Tentor

Tentor

En student skrev totalt 31 tentor under de fem åren hon studerade på universitetet. Varje år skrev hon fler tentor än det föregående året och det sista året skrev hon tre gånger så många tentor som första året. Hur många tentor skrev hon under det fjärde året?

Visa lösningen

Djur på vägen

Djur på vägen

På en väg fanns lika många grisar, ankor och kycklingar. Totalt hade de 32 fötter. Hur många ankor fanns på vägen?

Visa lösningen

Jämn siffra efter udda

Jämn siffra efter udda

Vanda skrev talen från och med 1000 till och med 2000 i ordning på en rad som ett enda långt tal:

1000100110021003….19992000

Hur många gånger skrev hon en jämn siffra direkt efter en udda siffra?

(Jämna siffror är 0, 2, 4, 6, 8; udda siffror är 1, 3, 5, 7, 9).

Visa lösningen

Bussar på vägen

Bussar på vägen

Lars går längs med en väg med konstant hastighet. Var 6:e minut ser han en buss som åker förbi honom och var 3:e minut möter han en buss som åker åt andra hållet. Bussarna åker med samma fart åt båda håll och startar från ändhållplatserna med jämna mellanrum. Hur långa är dessa mellanrum?

Visa lösningen

Ihoplimmad kub

Ihoplimmad kub

Av 27 kuber av storleken 1x1x1 limmade man ihop en kub av storleken 3x3x3 genom att alla kontaktytor limmades. För att limma ihop två sidor använde en droppe lim varje gång. Hur många droppar lim använde man totalt?

Visa lösningen

Skolsteg

Skolsteg

Maria, Jakob och deras pappa går till skolan tillsammans. Under tiden som pappa tar 3 steg, så tar Maria 5 steg. Under tiden som Maria tar 3 steg, så tar Jakob 5 steg. Maria och Jakob räknade till att de tog 400 steg till skolan tillsammans. Hur många steg tog deras pappa till skolan?

Visa lösningen

Glassbekymmer

Glassbekymmer

Valentina ville köpa en glass, men saknade 7 kronor. Robert ville köpa samma sorts glass, men saknade 1 krona. Då bestämde de sig för att lägga ihop sina pengar, men även då räckte de inte för att köpa en sådan glass. Hur mycket kostar glassen de ville köpa?

Visa lösningen

Matematik i Genikampen – fjärde och femte avsnittet

Första, andra och tredje avsnittet av Genikampen innehöll en hel del matte, medan avsnitt fyra och fem var mycker mer fysikinriktade. Jag har inte så bra förståelse för fysik, så jag ska försöka framlägga hur jag försökte göra mitt bästa genom att tänka logiskt och matematiskt i tävlingarna. Samt hur man skulle kunna gjort för att prestera ännu bättre!

Avsnitt 4: Robottävlingen

Tävlingen handlade om att sätta sig in i ett drag-and-drop programmeringsspråk för att skriva program som fick en Lego-robot att utföra uppdrag. Man kunde bygga ut roboten med några Lego-bitar för att underlätta uppdragsutförandet.

Det fanns många saker man kunde göra på banan, men lite tid. Det mest tricksiga var att programmet är kopplat till en verklig fysisk händelse, till skillnad från många “vanliga” datorprogram. Till exempel innebär det att svänging på 90 grader i programmet inte innebar svängning på 90 grader i verkligheten, utan lite mer om roboten precis hade varit i rörelse. Jag antar att det beror på att den har lite rörelseenergi/intertia/eller vad det heter. Vi fick exempel på hur dessa värden kunde motsvara de verkliga, men inte riktigt någon formel, så det handlade om att prova sig fram helt enkelt, som i många andra tävlingar. Tyvärr fick man bara två försök på själva banan.

Om det inte var trivialt att anpassa speglar från avsnitt 2, där vinklarna faktiskt var mer eller mindre exakta, så var det otroligt mycket svårare här; oexaktheterna ställde till det.

Därför lyckades båda lagen bäst med det enklaste programmet, som körde roboten fram och sedan tillbaka. Jag tror att tävlingen hade blivit roligare, ifall man inte hade fått dubbla poäng för att köra tillbaka roboten. Då skulle man ha vågat sig på någon svårare bana tror jag, och det laget som hade kommit längst i sina eskapader skulle ha vunnit.

