Mattebloggen » kantprincipen http://mattebloggen.com Lite roligare matematik Wed, 08 Feb 2012 19:41:22 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.3.1 Lösning till gåta vecka 49 http://mattebloggen.com/2009/12/losning-till-gata-vecka-49/ http://mattebloggen.com/2009/12/losning-till-gata-vecka-49/#comments Tue, 15 Dec 2009 15:12:19 +0000 Val http://mattebloggen.com/?p=1252 Man kan ta ett schackbräde och göra en ”labyrint” av det genom att sätta upp små väggar på några av de ställen där en svart ruta gränsar till en vit.

Kalla en labyrint snäll ifall en liten råtta kan komma till vilken ruta som helst på schackbrädet oavsett vilken ruta man sätter den på. Och en labyrint kallas elak ifall råttan inte alltid kan nå alla rutor.

Vilka finns det flest av: snälla eller elaka labyrinter?

Lösning:

Den här smarta lösningen har Johan hittat på.

Antag att vi slumpmässigt sätter upp väggar med sannolikhet 1/2 på varje
väggplats. Jag studerar ett hörn. Det är ”ensamt” om båda väggarna finns
med. Sannolikheten att ett givet hörn inte är ensamt är alltså 3/4.
Sannolikheten att inget hörn är ensammt är (3/4)^4<1/2. Så över hälften av
labyrinterna har ett ensamt hörn, om råttan startar där kan den inte
flytta sig alls, dvs över hälften är ickesnälla.

Antag att vi slumpmässigt sätter upp väggar med sannolikhet 1/2 på varje väggplats. Jag studerar ett hörn. Det är ”ensamt” om båda väggarna närmast hörnet finns med. Sannolikheten att ett givet hörn inte är ensamt är alltså 3/4.

Sannolikheten för att inget hörn är ensamt är (3/4)^4 = 81/256 < 1/2. Så över hälften av labyrinterna har ett ensamt hörn, och om råttan startar där kan den inte flytta sig alls. Det vill säga över hälften av labyrinterna är ickesnälla.

]]> http://mattebloggen.com/2009/12/losning-till-gata-vecka-49/feed/ 0