Här kan du se vad vi tidigare har gått igenom.

Former

Topologi handlar om olika slags former hos objekt. Båda barn och vuxna har bra intuition för former och hur de kan förändras, men ibland kan ointuitiva saker också hända:

Denna lektion skall vi experimentera med form hos olika sorts objekt med olika material.

Lera

När man ska förklara ordet topologi för någon som inte vet vad det är, så illustrera man ofta med detta exempel.

Man säger att en munk och en kopp är topologiskt sett samma, eftersom man kan omforma dem till varandra på ett naturligt sätt, om de nu skulle vara gjorda av modellera.

Lera är precis vad vi kommer pyssla med. Alla barn får var sin bit lera (t.ex. får alla var sin färg) och får i uppgift att tillverka en kopp med öra. Kan de göra det utan att riva leran någonstans? (Ńej, det kan de inte, så de får riva den här gången.) Kan de nu göra om koppen till en ring/en munk utan att riva leran? Det är tillåtet att klistra ihop leran, annars blir detta en väldigt opraktisk uppgift. I topologin får man egentligen inte klistra två punkter hur som helst om objektet ska behålla den topologiska formen.

Metalltråd

Även platta objekt kan vara topologiskt ekvivalenta eller inte. Till exempel kan siffrorna 1, 7 och 5 omformas till varandra, medan 9 och 6 tillhör en annan grupp. Skillnaderna är lättast att se om man tillverkar siffrorna i böjbart material, t.ex. snöre eller ståltråd och tydlig markerar platsen där materialet träffar sig självt igen (som i mitten på siffran 8).

Barnen får som första uppgift att på en bit ståltråd göra så många siffror den kan i rad. Början kommer att se ut ungefär så här:

Det viktiga är att tråden ska gå att räta ut igen!

Efter att barnen upptäcker att bara siffror 1,2,3,5 och 7 går att göra på det här sättet diskuterar vi hur det ligger till med andra siffror och sedan också bokstäver. Vilka stora bokstäver är till exempel i samma grupp som A?
(Svar: R)

Detta påminner om en gåta som folk länkar till då och då. Jag tror att det kan stämma att för mycket matematikutbildning skadar om man ska lösa gåtan fort:

8809 = 6
7111 = 0
2172 = 0
6666 = 4
1111 = 0
3213 = 0
7662 = 2
9312 = 1
0000 = 4
2222 = 0
3333 = 0
5555 = 0
8193 = 3
8096 = 5
7777 = 0
9999 = 4
7756 = 1
6855 = 3
9881 = 5
5531 = 0

2581 = ?

Knutar

Barnen får två snören var för att experimentera med knutar. Först får de försöka knyta enligt schema, som denna knut:

Sedan gäller det att först gissa utifall bilden ger oss en knut eller inte utan att försöka göra knuten själv. Har man en gissning får man prova att bevisa det med hjälp av sitt snöre.

Flätor

Knutar är ganska enkelt för större barn, så de får gå vidare till flätor. Det finns förstås den vanliga flätan, som man gör med tredelat hår. Men det är inte bara den vi ska experimentera med.

Även fyra delar kan ge en fläta:

Och fem förstås:

Uppgifter utan ord

Jag är alltid mycket för den visuella matematiken. En bild säger verkligen mer än tusen ord. Uppgiften nedan som vi avslutar med (den har inte så mycket med topologi att göra) kommer ursprungligen från .

Related posts:

1. En lektion för små barn om vinklar
2. En lektion för små barn om vinklar på klockan och delbarhet
3. En lektion för små barn om kvadrater (och andra fyrhörningar)

Tanken med träffarna är att träna eleverna inför kommande tävlingen SMT (SM i matte för gymnasister) och utveckla elevernas problemlösningsförmåga. Framförallt ska vi ha kul och upptäcka spännande ny matte tillsammans.

Nedan är den andra lektionen som jag höll i. Vi övade på att lösa ekvationer, där variablerna var heltal. Vi gick igenom uppgift 0 på tavlan och totalt sett löstet uppgifterna 1-5. Det var en svår lektion med andra ord.

Inte det roligaste ämnet heller inom problemlösning tycker jag, men sådana här uppgifter träffar man jämt på i SMT-kvalen.

