Julia tänkte på ett tal, multiplicerade sedan det med 13, strök sista siffran i resultatet, sedan multiplicerade det nya talet med 7, återigen strök sista siffran i resultat och då fick hon 21. Vilket tal tänkte Julia på från början?
Innan Julia fick 21 genom att stryka sista siffran hade hon ett tal som var delbart med 7. Således hade hon antingen talet 217 eller 210. Innan hon multiplicerade med 7 hade hon alltså antingen talet 31 eller 30. Om ett tal börjar på 31 eller 30 och är delbart med 13, måste talet vara 312 (inga tresiffriga tal som börjar med 30 är delbara med 13). Innan dess måste talet ha varit 312/13 = 24, vilket var det talet Julia tänkte på från början.
I present får Mats en chokladkaka som har 15 × 6 rutor. Mats bryter en bit (från början utgör chokladkakan den biten) i taget, längs med en av dess skåror. Hur många brytningar måste han göra, för att det bara ska bli ensamma rutor kvar i slutändan?
Varje gång Mats bryter en bit, gör han två nya bitar. Det vill säga blir det en bit mer varje brytning totalt. Från början fanns det en bit (hela chokladkakan), i slutet ska han få 15 * 6 = 90 små bitar. Således måste han göra 89 brytningar, hur han än väljer att göra dem.
I klassen är det 14 elever som har valt att studera tyska, 8 som valt att studera franska. Det finns 3 elever som valt båda språken. Hur många elever går i klassen om man vet att alla valde åtminstone ett språk?
Låt oss räkna alla elever: 14 + 8 = 22. Men nu har vi räknat de som valt både tyska och franska två gånger. Vi måste ta bort dessa 3 elever: 22 – 3 = 19 elever går i klassen.
I ett sagoland finns 8 städer. Från varje stad leder 4 vägar och inga vägar korsar varandra. Rita kartan över landet genom att beteckna städerna med punkter och vägarna med sträckor.
Egentligen innehåller uppgiften några oklarheter: får vägarna sluta ingenstans? får en väg gå från en stad till sig själv? kan flera vägar gå mellan samma par av städer? får vägarna vara krokiga?
Jag tillät krokiga vägar och i enstaka fall två vägar mellan samma par av städer (även om detta skulle innebära att det finns en väldigt enkel lösning: para ihop städerna och dra fyra vägar mellan varje par).
Följande lösningar fick jag in, men det var egentligen bara Lottas och en av Eva-Maries lösningar (de hade likadana lösningar, så jag publicerar bara en sådan bild) som bara innehöll raka sträckor (och min egen).
Alla andra lösningar publicerar jag också för att visa att man kan lösa uppgiften på väldigt många sätt:
Från varje hörn på en träkub sågade man av en bit så att snittytan på alla ställen blev triangelformad. Hur många hörn och hur många kanter har den kroppen som bildades?
Om vi räknar med att snitten inte nuddar varandra, så ger varje snitt tre nya hörn istället för 1 gammalt. Eftersom kuben hade 8 hörn från början, så har den nya kroppen 24 stycken.
Antalet kanter däremot ökar med 3 för varje snitt, eftersom inga gamla kanter försvinner helt, utan bara ”förkortas”. Således måste vi lägga till 24 nya kanter till kubens ursprungliga 12, det vill säga antalet kanter totalt blir 36 stycken.
I en bakteriekoloni bestående av tvåhundra bakterier hamnar ett virus. Efter en minut konsumerar viruset en av bakterierna, varpå varje kvarvarande bakterie delar sig i två nya bakterier och viruset delar sig också i två nya virus. Efter en minut till konsumerar de två virusen var sin bakterie, varpå alla delar sig i två nya individer igen och så vidare. Kommer bakteriekolonin leva för evigt? Om inte, efter hur lång tid dör den?
Låt oss ”hålla räkning”, det vill säga anteckna hur många bakterier respektive virus lever efter varje minut.
