människornas förhållningssätt till matematiken.
Säg att vi vill lära ut addition av flersiffriga tal till någon elev E. Det finns några olika scenarion:
1. E får mändgder med liknande uppgifter att räkna igenom. Han lär sig en metod: hur man ställer upp additionen och sedan utför den. Till slut utför algoritmen mekaniskt, utan att E tänker särskilt noga, räkning kan bli till en meditativ process.
På så sätt lär barnen sig addition i Kina. Matteproven i de lägre årskurserna består av långa spaltar med räkningsuppgifter, som ska utföras på väldigt kort tid. Där måste eleverna lära sig att räkna hypersnabbt.
Hur kul detta är för E, beror lite på hur E lagt. Jag skulle tippa på att E tycker att det är kul i början (barn i allmänhet tycker om repetativa uppgifter ett tag), men kan bli uttråkad i längden, om samma sak händer lektion efter lektion.
2. E:s lektioner i addition är lite av en lek. Läraren förklarar något spännande sätt att utföra addition på. Exempelvis får eleverna se att
398+345 = 398+2+345-2 = 400+343 = 743
(inte just de stegen skrifligt, utan just idén om att lägga över delar av ena talet till det andra).
E får räkna några få uppgifter under de lektionerna, kanske tillsammans med kompisar. Varje uppgift är intressant och varje resultat uppmuntras eller belönas. E har väldigt kul under den lektionen. Men i fortsättningen räknar han ganska ofta fel, eftersom han inte fick öva så jättemycket själv när han lärde sig.
3. Läraren är hardcore och visar eleverna det teoretiska bakom addition, det vill säga att alla tal är uppbyggda av ental, tiotal, hundratal och så vidare. Eleverna får se flera olika sätt att addera på, samt får förklaringen på varför additionen ställs upp som den gör.
E fattar inte riktigt allt, men hans klasskompis F gör. Detta resulterar i att F blir mycket bättre än alla andra på att räkna och E blir lite förvirrad. Så småningom lär sig alla i klassen räkna hyfsat bra och en del av klassen får en mycket bra känsla för siffror, som gör deras fortsatta inlärning lättare.
De flesta lärare i grundskolan kör på någon blandning ut av de scenarion. Och de är fullt befogat, olika sätt passar ju olika individer.
Men kan det vara så att olika sätt passar olika yrken också? Om man tar integralkalkylen och försöker resonera som i exemplet ovan, så ser man att det finns ännu fler scenarion. Den skall absolut läras ut olika, beroende på hur den skall användas. Vissa kommer att behöva en djupare förståelse för funktioner och grafer i deras arbete och vissa kommer bara att behöva räkna femtioelva integraler om dagen i sitt yrke.
Tyvärr så har Bolognaprocessen en nackdel där. Alla möjliga utbildningar får ta sig igenom en och samma kurs med en och samma kursplan. Det betyder att folk, som behöver lite olika kunskaper och färdigheter alla dras över samma kam.
Men allt är inte kört än, eftersom lärarna oftast har större makt över studenternas inlärning än kursplanen!
Det finns mängder med formler med sinus och cosinus att minnas, men inlärningsprocessen blir mycket lättare om man vet att de flesta utav formlerna är ganska lika.
Och så är det bra att komma ihåg att sinus är ”snäll” och cosinus är ”elak” (eller som min pappa säger: ”sinus är flicka, cosinus är pojke”). Varför då?
Kolla på formeln för ”dubbla vinkeln”:
Som syns är sinus rättvis och står sida vid sida med cosinus, ingen är prioriterad och det blir exakt samma sak, om vi byter ut all sin till cos och all cos till sin: (
Den mer generella formeln är den för summan av två vinklar, det vill säga:
Här är förstås sinus snäll och rättvis igen, medan cosinus busar och ändrar tecken och sätter sig själv på första plats.
Jämför med formlerna för skillnaden mellan två vinklar:
Eftersom det nu är minus, är sinus lydig och bevarar det tecknet. Nu måste sinus prioritera någon utav termerna. Han väljer att ta 
Om du absolut har svårt för de här krångliga formlera (och de är krångliga, jag erkänner att det tog mig flera år att lära mig dem utantill), så räcker det att komma ihåg dem ungefär.
Varför räcker det med ungefär? Jo, för om du minns cosinus och sinus för de vanliga vinklarna, så kan du kolla huruvida den formeln du typ minns stämmer eller ej.
För 
Mer tecken på sinus är snäll och rättvis:
Och att cosinus är skum och dum:
Det finns ett rutigt papper. På det finns rektanglar som har sin gräns gående längs med rutorna. Varje rektangel består av ett udda antal rutor och inga två rektanglar har gemensamma inre rutor. Visa att det går att måla rektanglarna i fyra färger på så sätt att två rektanglar med samma färg aldrig har gemensam gränspunkt.
