Bläckfiskarna

Rekommenderad från: 12 år

I havet bor många olika bläckfiskar. Om en bläckfisk har ett jämnt antal armar så talar den alltid sanning, men om den har udda anta armar så ljuger den alltid. En gång sade den gröna bläckfisken till den mörkblåa:

– Jag har 8 armar. Och du har bara 6.

Då blev den mörkblåa sur:

– Det är jag som har 8 armar. Du har bara 7.

Den svarta bläckfisken höll med:

– Den mörkblåa har verkligen 8 armar. Men jag har hela 9!

Varpå den randiga bläckfisken sade:

– Det är ingen av er som har 8 armar! Bara jag har 8.

Vilka bläckfiskar hade exakt 8 armar?


Visa lösningen

Inlärning

För länge sedan läste jag att man lär sig bäst när det nya i materialet utgör 30% . Med andra ord, 70% av det man läser, hör och ser ska helst redan vara bekant. Det tycker jag är en ganska rimlig siffra, dock går inte det ihop med begreppet traditionell föreläsning.

En vanlig matteföreläsning innehåller i princip bara nya begrepp,  satser och metoder. Föreläsarna ånstränger sig mycket för att hinna med åtminstone det som står i kursplanen, just för att eleverna ska ha sett “allt” innan de går och studerar på egen hand. De blir ju förstås upprörda om det kommer upp någonting på examinationen som de aldrig har sett förut.

Det är svårt att hitta något alternativ för att optimera inlärning under en föreläsning. Det bästa är att ta upp gamla exempel i lysa upp dem i det nya sammanhanget. Exemplet är någonting studenterna (förhoppningsvis) har sett förut och har någon slags relation till. Berättar man någonting nytt om det kommer det att utgöra ungefär 30% av hela exemplet.

På grund av samma princip lär jag mig bäst innehållet i en kurs tidigast kursen efter. När man ska lära sig flerdimensionell analys är det absolut viktigt att kunna endimensionell analys och då lär man sig det. Och när kursen i endimensionell analys går lär man sig vad man egentligen sysslade med på gymnasiet :)

I matematiken gäller alltså påbyggnadskunskap hela tiden. För att ta ett exempel, tänk på en rektangel. Alla lär sig det begreppet förr eller senare i livet, antingen från verkligheten eller abstrakta bilder. När det är dags att förstå begreppet “area” ritar läraren upp kvadrater eller rektanglar på tavlan och vi får genast en relation till det här nya mattebegreppet. Det första människor tänker på när någon säger “area” är en rektangel. Vi fortsätter vidare, förbi funktioner till envariabelanalys. Säg att vi behöver lära oss hur funktioner maximeras. Absolut bästa exemplet då är det som går ut på att hitta största arean för en rektangel med given omkrets. Väldigt verklighetsanknutet och högst praktiskt problem. Svaret är då att en kvadrat är den formen som ger störst area. Om inte mer, lär man sig åtminstone att maximera funktionen x(1-x) från detta exempel.

Här syns min förkärlek till exempel och jag kan aldrig själv föredra att gå en kurs med endast nytt teoretiskt material. Det är ingen som tycker att någonting är intressant om ingen kan förstå det.

Kvartscirkel

Rekommenderad från: 15 år

Från början har vi en kvartscirkel med radie 1 cm. Gränserna för kvartscirkeln utgör diametrar för två mindre cirklar, deras halvor syns på bilden.
 

vecka91

 

 i) Hur förhåller sig areorna A och B?

 ii) Vad är areorna A och B lika med?

Visa lösningen

Att sätta händerna i degen

I den stora boken “Algebra” av Grillet liknar författaren viss matematikinlärning med att knåda deg. Att lära sig vissa saker går bara om man själv försöker härleda eller använda dem. Till exempel matrisräkning kan man inte utantill om man inte multiplicerat en enda matris.

