Mattebloggen » ersättning http://mattebloggen.com Lite roligare matematik Fri, 11 May 2012 20:25:25 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.3.2 Lösning till gåta vecka 52 http://mattebloggen.com/2010/01/losning-till-gata-vecka-52/ http://mattebloggen.com/2010/01/losning-till-gata-vecka-52/#comments Sat, 09 Jan 2010 16:11:50 +0000 Val http://mattebloggen.com/?p=1287 Vilket är större: 400^5-399^2\cdot(400^3+2\cdot 400^2+3\cdot 400+4) eller 2000?

Lösning:

Detta kan vi egentligen räkna ut med vilja, våld och vaselin och sedan se vilket som är större. Men det är lättare att göra beräkningen bakvänd, nämligen införa variabeln x!

I några tävlingsproblem funkar ersättning med variabel jättebra, det förenklar problemet. Låt oss säga att 400=x (man kan också säga att x=400, men det är inte åt det hållet vi arbetar :) ) och då är 399=x-1 till exempel. Allt skrivs om till:

400^5-399^2\cdot(400^3+2\cdot 400^2+3\cdot 400+4)=

x^5-(x-1)^2\cdot(x^3+2\cdot x^2+3\cdot x+4)

och

2000=5x

Vi räknar lite på det första polynomet och kollar hur det kan förenklas:

x^5-(x-1)^2\cdot(x^3+2x^2+3x+4)=

x^5-(x^2-2x+1)\cdot(x^3+2x^2+3x+4)=

x^5-(x^5+2x^4+3x^3+4x^2-2x^4-4x^3-6x^2-8x+x^3+2x^2+3x+4)=

x^5-(x^5-8x+3x+4)=

x^5-x^5+8x-3x-4=

5x-4

Men 5x-4 är alltid mindre än 5x, oavsett vad x är för någonting! Genom att göra uttrycket mer allmänt gjorde vi jämförelsen lättare.

Således är 2000 större än 400^5-399^2\cdot(400^3+2\cdot 400^2+3\cdot 400+4).

]]> http://mattebloggen.com/2010/01/losning-till-gata-vecka-52/feed/ 0