Svar:

Ja, det går faktiskt alltid att göra.

Diskussion:

Om 25 bitar är lite svårt att föreställa sig, är det klokt att först tänka på ett mindre antal bitar. Det är en väldigt vanlig lösningsmetod för sådana här svåra problem.

Hur skulle vi göra med en bit? Det är väl ganska enkelt – vi skär den i två lika stora bitar såklart! Det går inte på något annat sätt om de olika bitarna måste väga lika mycket.

Två bitar funkar inte för uppgiften. Det går ju inte att skära en bit itu, och sedan lägga de tre bitarna i två kassar så att det är lika många bitar i varje kasse.

Hur skulle vi kunna göra med tre bitar då? Vi måste fundera på vilken som ska delas upp i två. De som är viktigt nu förstås är hur mycket bitarna väger och hur vikterna förhåller sig till varandra. Kanske ska vi dela upp den lättaste i två delar? Eller den tyngsta? Eller den mellesta? Eller olika beroende på situation? Vad tror ni?

Vi tänker oss några hypotetiska situationer, kanske med bitar som väger 1g, 100g och 100000000g. Då ser vi att i alla fall här så kan inte den minsta biten vara den som delas och inte heller den mellersta. De är helt enkelt för små för att kunna kompensera skillnaden mellan de andra två bitarna. Den största går däremot bra att dela – ska man vara exakt så måste vi dela den i bitar som väger 50000049,5g och 49999950,5g, men de exakta talen är inte det viktiga. Poängen är att de går eftersom den största biten är större än skillnaden mellan de andra två, så den funkar att dela itu för att kompensera.

Vi provar samma idé med 25 bitar.

Lösning:

Ordna bitar efter vikt, från lägst till högst. Börja nu lägga bitarna på en balansvåg: varannan på ena skålen och varannan på andra skålen. En observation vi nu kan göra är att skålen med den nyaste biten är alltid tyngst (eller väger lika mycket som andra skålen). Den andra observationen vi kan göra är att skillnaden skålarna emellan är inte större än vad den nyaste biten väger.

Vi kan bevisa de här påståenden med hjälp av matematisk induktion.

Lägg på den första biten på vänstra skålen. Förstås är den skålen nu tyngst. Men skillnaden skålarna emellan är inte större (just nu faktiskt exakt lika stor) än den här första biten.

Och nu induktionssteget. Låt observationerna gälla när vi lagt på n bitar. Säg att den sista biten vi lade på hamnade på skålen A.

Vi lägger nu den n+1:a biten på skålen B. Varför är det skålen B som är tyngst nu (eller lika tung som skålen A)? Jo, för att förut var skålen A tyngst (enligt induktionsantagandet) och skillnaden i vikt var som mest vad n:te biten väger. Men n+1:a biten väger mer (eller lika mycket)! Så skålen B måste väga tyngst nu.

Men hur mycket tyngre? Ja, inte mer än vad n+1:a biten väger i alla fall, eftersom det nyss var skålen A som var tyngst. Så har vi bevisat att observationerna gäller även när vi lagt på n+1 bitar.

Därför kan vi dra slutsatsen att ni vi lagt på 24 lättaste bitar (varannan på första skålen, varannan på andra), så kommer andra skålen vara tyngst (eller väga lika mycket som den första), samt att skillnaden i vikt är inte större än 24:e biten. Så den 25:e biten (som är minst lika stor som den 24:e) kan nu delas upp i två delar för att kompensera denna skillnad.

Rent praktiskt så mäter vi upp denna skillnad på den 25:e biten och skär upp det som är kvar i två lika stora delar. På så sätt får vi två bitar som har just den skillnaden i vikt som vi vill ha. Lägg den största på den lätta skålen, den minsta på den tunga. Det enda som återstår är att lägga bitarna från skålarna i två kassar :)

Visa att en kvadrat kan delas upp i n stycken mindre kvadrater för alla n>5. 

Med ”att dela upp” menas att vi klipper en kvadrat så att alla erhållna delar också är kvadrater och det blir inga bitar över. Vi ska hitta på en sådan klippning för alla möjliga antal bitar, från och med 6.