Men alla snitsiga planer och programmeringskunskaper hjälper inte, när man inte ens kan stoppa in USB:n på rätt sätt för att det nya programmet ska laddas över till roboten :)

Hur som helst hade det gula laget kommit längre med sitt projekt, så det var en välförtjänt vinst. Men det hade varit spännande att se hur det skulle ha gått till ifall vi “genier” hade fått öva på Lego-programmering innan. Annars var det lite som att vi skulle ha slängts i vatten i våtdräkter och behövt dyka utan att ha provat på det först!

Avsnitt 4: Bron

I den här tävlingen gällde det att vara stabil! De vinnande taktikerna gick ut dels på att två personer på bron samtidigt stabiliserar varandra och dels på att två plankor under en person stabiliserar personen bättre.

Så hur ska man såga i plankorna? För rakar rep är svaret självklart: såga skårorna på samma avstånd som repen är! För korsade rep är det lite svårare, det beror på var man fick ha plankan! Jag tror att Johan vill ha en kort planka en tredje del in (dvs förhållandet mellan avståndet bryggkant-planka skulle vara dubbelt så stort som planka-kryss). Då skulle avståndet mellan skårorna på grund av likformighet vara en tredje del av avståndet mellan repen. Vi hade ingen linjal eller måttband, men vi visste dessa avstånd. Därför kunde vi på ett ungefär räkna ut (med halveringsmetoden) var man skulle göra skårorna. Vinkeln gissade vi på :) Och det funkade!

Foto: SVT/Genikampen
Foto: SVT/Genikampen

Avsnitt 4: Pusselduellen

Svårt att skriva om en tävling som man inte fick testa på! Den första pyramidpusslet hade jag sett förut, den är icke-trivial! Ett sätt att lösa det på är att få till en bit att ligga med ”rätt” vinkel, dvs en vinkel som känns vettig med tanke på slutresultatet. Då blir det tämligen rätt att fylla i slutresultatet, med tanke på att pusslet dessutom är spegelsymmetriskt.

Angående andra pusslet säger Theres att det är fyra likadana bitar. Det är lite svårt att se på videon, men jag tycker att de bara nästan är likadana. Det underlättar enormt om bitar är exakt likadana: Då vet man att en sådan bit måste innhålla översta kulan t.ex. och så börjar man testa sätt som den biten kan ligga på. Man ser också att Theresa behövde bygga ihop bitarna “alla samtidigt”, det gick inte att sätta in dem en i taget. Detta är något av det svåraste att komma i pussel. Lättare pussel, liksom matteproblem, löses ett steg i taget (och man förstår vilka steg det är som ska tas). I de svårare måste man däremot komma på en följd av steg som löser det, vilket i mitt tycke är exponentiellt mycket svårare!

theresa

Avsnitt 5: Flygplansbomben

I flygplanstävlingen skulle vi räkna ut tiden att släppa en kalkbomb på för att den skulle åka ett visst avstånde. Så som Axel säger är det en vanlig uppgift från fysikböcker. Vad händer då när “genier” ska räkna på det på riktigt?

Msn sätter upp en modell, som tar hänsyn till hastighet och acceleration och sätter in de kända värden. Varför blir det så fel? Dels är luftmotståndet tydligen svår att beräkna exakt, men dels tror jag det skedde missförstånd. Vi fick planets hastighet relativt marken trodde vi, men det var nog relativt luften. Det borde vi kanske ha insett när det blev så mycket fel, men jag hade ingen intuition för fysik, så tyckte inte det var så värst dåligt resultat att hamna 65 m bakom. Hade jag gjort det själv skulle det inte gått lika bra tror jag! Jag skulle iofs använt en enklare modell.

Poängen är att om modellen inte fungerar perfekt handlar inte om att hitta en bättre modell snabbt, utan att modifiera svaren utefter hur fel de var. Detta är precis vad gula laget gjorde och de vann på det! Fredrik lade fram ett hypotetiskt värde genom att ställa upp ett linjärt samband “x sekunder = y meter”. Det var lite tur att det fungerade, men det var ju helt rätt tänkt tänkt. Det berodde på att hastigheterna på planet ökade linjärt (170 km/h – 150 km/h – 130 km/h) och samma sak gällde höjden (och vikten). Allt som allt tror jag det borde blir ett linjärt samband för tid-avstånd också, i alla fall för små förändringar. Kul att det fungerade!

Bild: SVT/Genikampen
Bild: SVT/Genikampen

Avsnitt 5: Tryckluftkanoner

Jag kunde i stort sett ingenting om tryck när jag gick in i tävlingen, men efteråt berättade Axel om hur man modellerar skottkurvan utefter tryck och storlek och sådär. Vi räknade ut lite vinklar efteråt i lugn och ro, det var roligt!

