Mattebloggen » cirkel

Lejonet på arenan

Val — Wed, 14 Mar 2012 14:14:08 +0000

Grattis på pidagen!

Rekommenderad från: 17 år

Förkunskaper: radianer, transformationer.

Ett lejon springer runt på en rund cirkusarena, som har radien 10 m. Lejonets bana består av raka streck och i slutändan springer han 30 km. Visa att summan av alla vinklar, som lejonet svängde under springturen, är minst 2998 radianer.

Källa: Kvant magazine

Visa lösningen

En lektion för små barn om vinklar på klockan och delbarhet

Val — Sat, 04 Feb 2012 14:29:43 +0000

Detta är en kortfattad planering av en del av en lektion med barn på 5, 6, 7 respektive 10 år. Där det inte står något är aktiviteterna riktade åt de yngre barnen.

Notera att barnen redan har haft en introduktion till vinklar och olika vinkeltyper.

Klockan

Vinklar på klockan

Var hittar vi vinklar i rummet? Det är svårt att hitta spetsiga och trubbiga vinklar, men klockans visare bildar oftast en spetsig eller trubbig vinkel. Vi tar fram en modell av en klocka med två visare och snurrar ena visaren. Barnen säger under tiden vilken vinkel det är mellan visarna (”trubbig, trubbig, trubbig, trubbig, RÄT, spetsig, spetsig, spetsig, jättespetsig…”).

Vad är klockan om visarna bildar en rät vinkel (om minutvisaren är på tolv)? De yngre barnen får experimentera med en klockmodell, medan de äldre får föreställa själva. Hur ofta sammanfaller visarna, kan man fråga de äldre barnen.

Branta backar

Ställer man en spetsig vinkelns ena ben på marken blir det en backe. Vilken backe åker man snabbast nedför? Vilken backe är jobbigast att klättra upp på?

Vika papper

Tänk om vi har varken linjal, gradskiva eller sax med oss! Det enda vi har är ett papper. Hur kan vi få fram en rät vinkel? Vad ska vi göra om pappersbiten är rund och inte triangulär från början?

De äldre barnen får i uppgift att vika ihop vinklar på 180, 90, 45 samt 60 grader.

Färga klockans siffror

Vi ska göra den tråkiga klockan lite snygg och färglägga cirklarna med siffror. Går det att måla cirklarna i två färger, så att varannan cirkel har en färg? Kommer det att gå ihop på slutet? Går det med 3 färger? 4 färger? 5 färger?

Tio- och kanske sjuåringarna får hitta tal upp till 100 som går att färga i både 2,3,4,5 och 6-färgsmönster.
I samband med det får de kort där de snabbt ska gissa hur många cirklar det finns av en viss färg.

Till exempel, hur många röda cirklar är det på bilden? Svara utan att räkna dem en efter en!

Bygga ihop

Vi fortsätter på uppgiften från förra gången. Nu gäller det att inte bygga en cirkel utav vilka bitar som helst, utan av exakt två typer av bitar. Det finns inte så många lösningar till den här uppgiften om man lägger på begränsningar på att varannan bit ska ha samma färg (ett exempel är ). De äldre barnen får försöka bevisa att de har hittat alla lösningar.

En lektion för små barn om vinklar

Val — Fri, 27 Jan 2012 11:44:54 +0000

En ny termin är igång och för mig innebär det söndagsträffar med mina matematiksugna 5-, 6-, 7- och 10-åringar! Förra terminen skrev jag om våra 6 träffar, men vi har egentligen haft 11 stycken och i vår ska vi ha ungefär lika många!

Gamla träffar:
Träff 1 och 2
Träff 3 och 4
Träff 5 och 6

Den här våren tänkte jag prova att ha 1-2 övergripande teman på varje lektion, ungefär samma tema för stora som för små barn. Uppgifterna kommer dock variera för olika åldrar. De planerade aktiviteterna ska jag försöka lägga upp här på bloggen i förväg, så ni kan komma med synpunkter och förslag. De riktiga lektionerna blir aldrig i och för sig exakt som planerat, men i alla fall hälften av aktiviteterna hinns med (det gäller att ha aktiviteter med sig med marginal!).