Det känns lite omöljigt, hur ska vi kunna ge en lösning för alla tal som är större än eller lika med 6? Det tar ju oändligt lång tid att presentera! Men, uppgiften säger ”visa att”, det vill säga ”visa att det går” och det frågas inte hur, vilket är två olika saker. Det är skillnad på ”visa att ekvationen har en lösning” och ”bestäm en lösning för ekvationen”. På samma sätt som det är skillnad på ”visa att dinosaurierna levde på Jorden under hundra miljoner år” och ”hitta hundra miljoner årtal under vilka dinosaurierna levde”. Det kan vara subtil olikhet mellan de paren av påståenden, men det är bara så att det senare svaret skulle ge oss det tidigare men inte tvärtom. Man kanske vet att dinosaurierna levde under en viss period, men är osäker på under vilka årtal de säkerligen levde. Men ger någon oss årtal så är det klart att dinosaurierna levde i minst hundra miljoner år.

Men åter till problemet, hur ska man börja lösa det? Tvärtemot vad jag precis skrev om, ska man försöka konstruera lösningarna explicit för olika tal. Vilka n lyckas vi med? Det är en viktig metod i problemlösning, som säger att vi ska starta med små fall, trots att vi har godtyckligt stora framför oss. Små fall kommer ge oss en känsla för hur problemet funkar.

Ok, i hur många kvadrater kan du dela upp en stor kvadrat? Jag kan i 4! Visst, det ingick inte i problemet att lösa det för 4, men jag kan ändå:

Det går upprepa samma idé och få 9, 16, (och så vidare) kvadrater:  

Detta ger oss inte så mycket, bara alla kvadrattal, men vi har oändligt många kvar. Vad händer om vi änvänder ”samma konstruktion” som i fallet 4, fast på ett annat sätt? Jag menar så här:

Och vi kan givetvis fortsätta på samma sätt, splittrande en av kvadraterna i fyra små. Vi kan få 7 kvadrater som på bilden ovan och sedan också 10, 13 osv:

Det spelar ingen roll för oss vilken av de befintliga kvaraterna vi delar in i fyra nya. Det viktigaste är att antalet ökar med 3 hela tiden.

Vi har alltså fått svaret för 7, 10, 13, 16, 19, … Oändligt många svar, med det är ändå foftarande oändligt många kvar! Men ni kanske kan gissa att talen 6, 9, 12, 15, …. och talen 8, 11, 14, 17, …. kan fixas på samma sätt så fort vi hittar på någon lösning för 6 respektive 8 kvadrater. Notera då att alla tal större än 6 kommer vara fixade då.

Okej, försök att klura ut 6 eller 8 kvadrater själv innan du tittar nedan. Ett tips är att ha en motsatt taktik: i stället för att lägga till kvadrater till en befintlig konstruktion, försök att ta bort lite kvadrater.

För att få 6 kvarater tar jag bort lite från min konstruktion på 9 kvadrater:

På liknande sätt gör vi 8 kvadrater från 16:

Då är vi klara! Vi kan få alla konstruktioner från konstruktionerna med 6, 7 och 8 kvadrater genom att dela upp en kvadrat i fyra och därmed lägga till 3 till antalet.

Vad har då detta med induktion att göra?

Denna lösning, som går ut på metoden ”stegvis konstruering”, kan även anpassas till induktionsmodellen. I det här problemet består inte induktionssteget av ett enda ”steg”, från talet n till talet n+1, utan av tre fall som i och för sig löses på samma sätt (fallen är olika kongruensklasser modulo 3). Basen bestär också av olika fall. 

Uppgiften är löst, vi förstår hur lösningen funkar, det är nu vi kan baka in den i induktionsmodellen:

Bas:

n=6, n=7 och n=8:

Induktionssteg:

Induktionsantagandet är att det går att dela upp en stor kvadrat i n stycken mindre. Vi visar att det då går att dela upp i n+3 stycken mindre. Beviset är: skär en av gamla kvadraterna i fyra nya.

