Mattebloggen

Matteproblem vecka 10

Val — Tue, 09 Mar 2010 15:28:16 +0000

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Under familjefikat drack alla en hel kopp kaffe med mjölk. Det visade sig att Terese drack en fjärdedel av all mjölk och en sjättedel av allt kaffe. Hur många familjemedlemmar finns det?

Lösning till problem vecka 8

Val — Tue, 09 Mar 2010 07:19:52 +0000

Kan man dela upp en kvadrat i 9 kvadrater och måla en av dem i vitt, 3 av dem i grått och 5 av dem i svart på så sätt att kvadrater med samma färg har samma storlek, men kvadrater med olika färg har olika storlek?

Lösning:

Ja, det kan man faktiskt! Så här till exempel:

Labyrintspel

Val — Thu, 04 Mar 2010 09:43:48 +0000

Hittade ett enkelt spel som jag gissar att min brorsa skrev för sisådär 10 år sedan. Det går ut på att man är i en liten labyrint och ska hitta ut.

I den enkla varianten ser man själva labyrinten och kan efter ett tag enkelt komma ut.

Men i den svåra varianten är man blind och kan endast ”se” ifall det är en vägg framför en eller inte. Här ska man hitta ut ur labyrinten genom att minnas eller rita upp en bild i huvudet.

Bra hjärngympa helt enkelt!

Spela Labyrint

Detta spel fick mig att tänka på olika ”styra robotar i labyrinter”-spel och det senaste jag spelat är Light Bot. Det går ut på att man programmerar en robot att ta sig till specifika ställen och tända lampor.

Riktigt rolig träning i programmering där man inte behöver kunna något programmeringsspråk.

Spela Light-Bot

Matteproblem vecka 9

Val — Tue, 02 Mar 2010 19:51:59 +0000

I en triangel ABC så är mitten av sidan AB markerad med punkten M. Även höjderna AH och BL är utritade. Det visade sig att triangeln MHL blev liksidig. Måste det vara så att även triangeln ABC är liksidig?

Om ja, ge ett bevis för varför den måste vara det. Om nej, visa hur ett motexempel konstrueras.

möjlig bild?

Lösning till problem vecka 7

Val — Tue, 02 Mar 2010 12:47:06 +0000

I Skogsmården bor bara alver och dvärger. Dvärgarna ljuger varje gång de pratar om sitt guld, annars talar de sanning. Alverna ljuger varje gång de pratar om dvärgar, annars talar de sanning. En gång hörde man två Skogsmårdbor prata:

A: Jag stal allt mitt guld från Draken.

B: Du ljuger.

Bestäm för varje person om denne är alv eller dvärg.

Svar:

Båda är dvärgar.

Lösning:

Om någon anklagar någon annan för lögn, så kan inte båda ha rätt och båda kan inte ha fel heller. Den ena måste ha rätt och den andra måste ha fel.

Så antingen är det så att A talar sanning och B ljuger eller att A ljuger och B talar sanning. Vi undersöker de möjligheterna.

A talar sanning och B ljuger.

Om A talar sanning så måste han vara alv, eftersom dvärgar ljuger om sitt guld. Å andra sidan om B ljuger, så måste A vara dvärg, eftersom B pratar om en person, och man kan bara ljuga om dvärgar (om man pratar om någon person). Så detta alternativ är omöjligt. Alltså är det så att:

A ljuger och B talar sanning.

Om A ljuger om sitt guld, så måste han vara dvärg. Eftersom B pratar om en dvärg och talar sanning, så kan han inte vara alv och måste då också vara en dvärg. Det alternativet fungerar och det finns inga andra!

Matteproblem vecka 8

Val — Tue, 23 Feb 2010 21:24:47 +0000

Lösning till problem vecka 6

Val — Tue, 23 Feb 2010 21:07:18 +0000

Det finns 25 ostbitar. Går det alltid att välja en bit, skära den i två delar på så sätt att osten nu kan läggas i två kassar så att den uppskurna ostens delar hamnar i olika kassar och det finns lika många ostbitar i varje kasse och osten i kassarna väger lika mycket?

Svar:

Ja, det går faktiskt alltid att göra.

Diskussion:

Om 25 bitar är lite svårt att föreställa sig, är det klokt att först tänka på ett mindre antal bitar. Det är en väldigt vanlig lösningsmetod för sådana här svåra problem.

Hur skulle vi göra med en bit? Det är väl ganska enkelt – vi skär den i två lika stora bitar såklart! Det går inte på något annat sätt om de olika bitarna måste väga lika mycket.

Två bitar funkar inte för uppgiften. Det går ju inte att skära en bit itu, och sedan lägga de tre bitarna i två kassar så att det är lika många bitar i varje kasse.

Hur skulle vi kunna göra med tre bitar då? Vi måste fundera på vilken som ska delas upp i två. De som är viktigt nu förstås är hur mycket bitarna väger och hur vikterna förhåller sig till varandra. Kanske ska vi dela upp den lättaste i två delar? Eller den tyngsta? Eller den mellesta? Eller olika beroende på situation? Vad tror ni?