Problemlösning Katedralskolan, 2012-04-25

Tal och ekvationer

0. Hur många lösningar har ekvationen xy = 10
a) i positiva heltal;
b) i heltal;
c) i reella tal?

1. Produkten av tre positiva heltal är 77 medan deras summa är mindre än 77. Bestäm summan.

2. Samtliga portar i ett hyreshus har samma antal våningar. Det finns lika många lägenheter på varje våning. Man vet att antalet våningar är större än antalet lägenheter per våning vilket i sin tur är större än antalet portar. Det finns minst två portar. Totalt finns det 105 lägenheter. Bestäm antalet våningar.

3. Bestäm samtliga positiva heltalslösningar till ekvationen 4x+7xy = 100.

4. Produkten av två positiva heltal är 19 större än kvadraten på det första talet. Bestäm det andra talet.

5. En 40-foting har ett huvud, en drake har tre huvuden. Det flyger en svärm av sådana djur. Det finns totalt
а) 26 huvuden och 298 fötter;
b) 39 huvuden och 648 fötter.
Hur många fötter har en drake?

6. Finns det sådana positiva heltal x och y att
a) x²-y² = 21;
b) x²-y² = 20;
c) x²-y² = 22?

7. Av en rutad kvadrat klipper man en mindre rutad kvadrat. Det finns 23 rutor kvar. Bestäm storleken på den större kvadraten.

8. Det är ett känt faktum att 1993 är ett primtal. Bestäm om det finns sådana positiva heltal x och y att
a) x²-y²=1993;
b) x³-y³=1993;
c) x⁴-y⁴=1993.

9. (SMT) Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 17 positiva heltal som endast innehåller siffran 7 och ange alla sådana framställningar. Två framställningar som skiljer sig enbart beträffande termernas ordning räknas bara en gång.

10. (SMT) Bestäm x² + y² + z² om x, y, z är heltal som uppfyller
x + y + z = 60
(x − 4y)² + (y − 2z)² = 2

Blandade problem

1. a) Man har suddat första siffran i ett tresiffrigt tal och multiplicerat det erhållna talet med 7. Då fick man det ursprungliga talet. Bestäm talet.
b) Man har suddat andra siffran i ett tresiffrigt tal och multiplicerat det erhållna talet med 6. Då fick man det ursprungliga talet. Bestäm talet.

2. (SMT) Differensen mellan tva femsiffriga heltal ar 246. Visa att de tio siffror som ingår i de båda talen inte alla kan vara olika.

Related posts:

1. Problemlösning intro
2. Polyedrar och polygoner

Tanken med träffarna är att träna eleverna inför kommande tävlingen SMT (SM i matte för gymnasister) och utveckla elevernas problemlösningsförmåga. Framförallt ska vi ha kul och upptäcka spännande ny matte tillsammans.

Nedan är första lektionen, som kan användas som introduktion till problemlösning för intresserade elever. Problemen 0 och 5 går man igenom på tavlan genom att tillsammans med eleverna få fram lösningen.

Problemlösning Katedralskolan, 2012-04-11

Startuppgifter

0. I en skål växer en bakteriekultur. Varje sekund delar sig alla bakterier i två nya. Efter en minut är skålen helt full med bakterier. Efter hur länge var skålen full till hälften?
(Ledtråd: tänk från slutet.)

1. En bit föll ur en gammal tidskrift. Första sidan hade numret 328 och sista hade ett nummer som bestod av samma siffror, men i en annan ordning. Hur många sidor föll ut ur tidskriften?

2. Du har tillgång till 24 kg spikar och en balansvåg med två skålar. Hur kan du mäta upp 9 kg spikar?

3. En snigel tar sig upp för en påle, den börjar från markens nivå. Varje dag kommer snigeln upp 5 cm, medan varje natt åker den ner 4 cm. När kommer snigeln upp till toppen, om pålen är 75 cm lång?

4. Ta bort 10 siffror från talet 1234512345123451234512345, så att talet som står kvar är så stort som möjligt.

Problemlösningstips 1: lös ett “förenklat” problem

5. I en 5×5-tabell står det ett plustecken i en hörnruta och i alla andra rutor står ett minustecken. En tillåten operation är att invertera alla tecken i en hel rad eller en hel kolonn. Går det att genom tillåtna operationer få alla tecken till att vara plus?
(Svar: nej. Ledtråd: titta på samma problem för en 2×2-tabell)

6. Det finns en träkub med sidan 3 cm. Det är ganska lätt att såga upp den i 27 små kuber med sidan 1 cm genom att såga sex gånger. Går samma sak att genomföra med färre sågningar om det är tillåtet att flytta bitarna emellanåt?