I början finns 200 bakterier och 1 virus.
Efter 1 minut finns 199*2 bakterier och 2 virus.
Efter 2 minuter finns (199*2 – 2)*2 bakterier och 2*2 virus.
Låt oss förenkla resultatet efter minut 2.
199*2 – 2 = 198*2, således fanns det 198*2*2 bakterier efter minut 2.
Vad händer efter minut 3? Antalet bakterier blir (198*2*2 – 2*2)*2 och antalet virus blir 2*2*2, eller, skrivet med potenser:
197*23 bakterier och 23 virus.
På samma sätt efter minut 4 blir det 196*24 bakterier och 24 virus kvar.
Vi ser mönstret: efter minut n är det (200-n)*2n bakterier och 2n virus kvar, vilket efter minut 199 innebär 2199 bakterier och 2199 virus, så vi ser att efter minut 200 är det inga bakterier kvar, det vill säga kolonin utrotas.
Om lika många tunnor lastas på varje lastbil (det vill säga sju stycken), så är det bara innehållets vikt vi behöver bry oss om när vi fördelar tunnorna.
Totalt finns det 7 + 3,5 = 10,5 tunnor innehåll. Varje lastbil ska ha 10,5/3 = 3,5 tunnor innehåll. Detta uppnås på en lastbil om vi t.ex. tar tre fulla, en halvfull och tre tomma tunnor. Det finns kvar en likadan uppsättning tunnor som vi ha även på den andra lastbilden.
Resten ska vara sju tunnor och det ska stämma att det är 3,5 tunnors innehåll i dem. Vi kontrollerar: sista lastbilen får 1 full, 5 halvfulla, samt 1 tom tunna – det stämmer!
Det finns fler sätt att fördela tunnorna så som uppgiften säger.
Om talet inte är delbart med 2, 3, 4, osv. till 10 så betyder att primtalsfaktorerna 2, 3, 5 och 7 inte ska ingå i talet. Talet skall vara sammansatt, alltså är det inte 1. Det allra minsta primtal som kan ingå i talet är 11. Men det kan inte vara ett primtal, alltså måste vi multiplicera med en primfaktor till. Det minsta möjliga är 11 igen.
Det minsta sammansatta talet som uppfyller villkoren är alltså 11*11 = 121.
Inga kommentarer är tillåtna under veckan. Om du undrar över något i problemet, kontakta mig.
Alla barnen måste ha ätit lika många pepparkakor var. Om ett barn hade ätit x pepparkakor, så betyder det att det totalt hade ätits (x+7)+x (alla andra tillsammans + barnet självt), och eftersom 2x+7 är samma för alla barn, så är även x samma för alla barn.
Om varje barn åt x pepparkakor, och antalet barn var N, så betyder det att 2x+7 = Nx, det vill säga 7 = (N-2)x.
Vi vet alltså att x är en delare till 7, och x var minst 2 enligt uppgiften, alltså är x = 7. Det betyder att N-2 är 1, det vill säga antalet barn är 3. Således åt barnen tillsammans 21 pepparkakor.
I likheten ersätt stjärnorna med siffror, så att likheten blir korrekt, om båda termerna samt summan måste förbli samma tal om man läser dem från höger till vänster. Talen får inte börja med noll.
Talet A är mindre än 100 och talet B är mindre än 1000. Tillsammans ger de en summa som är mindre än 1100 och således måste talet C börja (och sluta) på 1.
Å andra sidan, för att summa ska nå upp till 1000, måste talet B vara åtminstone 900. Så talet B börjar (och slutar) på 9.
För att slutsiffrans summa ska stämma måste talet A sluta (och börja) på 2.
Egentligen kan inte A + B nå upp till 1100, då A inte kan vara 100 och B inte kan vara 1000. Därför är C mindre än 1100, alltså har 0 som andra (och tredje) siffra.
