Transformationsmatrisen – del 5

Från Transformationsmatrisen – del 4 fick vi följande resultat:


För att bestämma transformationsmatrisen från bas A till bas B, uttryck basvektorerna i basen B och skriv in resultaten som kolonner i en matris.

Hur gör man då det essentiella steget, det vill säga hur uttrycker man vektorerna i A i basen B?

Jo, precis som på det sista sättet i Transformationsmatrisen – del 3.

Allmänt, ansätt:
A_1=x_{11}B_1+x_{12}B_2+x_{13}B_3+\dots+x_{1n}B_n
A_2=x_{21}B_1+x_{22}B_2+x_{23}B_3+\dots+x_{2n}B_n
A_3=x_{31}B_1+x_{32}B_2+x_{33}B_3+\dots+x_{3n}B_n
\vdots   \vdots
A_n=x_{n1}B_1+x_{n2}B_2+x_{n3}B_3+\dots+x_{nn}B_n

vilket är precis samma sak som A_1=\left(\begin{array}{c}x_{11} \\x_{12} \\x_{13} \\\vdots \\x_{1n}\end{array} \right)_B, \dots, A_n=\left(\begin{array}{c}x_{n1} \\x_{n2} \\x_{n3} \\\vdots \\x_{nn}\end{array} \right)_B

(Varför det är så? Se Transformationsmatrisen – del 2.)

Det är alltså de här talen x_{11}, x_{12}, x_{13} och så vidare som vi skall bestämma. De är ju precis talen i transformationsmatrisen från basen A till basen B.

Hur bestämmer man dessa tal?

Notera att varje ekvation i det stora ekvationssystemet är ett ekvationssystem i sig, om man skriver ut alla vektorernas koordinater:

A_1=\left(\begin{array}{c}a_{11} \\a_{12} \\a_{13} \\\vdots \\a_{1n}\end{array} \right) och B_1=\left(\begin{array}{c}b_{11} \\b_{12} \\b_{13} \\\vdots \\b_{1n}\end{array} \right), B_2=\left(\begin{array}{c}b_{21} \\b_{22} \\b_{23} \\\vdots \\b_{2n}\end{array} \right),\dots, B_n=\left(\begin{array}{c}b_{n1} \\b_{n2} \\b_{n3} \\\vdots \\b_{nn}\end{array} \right)

(Alla små a:n och b:n är för oss kända tal.)

Då blir den första ekvationen A_1=x_{11}B_1+x_{12}B_2+\dots+x_{1n}B_n ett ekvationssystem:
a_1=x_{11}b_{11}+x_{12}b_{12}+\dots+x_{1n}b_{1n}
a_1=x_{11}b_{21}+x_{12}b_{22}+\dots+x_{1n}b_{2n}
\vdots
a_1=x_{11}b_{n1}+x_{12}b_{n2}+\dots+x_{1n}b_{nn}

Och sådana där vet vi löses med Gauss-elimination.

\left(\begin{array}{cccccc}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} & | & a_{11} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} & | & a_{12} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} & | & a_{1n} \end{array} \right)

Det här löses som vanligt. Matrisen till vänster (allt utom det sista kolonnen) ska göras om till en identitetsmatris och när man gjort det blir den högraste kolonnen det man söker, det vill säga \left(\begin{array}{c}x_{11} \\x_{12} \\\vdots \\x_{1n}\end{array} \right).

Vad gör vi med den andra ekvationen, A_2=x_{21}B_1+x_{22}B_2+x_{23}B_3+\dots+x_{2n}B_n, vilket ekvationssystem blir det?
Jo, om A_1=\left(\begin{array}{c}a_{21} \\a_{22} \\\vdots \\a_{2n}\end{array} \right), så är det

\left(\begin{array}{cccccc}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} & | & a_{21} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} & | & a_{22} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} & | & a_{2n} \end{array} \right)

alltså med samma vänstra del till matris som förut. Det blir exakt samma Gauss-operationer som ska utföras, vilket betyder att jobb kan sparas.

\left(\begin{array}{ccccccc}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} & | & a_{11} & a_{21} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} & | & a_{12} & a_{22} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} & | & a_{1n} & a_{2n} \end{array} \right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccccc}1 & 0 & \dots & 0 & | & x_{11} & x_{21} \\0 & 1 & \dots & 0 & | & x_{12} & x_{22} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & \dots & 1 & | & x_{1n} & x_{2n} \end{array} \right)

Och på exakt samma sätt löser vi ut alla andra små x med hjälp av resten av ekvationerna:

\left(\begin{array}{ccccccccc}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} & | & a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} & | & a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} & | & a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccccccc}1 & 0 & \dots & 0 & | & x_{11} & x_{21} & \dots & x_{n1} \\0 & 1 & \dots & 0 & | & x_{12} & x_{22} & \dots & x_{n2} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & \dots & 1 & | & x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{nn} \end{array} \right)

Tada! Skrivet på ett annat sätt:

\left(\begin{array}{ccccccccc}B_1 & B_2 & \dots & B_n & | & A_1 & A_2 & \dots & A_n \end{array} \right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc}I & | & T \end{array} \right)

där B_i och A_i är kolonnvektor skrivna i standardbasen, I är identitsmatrisen och T är transformationsmatrisen, det vi sökte!

Lösning till problem vecka 20

På ett lager fanns likadana ostar. En natt kom sluga råttor dit och åt upp 10 av ostarna. Varje råtta åt lika mycket. Några råttor klarade dock inte av måltiden och fick ont i magen. Nästa natt kom de 7 råttorna som inte fick ont i magen och åt upp resten av osten. Dock fick varje råtta hälften så mycket som natten innan. Hur många ostar fanns det från början?

Alla lösningar jag har fått in går ut på att ställa upp ett ekvationssystem. Lösningen nedan är kopierad från Erik R.

Lösning:

Man kan definiera tre okända storheter: O för antalet ostar, R för antalet råttor och Ä för hur många ostar varje råtta åt under den första natten. Man får då förstås det enkla sambandet

R*Ä = 10 => Ä = 10/R

Man kan då räkna på O

O = 10 + 7*Ä/2

O = 10 + 35/R

Man tänker sig att O skall vara ett heltal, så om det inte finns några bråkdelsråttor som springer omkring måste R vara 1, 5, 7 eller 35. Det framgår dock att R>7, vilket ger R=35. Då blir förstås antalet ostar O=11.