När det gällde att komma på vinklar snabbt och bygga finns det ingen tid för räkning tyvärr. Det handlar mer om praktiska erfarenheter och tänk (hur fixar man läckande kanon). Där är en matematisk hjärna till ingen nytta!

Övningen med vattenmelonerna kunde man däremot tänka lite på. Fredrik har återigen rätt i att om uppgiften ska lösas med empiri så är det bara en parameter i taget som man tjänar på att ändra på.

Hur kunde man räkna ut den ungefärliga vinkeln? Jag gjorde det genom att rita en triangel på tavlan som var likformig med vår skjutbana (vi antog att kanonen skulle skjuta rakt uppåt om vi hade maximalt lufttryck) och sedan lägga på likadana vinklar (egentligen fördubbla dem) tills det skulle bli 90. Sedan kan man gå baklänges och räkna ut den ursprungliga vinkeln. Då fick vi 10.

I verkligheten beter sig inte saker perfekt, alltså inte som i modellen. Kanonen skjuter inte rakt uppåt och inte rakt framåt heller för den delen (som man ser blev det fler skott till vänster om målet än till höger). Återigen löser man uppgiften bäst genom att titta på det som faktiskt hände (här var referensskottet jätteviktigt att tänka på) och sedan anpassa sina värden därefter. Modeller är bra när man inte har någon aning, men har man något att utgå ifrån så borde man göra just det. Ännu än vinst för empiri!

Avsnitt 5: Stavningsduell

Inte särskilt mycket matte här, men bra att hålla reda på en regel för att skilja på enkelbokstav och dubbelbokstav. Överensstämma = överens + stämma (haha, lite matte blev det ändå), så det ska vara två “s”. Kom dock ihåg att det kan aldrig bli tre “s” (eller någon annan bokstav för den delen), utan de förkortast alltid till två i svenskan. Exempel: tuggummi = tugg + gummi.

100-våningshuset

Tack till David Nilsson som påminnt mig om en gammal klassiker!

Rekommenderad från: 13 år

En apa är i ett 100-våningshus och vill veta vilken den högsta våningen är som den kan släppa en kokosnöt ifrån utan att den går sönder när det träffar marken. Hur många gånger behöver apan testa att kasta ner en nöt för att garanterat ta reda på det, om den bara har två kokosnötter till godo?

apa_glad

Visa lösningen

Matematik i Genikampen – tredje avsnittet

Tredje avsnittet av Genikampen innehöll mycket matte! Så mycket att det inte hanns med att skriva om det innan avsnitt fyra kom ut. Avsnitt fyra och fem kommer jag däremot att slå ihop till ett inlägg.

Avsnitt tre innehöll tre tävlingar: allmänbildningspyramiden, bombdesarmering och pussel i duellen.

Pyramiden

I pyramidtävlingen skulle vi välja ett av fyra svarsalternativ på varje fråga, ställa in lådorna med de sidorna framåt och sedan klättra upp på pyramiden för att få en kontroll. Programledaren Micke skulle då säga hur många rätt vi hade (men förstås inte vilka som var rätt) och då kunde vi ändra lådorna till nästa kontroll. Det gällde att få alla rätt, men hur ska man göra om man inte kan svaret på frågorna?

Hade man fått veta vilka frågor man hade fått fel på, så skulle det inte ta mer än fyra testomgångar för att lyckas få alla rätt — då tar man ju bara hela tiden nästa alternativ på de som är fel. Eftersom man bara får veta antalet, så gäller det att chansa lite vilka frågor man hade fått fel på.

Mer om detta senare, men i verkliga förloppet hade vi verkligen tur med att snabbt få noll rätt.

Foto: SVT/Genikampen/Axel Bååthe
Foto: SVT/Genikampen/Axel Bååthe

Som sagt i programmet ger detta oss nu 3^10 = 59049 möjliga kombinationer för de rätta svaren som ska testat istället för 4^10 = 1048576, nästan 18 gånger färre det vill säga! I termer av utvunnen information är det till och med lite sämre att få fem rätt, då man inte vet vilka fem det är och resterande fem kan varieras på tre sätt, så antalet kombos som fortfarande funkar är:

{10 \choose 5}\cdot 3^5 = 61236

Noll rätt är dessutom riktigt bra att få tidigt, då framtida manipulationer av lådor kan bara göras på tre sätt istället för fyra (om man nu kommer ihåg de felaktiga alternativen, men vi utgår från perfekt minne här förstås).