Vi tänker oss några hypotetiska situationer, kanske med bitar som väger 1g, 100g och 100000000g. Då ser vi att i alla fall här så kan inte den minsta biten vara den som delas och inte heller den mellersta. De är helt enkelt för små för att kunna kompensera skillnaden mellan de andra två bitarna. Den största går däremot bra att dela – ska man vara exakt så måste vi dela den i bitar som väger 50000049,5g och 49999950,5g, men de exakta talen är inte det viktiga. Poängen är att de går eftersom den största biten är större än skillnaden mellan de andra två, så den funkar att dela itu för att kompensera.

Vi provar samma idé med 25 bitar.

Lösning:

Ordna bitar efter vikt, från lägst till högst. Börja nu lägga bitarna på en balansvåg: varannan på ena skålen och varannan på andra skålen. En observation vi nu kan göra är att skålen med den nyaste biten är alltid tyngst (eller väger lika mycket som andra skålen). Den andra observationen vi kan göra är att skillnaden skålarna emellan är inte större än vad den nyaste biten väger.

Vi kan bevisa de här påståenden med hjälp av matematisk induktion.

Lägg på den första biten på vänstra skålen. Förstås är den skålen nu tyngst. Men skillnaden skålarna emellan är inte större (just nu faktiskt exakt lika stor) än den här första biten.

Och nu induktionssteget. Låt observationerna gälla när vi lagt på n bitar. Säg att den sista biten vi lade på hamnade på skålen A.

Vi lägger nu den n+1:a biten på skålen B. Varför är det skålen B som är tyngst nu (eller lika tung som skålen A)? Jo, för att förut var skålen A tyngst (enligt induktionsantagandet) och skillnaden i vikt var som mest vad n:te biten väger. Men n+1:a biten väger mer (eller lika mycket)! Så skålen B måste väga tyngst nu.

Men hur mycket tyngre? Ja, inte mer än vad n+1:a biten väger i alla fall, eftersom det nyss var skålen A som var tyngst. Så har vi bevisat att observationerna gäller även när vi lagt på n+1 bitar.

Därför kan vi dra slutsatsen att ni vi lagt på 24 lättaste bitar (varannan på första skålen, varannan på andra), så kommer andra skålen vara tyngst (eller väga lika mycket som den första), samt att skillnaden i vikt är inte större än 24:e biten. Så den 25:e biten (som är minst lika stor som den 24:e) kan nu delas upp i två delar för att kompensera denna skillnad.

Rent praktiskt så mäter vi upp denna skillnad på den 25:e biten och skär upp det som är kvar i två lika stora delar. På så sätt får vi två bitar som har just den skillnaden i vikt som vi vill ha. Lägg den största på den lätta skålen, den minsta på den tunga. Det enda som återstår är att lägga bitarna från skålarna i två kassar

Matteproblem vecka 7

Val — Tue, 16 Feb 2010 15:34:55 +0000

A: Jag stal allt mitt guld från Draken.

B: Du ljuger.

Bestäm för varje person om denne är alv eller dvärg.

Lösning till problem vecka 5

Val — Tue, 16 Feb 2010 10:07:06 +0000

På en rad står tal, som är delbara med 9, i stigande ordning: 9, 18, 27, 36 och så vidare. Under varje tal står dess siffersumma.

(a) På vilken plats i andra raden ser vi först talet 81?

(b) Vad kommer stå först på andra raden: fyra stycken 27 i rad eller en gång talet 36?

Lösning:

(a) Funderar först på vilket tal som över huvud taget har siffersumma 81. Det minsta talet man kan komma på denna siffersumma är 999999999 (nio stycken nior). Alla andra tal med samma siffersumma kommer ju vara tvungna att ha fler siffror och följaktigen måste de vara större tal.

Lyckligtvis befinner sig talet på första raden i vår lista, eftersom det faktiskt är delbart med 9. Vi får reda på platsen genom att dividera talet med 9 (efter 9 står på 1:a platsen, 18 på 2:a platsen och så vidare). Således blir svaret 111111111.

(b) Med samma resonemang som i (a) ser vi att första talet som kommer ha siffersumma 9999 kommer att vara talet 36. Men när kommer det massa tal med siffersumma 27 i rad?

Det första talet är ju 999.

De enda talen som har fyra siffror och börjar på 1 och har siffersumma 27 är 1899, 1989 och 1998, där har vi bara två i rad.

De enda talen som har fyra siffror och börjar på 2 och har siffersumma 27 är 2799, 2889, 2898, 2979, 2988 och 2997, där har vi bara tre i rad (2979, 2988 och 2997).

Men bland talen, som börjar på 3 och har siffersumma 27 och består av 4 siffror kan vi faktiskt hitta 4 på varandra följande: det är 3969, 3978, 3987 och 3996 (det skiljer sig exakt 9 mellan två tal bredvid varandra).

Så 4 tal i rad med siffersumma 27 kommer före första talet med siffersumma 36 i vår rad!

Matteproblem vecka 6

Val — Tue, 09 Feb 2010 08:07:27 +0000