Jag håller fullt med om detta. Var själv väldigt priviligerad om att gå i den hårda ryska skolan och räkna 20 polynom, ekvationer och uttryck om dagen. Samma sak med multiplikation och division i de tidigare skolåren. Detta kommer till en användning i vardagen, då jag inte alltid har dator/miniräknare med mig, men oftast tillgång till papper & penna eller tavla & krita. 

Jaja, det är kanske ingen som bryr sig om att kunna räkna fort nuförtiden, varken tal eller andragradsekvationer, men människor vill kunna göra det (utan miniräknare). Speciellt studenter. Och enda vägen att lära sig är hårda vägen. 

Vad är bästa sättet att få eleverna att göra 20 ganska likadana uppgifter?

Om motivationen är “klara provet” eller “klara tentan” är det plötsligt en väldigt tråkig sak för dem att göra, för att man “måste”. Det sättet som gjorde det roligt för mig i lågstadiet i alla fall var att jag tävlade mot min bänkkamrat. Oavsett om det var rysk grammatik eller matte, så tävlade vi om vem som gjorde uppgifterna snabbast på lektionen. Långt ifrån alla är tävlingsinriktade förstås och alla har olika tempo. Dessutom var det inte läraren som gjorde det roligt för oss, utan det var vi själva.

Som lärare har jag inte vågat säga åt eleverna att utföra det här repetativa uppdraget. Det har Thomas Erlandsson däremot gjort till mina nya elever och jag kan säga att det funkar hur bra som helst. Han sa åt dem att räkna ett hundratal uppgifter från boken och det gör de också. När allt kommer omkring, är inte uppgifterna så djävulkst tråkiga.

När det gäller matriser och linjära avbildningar, så har jag gjort en stencil som börjar enkelt och testar färdigheter, men sedan blir allt svårare. Jag delade ut den på lektion 9 i kursen “Linjär algebra och geometri I” och man fick sitta med var sin stencil och komma så långt man kunde. Notera att samtidigt som att man gör standarduträkningar, smyger ovanliga uppgifter in och de får upptäcka lite matematik själva. Jag kan stolt skryta om att eleverna inte märkte när lektionstiden var ute, för de var så inne i stencilen. Här är den och stort tack går till min vän Djalal, som fixade kaninbilderna. (Bäst är att läsa den i utskriven version för sidorna på slutet är bilder som hör till tidiga uppgifter.)

Har ni några tips på att göra tråkig räkning rolig?

Kvadratuppdelning

Rekommenderad från: 12 år

Visa att en kvadrat kan delas upp i n stycken mindre kvadrater för alla n>5. Med “att dela upp” menas att vi klipper en kvadrat så att alla erhållna delar också är kvadrater och det blir inga bitar över.

Visa lösning och förklaring

Hjärtfigur

Rekommenderad från: 10 år

Dela upp hjärtfiguren nedan i 8 likadana delar. Delarna räknas som likadana om de har samma form och storlek (de kan dock vara placerade på olika sätt).

hjärtfigur

Visa lösningen

Induktion (matematisk sådan)

Från Wikipedia: Låt P(n) vara ett påstående som har att göra med ett positivt heltal n, och antag att följande påståenden är sanna:

  • P(1) är sant.
  • \forall p \in \mathbb{N}:P(p) \Rightarrow P(p+1).

Då är påståendet P(n) sant för varje val av det positiva heltalet n.

Lätt som en plätt, eller?

Alla tycker induktion är svårt

Alla som någonsin har varit lärare i grundläggande matematikkurser på universitet har stött på svårigheter inom ett specifikt avsnitt: induktion. Det har skrivits många kompendieinlägg och artiklar i ämnet, det går att hitta massvis med förklaringar och exempel, men ändå har så många så svårt för det. Varje år är det kanske 30 elever man har och 29 av dem har svårigheter med induktion.