Slutsats:

Enligt inuktionsaxiomen och alla basfall modulo 3 visade kan vi dra slutsatsen att påståendet gäller för alla n>5.

Detta kanske inte var det bästa exemplet på att induktion kan vara bra. Lösningen ser mycket naturligare ut i den mindre formella beskrivningen. Men å andra sidan blir den mycket kortare och mer elegant formulerat i induktionstermer.

• P(1) är sant.
• .

Då är påståendet P(n) sant för varje val av det positiva heltalet n.

Lätt som en plätt, eller?

Alla tycker induktion är svårt

Alla som någonsin har varit lärare i grundläggande matematikkurser på universitet har stött på svårigheter inom ett specifikt avsnitt: induktion. Det har skrivits många kompendieinlägg och artiklar i ämnet, det går att hitta massvis med förklaringar och exempel, men ändå har så många så svårt för det. Varje år är det kanske 30 elever man har och 29 av dem har svårigheter med induktion.

Nyligen fick jag ett mail som bad om hjälp med en induktionsuppgift. Problemet för personen var att det inte var en standarduppgift (som handlar om summor, vänsterled=högerled, etc.), och fattar man inte induktionsprincipen då, så är man fast.

Vad induktion inte är

För att börja kasta lite ljus över ämnet, kan jag berätta om vad induktion inte är.

1. Det är inte en metod. Det påminner om en metod väldigt mycket, ”stoppa in basvärden här”, ”skriv induktionsantagandet där”, ”härled induktionssteget mha induktionsantagandet”. Jag tror det är det som förklaringen av induktionsprincipen faller på. Den förklaras  mycket formellt, precis som en metod, och därför också uppfattas som sådan. Finns alltså inget sätt att lösa allmännt induktionsproblem!

2. Det är absolut inte en formel. Om man bara har sett summationsuppgifter, säg ”Visa att summan av de första n positiva heltalen är n(n+1)/2″ och liknande, tror man kanske att induktionspincipen är en slags formel. Man stoppar in lite summor här och var och blir det likhet, så är man klar. Så är det på sätt och vis med summationsuppgifter, dock faller inte alla de ut lika lätt som exemplet jag tog upp.

3. Det är inte en sats, en teori, en bok, en tupp osv.

Var är det då? Induktionen är en princip, ett axiom och så önskas. Det betyder att det är någonting som vi människor (matematiskt lagda) tycker borde gälla. Det är någonting som följer logikens lagar. Till exempel ”äpplet faller inte långt från trädet” är ett av naturens lagar och det är lite konstigt att titta på det som en metod för beräkning av äpplenas banor. Ett mer matematiskt exempel är ”Om det finns en linje i planet och en punkt utanför linjen, så kan man bara rita en linje genom punkten som är parallell med den första, ändrar man något så kommer första linjen korsas”. Det är ju ganska naturligt att det är så, men det är fortfarande varken metod eller formel.

Hur jag lärde mig induktion

Det skedde relativt tidigt, då jag ännu inte fattade mig på summationstecknet, vilket nog hjälpte för att förstår principen bra (kanske det som är lösningen, lära ut summa efter att man lär ut induktion på grundläggande algebra-kursen?). Jag fick några problem på fritiden, så jag försökte klura ut hur man löste dem. Men det är väldigt svårt att komma på principen själv, så jag lyckades inte först. Sen när man förstår principen så säger det ”klick” och sådana problem löses på bara några minuter.

Och hur förstår man principen då? Jo, genom exempel! Exempel från matten eller vardagen spelar ingen roll. Vitsen är att när någon berättar att man visar någonting att börja med (bas) och sedan visar att ”varje leder till nästa” (induktionssteg), så är det klart att det följer för alla. ”Självklart måste det vara så!”, säger man då, och då har man förstått. Nästa svåra steget är att översätta lösningar till matematikspråket. Just ”översätta”, eftersom mitt största råd är att lösa varje uppgift med ord först, så gott det går, och bara sedan försöka formalisera. Till att börja med: glöm bort vad induktion är och försök lösa de här, så återkommer jag med utförliga exempellösningar.