7. Visa att en konvex polygon med n hörn har vinkelsumman 180(n-2) grader.

8. Visa att n(n+1)(n+2) är delbart med 6 för alla heltal n.

9. Lös ekvationen (x²+x-3)²+2x²+2x-5 = 0

Logikövningar

10. I ett hav bor många olika bläckfiskar. Om en bläckfisk har jämnt antal armar så talar den alltid sanning, men om den har udda anta armar så ljuger den alltid. En gång sade den gröna bläckfisken till den mörkblåa:
- Jag har 8 armar. Och du har bara 6.
Då blev den mörkblåa sur:
- Det är jag som har 8 armar. Du har bara 7.
Den svarta bläckfisken höll med:
- Den mörkblåa har verkligen 8 armar. Men jag har hela 9!
Varpå den randiga bläckfisken sade:
- Det är ingen av er som har 8 armar! Bara jag har 8.
Vilka bläckfiskar hade exakt 8 armar?

11. I ett land finns endast tre städer: Sannholm, Löngeborg och Turmö. Sannholmsborna talar alltid sanning, Löngeborgarna ljuger alltid och de som bor i Turmö turas om strängt att tala sanningar och lönger.
En dag såg en jourhavande brandsoldat en rök och telefonen ringde. ”Vi har en brand! ” ”I vilken stad brinner det? ” ”I Turmö ”. Till vilken stad skall brandkåren?

Här kan du se vad vi tidigare har gått igenom.

Mönster

Väldigt mycket i matematiken handlar om att se mönster. Jag skulle vilja påstå att det mesta inom grundskolans matematik går ut på att lära sig se ett slags mönster i uppgifter för att kunna tillämpa metoder.

Mönster som 3 + 7 = 10 hjälper en att lösa uppgifter som 14 + 3 + 7 = 24.

Och ifall man är bra på att extrapolera mönster, kan man komma på formler alldeles själv!

Upprepningar

Gjorde ni också girlanger utav gubbar till julgranen? Pojkarna nedan är ganska enkla att göra, men hur gör man för att klippa ut en girlang med varannan kille, varannan tjej?

Se mönstret och fortsätt

Ett bevis på att man ser mönstret i bilden är att man kan fortsätta det. Och tvärtom, om man försöker fortsätta mönstret ser man kanske när det blir fel och när det blir rätt.

Om man väver några remsor kan man se ett mönster i hur de synliga bitarna är färgade. Vilka färger finns underst respektive överst där bokstäver A och E står?

Föreställ dig mönstret

Ju mer matematik man läser, desto mer behöver man tänka abstrakt. Det innebär ofta att föreställa sig saker som inte finns framför en. Ibland föreställer matematiker sig saker som ingen har sett (som till exempel fyrdimensionella objekt)!

Förmågan att föreställa sig fysiska objekt och förhållandet dem emellan kallas för spatialförmåga. Den är väldigt viktig för pilot- och militäryrket, och så förstås matematikerna. För att träna den skall de lite äldre barnen lösa följande pussel:

Utan att kvadratbitar får klippas ut och arrangeras om, skall man bestämma vilken på som ska vara på vilken plats. Det betyder att bitarna måste arrangeras om i huvudet. Du kan prova själv genom att fylla i en en följande tabell med motsvarande tal.

Föreställ dig något som inte syns

En klassisk uppgift är att bestämma hur många kuber ingår i konstruktionerna, utan att alla kuberna syns.

Efter att alla barnen har skrivit ner förlaget, bygger vi upp sktrukturen och räknar hur många kuber det faktiskt behövdes.

Perspektiv

De äldre barnen får träna spatialförmågan på ett tredimensionellt sätt. De får se en bild på kubens alla sidor (i utvikt format), och sedan avgöra hur tre av kubens sidor ska se ut när man kollar på den från olika vinklar.

Vilken/vilka perspektiv är de rätta?

Tillverka en kub

Vi ska kombinera några av de ovastående övningarna och tillverka en kub själva. För det första skall barnen lista ut vilka av kvadraternas sidor skall tejpas ihop med vilka. Sedan får alla ett papper med ett mönster.

Uppgiften är nu att klippa upp mönstret i 6 likadana kvadrater. Varje kvadrat klistras sedan på en av sidorna på någons kub.