Nyligen fick jag ett mail som bad om hjälp med en induktionsuppgift. Problemet för personen var att det inte var en standarduppgift (som handlar om summor, vänsterled=högerled, etc.), och fattar man inte induktionsprincipen då, så är man fast.

Vad induktion inte är

För att börja kasta lite ljus över ämnet, kan jag berätta om vad induktion inte är.

1. Det är inte en metod. Det påminner om en metod väldigt mycket, “stoppa in basvärden här”, “skriv induktionsantagandet där”, “härled induktionssteget mha induktionsantagandet”. Jag tror det är det som förklaringen av induktionsprincipen faller på. Den förklaras  mycket formellt, precis som en metod, och därför också uppfattas som sådan. Finns alltså inget sätt att lösa allmännt induktionsproblem!

2. Det är absolut inte en formel. Om man bara har sett summationsuppgifter, säg “Visa att summan av de första n positiva heltalen är n(n+1)/2” och liknande, tror man kanske att induktionspincipen är en slags formel. Man stoppar in lite summor här och var och blir det likhet, så är man klar. Så är det på sätt och vis med summationsuppgifter, dock faller inte alla de ut lika lätt som exemplet jag tog upp.

3. Det är inte en sats, en teori, en bok, en tupp osv.

Var är det då? Induktionen är en princip, ett axiom och så önskas. Det betyder att det är någonting som vi människor (matematiskt lagda) tycker borde gälla. Det är någonting som följer logikens lagar. Till exempel “äpplet faller inte långt från trädet” är ett av naturens lagar och det är lite konstigt att titta på det som en metod för beräkning av äpplenas banor. Ett mer matematiskt exempel är “Om det finns en linje i planet och en punkt utanför linjen, så kan man bara rita en linje genom punkten som är parallell med den första, ändrar man något så kommer första linjen korsas”. Det är ju ganska naturligt att det är så, men det är fortfarande varken metod eller formel.

Hur jag lärde mig induktion

Det skedde relativt tidigt, då jag ännu inte fattade mig på summationstecknet, vilket nog hjälpte för att förstår principen bra (kanske det som är lösningen, lära ut summa efter att man lär ut induktion på grundläggande algebra-kursen?). Jag fick några problem på fritiden, så jag försökte klura ut hur man löste dem. Men det är väldigt svårt att komma på principen själv, så jag lyckades inte först. Sen när man förstår principen så säger det “klick” och sådana problem löses på bara några minuter.

Och hur förstår man principen då? Jo, genom exempel! Exempel från matten eller vardagen spelar ingen roll. Vitsen är att när någon berättar att man visar någonting att börja med (bas) och sedan visar att “varje leder till nästa” (induktionssteg), så är det klart att det följer för alla. “Självklart måste det vara så!”, säger man då, och då har man förstått. Nästa svåra steget är att översätta lösningar till matematikspråket. Just “översätta”, eftersom mitt största råd är att lösa varje uppgift med ord först, så gott det går, och bara sedan försöka formalisera. Till att börja med: glöm bort vad induktion är och försök lösa de här, så återkommer jag med utförliga exempellösningar.

Att använda olika färger

Jag har precis haft föreläsningar med en ny lektor, och hans tavelteknik var fascinerande! Förutom att han talade tydligt och klart, förklarade långsamt och bra, tittade mot klassen och aldrig drog över tiden, så var han en mästare på att använda färger!

Tänk er en vanlig grön/svart tavla som man skriver med vit krita på.  Efter ett tag blir det rätt så monotont, för att inte tala om plottriga bilder. Man ursäktar sig och försöker flitigt förtydliga vilka sakerna på grafen eller bilden är genom att rita massa små pilar med förklaringar. Eleverna försöker desperat kopiera från tavlan och det uppstår frågor om var “x” egentligen är på bilden ;)

Inte gör Warwick (föreläsaren) så inte. Han använder framför allt vit, gul och röd krita. Skriver två rader (en mening till exempel) med vitt, men sedan kommer en ekvation, den skriver han då med gult! Nästa rad är omvandling av den första ekvationen, de hänger ihop, så den andra ekvationen skriver han också med gult. Dags att växla tillbaks till vitt. Nu kanske de behövs en liten anmärkning, den skrivs med små bokstäver och rött. Allt detta flyter på utan avbrott! Han har alla tre kritorna i handen hela tiden (hmm, kanske till och med fler färger) och växlar snabbt och naturligt.