Nu är det intressant att avgöra vilken taktik som snabbast ger en alla rätt om man bara chansar (och inte använder faktakunskaper man tror man besitter, hade vi kunnat någon fråga så hade vi nog inte fått noll rätt :)).

För enkelhets skull jämför vi två taktiker: att chansa på en låda i taget eller att chansa på två lådor i taget (och sedan förändra dem en och en för att få båda rätt). Att vända på lådorna tar ungefär lika lång tid som att att vänta på svar från programledaren, så det är det totala antalet “försök” som avgör tiden det tar att testa sig fram.

Om man vänder på en låda i taget (och har tre alternativ som kan vara rätt), så är det en på tre att man gissar rätt och två på tre att man gissar fel. I det andra fallet behöver man max gissa en gång till, sedan kan man gå vidare till nästa låda, eftersom man vet vilket alternativ som är rätt. Det allra sista kontrollen kan vi alltså bortse från (försumbart). Således, väntevärdet på antalet försök är:

\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot 2 = \frac{5}{3}

Gör man detta för två lådor, blir väntevärdet då lite mer än 3.

Om vi vänder två lådor i taget kan vi få tre alternativ: antalet rätt ökar med 2, med 1 eller med 0. Om två lådor är rätt behövdes det då ett försök, om en låda är rätt, så behöver man först vända en av dem för att bestämma vilken låda som var rätt (om man vänder på den som var fel kommer antalet rätt öka med 0 eller 1 (det senare fallet händer med mycket liten sannolikhet), annars minska), sedan kommer man antingen behöva testa noll/ett alternativ till (om man vände på den lådan som var fel) eller ett/två alternativ (om man saboterade den lådan som var fel från början). Om man har däremot 0 rätt från början så vänder man på båda lådorna igen och sedan behöver vända en eller två gånger till för att få båda rätt. Totalt blir väntevärdet ungefär följande:

\frac{1}{9}\cdot 1 + \frac{4}{9}\cdot (\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot 2) + \frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}\cdot 2 + \frac{2}{3}\cdot 3)) + \frac{4}{9}\cdot (\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{2}{4}\cdot 3 +  \frac{1}{4}\cdot 2)

vilket också är lite mer än 3!

Därför spelar det inte så stor roll om man testar en låda i taget eller två (och sedan fixar till lådorna en och en). I längden får man göra lika många försök i alla fall.

Sedan är ju frågan om man ska gå efter genomsnittsfallet (3 försök på båda strategierna), på värsta fallet (att man har maximalt otur) eller på det bästa fallet (att man har maximalt tur).

Första strategin (vända en låda i taget) har följande antal försök (innan man vet de rätta svaren) på vart och ett av fallen:

Värsta fallet: 5
Genomsnittsfallet: 3
Bästa fallet: 2

Andra strategin har följande:

Värsta fallet: 4
Genomsnittsfallet: 3
Bästa fallet: 1

Detta visar på att om man vill köra “safe” så ska man satsa på andra strategin, då man behöver försöka färre gånger om man har otur. Men ointuitivt nog ska man också köra på den om man vill köra “djärvt” och vill kunna klara pyramiden på färsta möjliga antalet försök. Den första strategin är helt enkelt för “långsam”. Detta förutsätter att man har bra minne, men i övrigt tror jag båda lagen körde på den här strategin, vilket visar på en bra intuition för matematik och sannolikheter hos deltagarna.

Bombdesarmeringen

I andra tävlingen skulle lagen komma på ett kommunikationssystem för att kunna överföra siffrorna 0-9 och bokstäverna A-J utan ljud på ett långt avstånd till sina lagkamrater. För att inte hålla för mycket i huvudet kom båda lagen på ett system för antingen siffrorna eller bokstäverna och endast den typen skickades (gult lag skickade siffror, blått — bokstäver). Sedan översatte mottagarna på flotten: A=0, B=1, C=2 och så vidare. Detta system förutsätter att mottagarna inte till exempel råkar tänka att A=1. Effekten +/-1 är annars är ett vanligt fel vuxna brukar göra, till exempel när de programmerar eller beräknar antalet dagar i ett visst tidsintervall.

Systemet med siffror tyckte vi hade en fördel, eftersom uppgifterna gick ut på att få fram siffror, både i del 1 och del 2. Det hade varit lite extraarbete och osäkerheterna kommer in när man först ska översätta siffran till en bokstav, skicka bokstaven och sedan ska bokstaven översättas tillbaka till siffran i del 1. Men det verkade blå laget klara bra, det var inte det som var svårast, utan att lösa uppgifterna var det. Sedan är det ju en fördel i andra delen, att skicka bokstäverna direkt. I vilket fall blir det samma antal översättningarna för båda strategierna i andra delen.