Vinklar

Vi har nämnt vinklar och hörn lite grann förra terminen och svarat på frågor av typen:
- Hur många hörn har rummet? (Svaret var 6 för vårt rum)
- Hur många hörn har bordet? (Svar: 4)
- Bordet består egentligen av två mindre. Hur många hörn blir det om man förskjuter ena halvan? (Svar: 8, eftersom vinklar som är större än räknas också)

Här är en kortfattad plan på hur jag ska lägga upp lektionen för barnen (där det inte står något, utgå från att de är 5-7 år gamla):

Introduktion till matematiska begrepp

Jag berättar om spetsiga, räta och trubbiga vinklar, visar exempel och ber dem att hitta olika sorts vinklar i rummet. Finns det andra vinklar än räta i verkligheten? Ja, men man får leta efter dem lite längre (ett exempel är klockans visare).

Lek med vinkelexempel

Barnen får dra kort, ett i taget, och säga vad för sorts vinkel det är på bilden (trubbig, spetsig, rät). Man måste visa att man har rätt också och det kan man göra genom att lägga vinkel inuti en rät t.ex., för att visa att den är spetsig. Sådant kommer jag be om, när en vinkel är väldigt nära en rät, så det är svårt att avgöra vinkelns sort. Jag frågar efteråt om det finns vinklar som är lika stora och även då får barnen bevisa sina hypoteser genom att t.ex. lägga vinklarna på varandra.

Bara den färgade delen (själva vinklarna) ska lamineras för att uppgiften ska gå att genomföra som planerat.

Färga vinklar

För att associera även det inre med ordet ”vinkel” (se bilden nedan), ska vi måla lite (barn älskar att måla!) och samtidigt träna lite kombinatorik.

Hur många vinklar ser du på bilden? Måla alla möjliga vinklar i olika färger (det finns 6 stycken mindre än 180 grader och barnen får 6 uppsättningar av bilden):

Rita egna vinklar

Barnen ritar några egna vinklar. Vissa får i uppgift att rita spetsiga, vissa trubbiga och vissa räta.
Nästa uppgift är att rita två linjer som skär varandra och räkna antalet spetsiga samt trubbiga vinklar på bilden.

Bygga ihop

Jag har med ett pusselspel, som egentligen är menat till att lära sig bråk. Det är cirkelsektorer i plast i olika färger som är lika stora som 1/3 av cirkeln eller 1/8 till exempel. Sektorer av samma storlek har samma färg, till exempel är alla tredjedelar gula, alla åttondedelar – gröna.

Plastbitarna presenterar jag som vinklar. Barnens uppgift är att bygga ihop en cirkel utan ”vinklar” som inte alla har samma färg. Till exempel, bildar en hel cirkel ().

Dessa ”tårtbitar” återvänder vi till när vi ska prata om bråk.

De äldre barnen (10 år) får göra samma uppgift, men de måste mäta vinklarna med gradskiva och lägga ihop siffrorna, för att komma fram till att summan är 360 grader om vinklarna tillsammans bildar en cirkel.

Andra experiment för de äldre är att rita trianglar, riva bort hörnen och mäta vinkelsumman. Alternativt lägga hörnen bredvid varandra och se att det blir en rät linje (alltså 180 grader). Samma uppgift med fyrhörningar och femhörningar.

Rita en stjärna

Jag visar för de äldre barnen hur man kan rita exakta vinklar med hjälp av en gradskiva. Sedan får de lära sig att rita en femuddig regelbunden stjärna med passare, linjal och gradskiva.

Detta är allt för den första lektionen om vinklar! Notera att jag också hade tänkt med att hinna med ett annat tema, nämligen tal upp till 100 (och med de äldre barnen, delbarhet upp till 100).

Problem vecka 9

Val — Tue, 01 Mar 2011 05:00:05 +0000

De här problemen ingår i mattebloggens tävling vårterminen 2011, men man kan inte skicka in lösningar på dem längre. Kolla istället tävlingens regler och den aktuella poängställningen. Lösningarna kan du titta på nedan.

Skicka in lösningsförslag genom att klicka på länken under uppgifterna senast måndagen den 14 mars. Glöm inte att kolla reglerna och aktuella poängställningen.