Det som står på tavlan blir 50% roligare och 94% tydligare att läsa, man vet nu vad som händer ihop med vad! Man livas upp och blir glad av den gula färger och börjar nästan tycka mer om ekvationer än ord.

För att inte tala om vad man kan göra med grafer/bilder/diagram! Använda en ny färg för varje ny typ av grej på bilden är en bra tumregel.

På måndag blir det besök i kritskåpet!

Blåröda tallinjen

Rekommenderad från: 15 år

Förkunskaper: intervall, tallinjen, delbarhet, potenser.

På reella tallinjen markerade Johan alla kvadrater på positiva heltal. Varje erhållet intervall delade han sedan i två lika stora delar, de vänstra halvorna målade han blått (inklusive vänstra änden), medan de högra målade han rött (exklusive högra änden).

1. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett blått tal som är delbart med talet n.

2. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett rött tal som är delbart med talet n.

3. Visa att Johan kan hitta 1000 olika positiva heltal, så att summan av vilka som helst 5 av dem är ett rött tal.

4. Visa att det finns oändligt många röda tal som är potenser av två.

Visa lösningen

Underhållningsvärdet av en lektion

Några av mina andra lektioner i Linjär Algebra II gick inte lika bra som den första. Ett litet tag in på lektionen märkte jag att eleverna tyckte att det jag pratat om var för svårt, för tråkigt eller kanske för lätt – de började gäspa. Vänder man sig mot klassen med jämna mellanrum kan man lätt märka ifall de följer med och lyssnar eller om de tänker på annat. Är de inte inne i vad jag säger så snackar de kanske med grannen eller halvsover.

Vad gör man då? Nervositeten stiger, rösten darrar, man försökte skämta för att liva upp dem lite, vilket inte brukar gå så bra. Inte ens färgglada vektorer på tavlan hjälper. Då skulle det varit bäst att avbryta med en uppgift så de själva får jobba, men det är inte säkert att de kommer göra det, de är ju för oinspirerade och uttråkade.

I andra grupper går lektionen bra allra från början, är det en del som lyssnar uppmärksamt, så sprids den inställningen i hela gruppen. Alla mina skämt går hem och blir uppskattade (ok, åtminstone några)! Efter genomgången tar något trötta elever rast och nästa timme arbetar flitigt på egen hand.

Jag tänkte att detta berodde på något sämre förberedda lektionerna i första fallet, kanske de olika uppläggen av kursen för de olika grupperna. Kanske berodde detta på elevernas bakgrunder eller matematikkunskaper.

Men nu ser jag att just hur underhållande lektionen blir, hur kul eleverna har, beror på gruppsammanhållningen. Har ni märkt att de duktiga eleverna ofta är minst två och de sitter bredvid varandra?  Det är svårt att komma på alla frågor och funderingar på egen hand. Har ni märkt att eleverna har det roligare på rasterna om det finns bra gruppsammanhållning? Senaste lektionen kallade mina elever varandra för “linjärt beroende” och drog massvis med matteordvitsar :D Yeah!

Intresset för saker de lär sig spelar också stor roll förstås. Därför är målet för en lärare att från dag ett fixa:

1. Gruppsammanhållning genom en gemensam uppgift eller stor diskussion där alla verkligen är involverade (behöver inte handla om matte).

2. Intresset för kursen. Dra några problem eller exempel relevanta för elevgruppen eller människor i allmänhet.