Foto: SVT/Genikampen
Foto: SVT/Genikampen

När jag ändå pratar om osäkerhetsfaktorer, så är det just på grund av dem som det hade varit bra att skicka all information på en gång i andra omgången. Dykaren får veta fem bokstäver vars motsvarande kablar hen ska klippa. OM man räknat fel så finns det stor sannolikhet att kabeln med bokstaven inte ens finns. (OM man till exempel får två likadana siffror som svar så vet man redan på berget att man har gjort fel. Det vet man inte om man skickar en siffra i taget.) Då kan dykaren låta bli att klippa något och säga att en viss bokstav inte finns, vilket mottaggarna får försöka kommunicera tillbaka till räknarna.

Lag gult hann inte dock skicka ut någon information i del 2, utav vi fokuserade på att kontrollräkna istället då vi inte fick några likadana siffror.

Vad gäller del 1 så var det bra att skicka ett lås i taget, då man kan kolla just ett lås i taget (och inte en siffra i taget), om det är rätt, och kostnaden för fel är mycket mindre.

Här hittar du lösningar till alla uppgifter. Som jag nämner i det inlägget så kunde man löst uppgifterna på ett ännu smartare sätt, då man visste att svaret skulle bli en siffra. En smart lösning som min kompis Johan B tipsade mig till uppgiften

((√256 x 20 − 25^2 + 15^2 + 3^4) x 10) / 5 = ?

är följande:

Vi vill veta vilken siffra som resultatet är, därför räcker det att betrakta uppgiften “modulo 10”, det vill säga studera slutsiffram i varje steg. Till exempel ser vi att vi har uttrycket (√256 x 20 − 252 + 152 + 34) x 2, därför kommer siffran att bli jämn. Och därför räcker att kolla vad uttrycket innan x 2 kommer att vara modulo 5. √256 x 20 slutar på 0 oavsett vad √256 är, därför kan vi strunta i att räkna ut det. − 25^2 + 15^2 är båda delbara med 5 och därför inte kommer bidra till sista siffran när man multiplicerar med 2 i slutet. 3^4 är det enda viktiga och vi kan räkna ut att det slutar på 1. Därför blir slutsiffran 1×2=2.

På liknande sätt kunde man ha gjort med kabel 3-uppgiften (försök själv!)

(15 – 7)(1500 – 25) – 2200 x 3 – 8^4 – 2^10 – 79 = ?

Foto: SVT/Genikapem
Foto: SVT/Genikapem

Pusselduellen

Det var svårt att se pusslen under programinspelningen, så vi roade oss med att räkna antalet kombinationer som varje pussel kunde vara i. Sedan gäller det förstås att hitta en bra sökväg mellan alternativen för att lösa pusslen snabbt.

Första pusslet består av sex bitar. Det var kanske givet vilken bit som skulle vara längst ner (om det inte var givet kunde man ta en godtycklig bit), så de resterande bitarna kan du placera på 5!*8^5 = 3932160 olika sätt (när du väl väljer en bit och en plats kan du vrida biten på 8 olika sätt vid den platsen, givetvis kommer de flesta sätt att direkt inte passa). Det är såklart inte rimligt att testa alla de sätten då en människa kan direkt se vad som passar och vad som inte passar. Ganska enkel brute force löser uppgiften i det här fallet.

Andra pusslet bestod av 18 bitar! Om man nu bara testar att lägga ner dem som en apa (utan att bry sig om hålen), så kan man göra det på 18!*4^18 sätt (varje pinne kan placeras på 4 sätt, em kombination av bak-och-fram eller inte och upp-och-ner eller inte), och det är för stort för att få plats i Google miniräknare-fönstret (storleksordningen 10^26)! Sedan kan man ha vissa symmetrier på hela konstruktioner, men det är bara en liten konstant som man delar med.
Man kan inte minska sökvägen jättemycket här heller, utan det finns väldigt många kombinationer ändå. Man får utgå från olika bitsorter och testa att starta på olika sätt. Inte konstigt att det tog lång tid…

Tredje pusslet är lättare än den andra, då det innehåller färre bitar. Här är tricket att börja med den största biten, den med mest volym och testa alla möjligheter för hur den kan sitta i den stora (än imaginära) kuben. Sedan ska den näst största biten in och så vidare. På så sätt kapar man sökträdet som bäst i början. Här är det svårt att uppskatta antalet kombinationer som behöver “testas”, då pusslet har en mycket oregelbunden struktur.