Rebusen (1 poäng). Försök att läsa av ordet genom att använda nyckeln:

Schackcirkeln (3 poäng). Det finns ett vanligt schackbräde med storleken 8×8. Hur stor radie har den största cirkeln man kan rita, som bara går igenom svarta rutor (det vill säga cirkelns rand finns aldrig i de vita rutornas inre)? Visa varför det inte går att hitta en större sådan cirkel.

Visa lösningar

Adventspyssel 22

Val — Wed, 22 Dec 2010 05:00:53 +0000

Ni kanske har hört talats om magiska kvadrater, men nu är det magiska cirklar som gäller.

Magiska cirklar

Fyll i talen 1 till 10 i de små cirklarna, så att summan av talen i varje stor cirkel blir samma.

Visa svaret

Lösningen till problemet för de äldre vecka 38

Val — Tue, 05 Oct 2010 18:02:42 +0000

Mattegåta

En cirkel är ritad på koordinatplanet och dess mittpunkt har koordinaterna (a,b). Man vet också att origo hamnade inuti cirkeln.

Om S⁺ är den totala arean av delarna i cirkeln, som består av punkter med samma tecken på koordinaterna och S^- är totala arean av delarna med punkter som har olika tecken på koordinaterna, vad är S⁺-S^- lika med?

Diskussion

När problem handlar om att jämföra areor, så är det ofta så att delar av de här areorna är lika, speciellt när delarna har konstiga former (jämför med problemet för de yngre vecka 35).

Börja med att rita den enklare varianten (då cirkelns mitt är i första kvadranten) och försök att ta bort så många lika stora delar från S⁺ och S^- som möjligt och jämför det som blir kvar.

Lösning (av Johan Björklund, något modifierad)

Proof by picture:

Jag tillför två hjälplinjer paralella med koordinataxlarna genom (2a,2b). De är spegelbilder av koordinataxlarna speglade genom linjer (igenom parallella med koordinataxlar) genom (a,b).

Det är lätt att se att flera av områdena har lika area (markerat med bokstäver). De kommer att ta ut varandra när vi beräknar S⁺-S^- (S⁺ är den gula plus den rosa arean, medan S^- är den gula plus den blå). Kvar blir den centrala rektangeln med area 4ab.

Tillägg (av Erik Svensson)

Detta var ifall mittpunkten låg i den första kvadranten. Om den istället ligger i den tredje kvadranten, då är fallet uppenbart det samma efter rotation med ett halvt varv, och ifall mittpunkten ligger i andra eller fjärde kvadranten, då speglar vi i y- respektive x-axeln och får samma fall fast med S+ och S- ombytt, så att den sökta arean byter tecken.

Vi finner emellertid att just 2a * 2b ändå uttrycker arean i samtliga dessa fall.

Matteproblem för de äldre vecka 38

Val — Tue, 21 Sep 2010 20:09:00 +0000

Hösterminen 2010 är tävlingen på bloggen uppdelad i två kategorier: matteproblem för de äldre (personer som har avslutat en gymnasieutbildning) och för de yngre (personer som går i grundskolan eller på gymnasiet). Givetvis får alla skicka in lösningar på problem från den andra kategorin, men de äldre får inte poäng för de yngres problem.

Skicka alltså in lösningsförslag till problemet nedan till valentina.chapovalova@gmail.com senast måndagen den 4 oktober. Missa inte chansen att få priser!

Mattegåta

En cirkel är ritad på koordinatplanet och dess mittpunkt har koordinaterna (a,b). Man vet också att origo hamnade inuti cirkeln.

Klassiska bevis: Randvinkelsatsen

Val — Fri, 11 Jun 2010 13:53:38 +0000

Många har hört talas om den beryktade randvinkelsatsen. Eventuellt har du träffat på den på gymnasiet. Men få har egentligen koll på hur man bevisar satsen.

Om du vill komma fram till beviset själv med hjälp av några ledande uppgifter, se Cirklar och randvinklar. Annars läs vidare här.

Sats (Randvinkelsatsen)

Markera tre olika punkter A, B och C på en cirkel. Markera även cirkelns mittpunkt O. Då är vinkeln AOC dubblet så stor som vinkeln ABC.

Bevis

Man ska vara väldigt försiktig och rigorös med geometriska bevis. Med det menas att alla möjligheter för bildens utseende ska undersökas, om man nu ska rita någon bild överhuvudtaget.