Det svåra är att klippa exakt utan att mäta. Tricket är att kolla på kanten, till exempel den vänstra. Då ska man klippa i bilden precis där den vänstra kanten av högra halvan är likadan som vänstra kanten av vänstra halvan. Skriv ut och försök själv!

Related posts:

1. En lektion för små barn om trianglar
2. En lektion för små barn i grafteori
3. En lektion för små barn om vinklar på klockan och delbarhet

Här kan du se vad vi tidigare har gått igenom.

Grafer

Jag försökte att introducera grafer på den allra första lektionen men begreppen tog sig inte. Det var inte naturligt för fem- och sexåringarna att representera människor med prickar och syskonsrelationer med pilar. Eller så passade inte temat till att vara först av alla helt enkelt.

Därför tänkte jag prova igen att bekanta barnen med grafer, denna gång med en mycket mjukare introduktion. Därför handlar egentligen inte så stor del av lektionen om grafer.

Barn ska kunna differensiera enkla linjära former

Titelt är ett skämt och betyder ungefär att barn ska kunna skilja på cirklar, trianglar och kvadrater.

Dagens lek går ut på att bygga ett land som består av öar. Öarna har alla olika färg och form: cirkel, rektangel, ring, femhörning etc. Barnen ska kunna nämna alla formerna. Vi placerar öarna på ett stort blått papper som symboliserar havet.

Broar

För att öarna ska bilda ett rike, måste det finnas sätt att ta sig emellan dem. Barnen får en bro i taget (en platt avlång rektangel), som kan förbinda två öar med varandra. Vilket är det minsta antalet broar som behövs för att man ska kunna promenera runt hela landet?

När vi har byggt det minsta antalet broar som krävs för att landet skall vara sammanhängande (vilket är 1 mindre än antalet öar). Hur många broar till kan vi bygga, om inte två broar får korsa varandra (broarna får vara böjda)? På den sista frågan vet inte jag det exakta svaret. Tillsammans med barnen ska vi i alla fall hitta ett lokalt maximum, det vill säga en situation där ingen ny bro kan sättas in, hur den än slingrar sig, på grund av korsandet av andra broar.

Köningsbergs broar

Man bestämde sig för att måla om alla broarna i landet till en ny färg. Går det att köra med målarbilen exakt en gång på varje bro? Det vill säga aldrig köra på en och samma bro två gånger och inte heller utelämna någon bro.

Barnen får göra minst ett försök var. Det tar ett tag innan man hittar den rätta vägen, om den nu existerar!

Detta är samma problem som Köningsbergs broar. Bara formulerat lite annorlunda.

Rita utan att lyfta pennan

För de äldre barnen passar uppgiften: rita figuren utan att lyfta pennan från pappret medan du ritar.

Auktion

Varje barn får ett och samma antal pappersmynt. De får i hemlighet bjuda ett visst antal mynt på varje ö. Den som bjuder flest mynt, får bli öns president (om det är lika, bjuder man om). Mynten man har kvar, kan man spendera på byggblock, som man får bygga presidentpalatset av på sin ö.

Detta lär barnen hur en bjudning kan fungera. Också lär de sig att snabbare jämföra antal och avgöra vem som bjöd flest mynt.

Karta

Det är dags att rita landets karta! Rita av landet på ditt eget papper. Du kan börja med ön där du är president och rita resten därifrån.

Samtidigt som barnen ritar jag en ”karta” där öar bara är prickar och broar är streck. Sedan får barnen se kartan. Kan alla peka på sin egen prick?

Flaggor

Landets färger är blått (havets färg), gult (solens färg) och rött (broarnas färg). Vi vill att landet inte bara ska ha en flagga, utan alla möjliga randiga flaggor som består utav 1, 2 eller 3 ränder!

Barnen får tillsammans måla alla flaggorna och kontrollera att de ha tagit alla kombinationer. Eventuellt kommer de på att man kan ha ränderna på det andra hållet (som i den rumänska flaggan och inte den ryska). Om ränderna är som på bilden ovan, finns det 15 olika flaggor man kan göra.

Set

Om det blir tid över, spelar vi set med de äldre barnen. På spelet står det att lägsta åldern är 6, men jag tror att det är meningsfullt att köra spelet först vid 7.

Related posts:

1. En lektion för små barn om trianglar
2. En lektion för små barn om vinklar på klockan och delbarhet
3. En lektion för små barn om vinklar