Så till exempel, kan det se ut så här:

Så hur ska man täcka alla möjligheterna på ett bra sätt? Det beror förstås på vad man tänker baser beviset på.

Oftast betraktas bilderna som väsentligen olika om olika skärningar mellan linjerna äger rum. I bevisen grundar vi ofta resonemang på hur olika objekt ligger i förhållande till varandra och inte så mycket på storlekarna på vinklar, cirkelbågarna etc.

Med detta sagt väljer vi således att betrakta tre fall (som täcker alla möjliga situationer):


Fall I	Fall II	Fall III

Fall I: Vinkel AOC ligger helt inuti vinkeln ABC.
Fall II: Detta är specialfallet då vinkeln AOC delar sida med vinkeln ABC.
Fall III: Två av vinklarnas sidor skär varandra.

Fall II

Detta fall verkar vara enklast, så vi börjar med det. OB=BC för att de är radier, så är likbent. Alltså gäller .

men också .
Då måste . Vilket skulle bevisas.

Fall I

Första fallet då? Vi ”fuskar lite” och drar en hjälplinje. Men nu får vi egentligen Fall II igen! Tillämpa det på varje halva av bilden och addera.

Fall III

Fall III måste väl vara svårare? Inte då! Vi ”fuskar” och drar en hjälplinje igen. Vi får återigen på grund av Fall II att och att . Subtrahera det andra resultatet från det första och vi är klara!

Lösning till problem vecka 18

Val — Tue, 18 May 2010 19:02:49 +0000

På bordet ligger en papperscirkel med radien 5 cm. Så länge det är möjligt, lägger Ilian till papperskvadrater med sidan 5 cm intill cirkeln så att följande villkor uppfylls:
1. Varje kvadrat har ett hörn som nuddar cirkeln.
2. Kvadraterna överlappar inte varandra.
3. Varje ny kvadrat nuddar den föregåendes hörn med ett hörn.

Bestäm hur många kvadrater Ilian kan lägga ut och visa, att den första och den sista kvadraten måste också nudda varandras hörn.

Jag fick in ett par fina lösningar, och jag kommer att använda mig av Erik T.’s bilder i lösningen (som ni kanske har märkt, ritar jag vanligtvis i paint, fastän jag borde ha lärt mig att TeX:a bilder för länge sen).

Lösning:

Säg att Ilian bestämmer sig för att lägga den andra kvadraten moturs från den första (det är symmetriskt ifall han lägger åt andra hållet). Det går bara att göra på ett sätt för att den nya kvadratens sida ska nudda både cirkeln och ett gammalt hörn (finns bara en punkt på cirkeln på avståndet 5 cm, som inte redan är upptagen).

Lägg på en till kvadrat, spelar inte så stor åt vilket håll, i vilket fall får vi tre kvadrater:

Eftersom cirkelns radie är lika med kvadraternas sidor, bildas figurer som kallas romber. En romb är en fyrkant med alla sidor lika. Man kan dela upp en romb i två trianglar och visa att trianglarna är kongruenta (sida-sida-sida). Då följer att rombens motstående vinklar är lika.

Den inringade vinkeln är 360°. Den består av en 90°-vinkel från kvadraten, samt två vinklar från var sin romb. Vinklarna från romberna är 180°-α respektive 180°-β stora. För att dessa tillsammans ska bilda en vinkel på 360°, måste α+β=90°.

Detta innebär att för varje två nya kvadrater bildas en ny 90°-vinkel runt cirkelns mittpunkt. Det finns tydligen plats för 8 kvadrater, eftersom hela vinkeln runt cirkelns mittpunkt är 360°.

α och β kommer dessutom alterneras (alla två romber bredvid varandra kommer att ge den sammanlagda vinkeln 90° runt cirkelns mittpunkt.

Således, om vi fortsätter att bygga på kvadrater kommer den nionde romben att sammanfalla med den första. Detta implicerar att den nionde kvadraten sammanfaller med den första. Alltså måste den åttonde och den första kvadraten nudda med hörnen (den åttonde och nionde gör det ju enligt konstruktionsreglerna). Så här ser det ut:

Matteproblem vecka 18

Val — Tue, 04 May 2010 08:54:16 +0000

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Bestäm hur många kvadrater Ilian kan lägga ut och visa, att den första och den sista kvadraten måste också nudda varandras hörn.