Mattebloggen » kombinatorik

Lösning till problem vecka 19

Val — Wed, 26 May 2010 14:23:24 +0000

En fotboll är hopsydd av 32 lappar: vita sexkanter och svarta femkanter. Varje svart lapp gränsar till bara vita, varje vit lapp gränsar till tre vita och tre svarta lappar. Hur många vita lappar finns det i en fotboll?

Man kan anta att Eulerkarakteristiken på fotbollen är 2 och arbeta utifrån det, om man nu vet vad Eulerkarakteristik är för något. Med nedan använder jag mig av Thomas lösning.

Lösning:

Det finns S svarta lappar och V vita lappar. Totalt finns det 32 st, så S + V = 32.

För varje svart lapp finns 5 vita lappar runt den, men varje vit lapp ligger intill 3 svarta, så 5S räknar varje vit lapp 3 gånger och vi får 5S / 3 = V

Och S + 5S/3 = 32, det vill säga 3S + 5S = 96 och då är S = 12, V = 20. Alltså finns 20 vita lappar.

Lösning till gåta vecka 50

Val — Tue, 22 Dec 2009 19:12:55 +0000

Aladdin vill sätta Jafar i ett fängelse som består av 4 rum och 3 smala gångar mellan rummen. I varje gång står en tjock och trött vakt lutandes mot en av väggarna. Varje gång Jafar går över från ett rum till ett annat, går vakten i den gången över till den motsatta väggen och börjar luta sig mot den istället. Om alla vakterna lutar mot samma vägg, kommer den inte att hålla emot utan går sönder, och då kan Jafar fly. Kan Aladdin placera ut vakterna och Jafar från början på så sätt att Jafar aldrig kan fly?

Lösning:

Jadå, det kan han göra. Placera Jafar i rummet längst ner och vakterna varannan på höger och varannan på vänster sida. Det vill säga vakterna uppifrån och ner står: vänster, höger, vänster. Vi skall visa att i denna situationen är det omöjligt att fly.

Om Jafar står still i rum 4, händer förstås ingenting – vakterna står ju inte på en och samma sida. Om han går upp till rum 3 byter nedersta vakten sida: de står nu vänster, höger, höger. Om Jafar går ner igen, är situationen precis som i början och det fallet kommer vi ha undersökt.

Men om Jafar går upp till rum 2 så byter den mittersta vakten sida, de står nu vänster, vänster, höger. Går han ner igen kommer det bli samma läge som det har varit förr, så det fallet undersöker vi inte.

Går han upp til rum 1, så kommer den översta vakten byta sida och nu kommer det stå höger, vänster, höger. Nu kan Jafar i nästa steg bara gå neråt och komma till en situation som han har varit förut. Samma sak gäller de alla nästkommande stegen, nämligen att läget med Jafar och vakterna är densamma som redan har varit innan.

Vakterna lutar aldrig på en och samma vägg samtidigt, så Jafar kommer aldrig kunna fly, stackare.

Lösning till gåta vecka 48

Val — Tue, 15 Dec 2009 14:54:11 +0000

Benny skrev upp namnet på sin hemstad och alla cykliska ”förskjutningar” av det och fick tabell 1. Sedan ordnade han om namnen och skrev de i bokstavsordning i tabell 2 i stället.

Därefter läste han av ”ordet” i sista kolonnen: SLAUPPA.

Josefin gjorde samma sak med sin hemstad och fick ”ordet” TNUUENRTL. Vilken stad kommer Josefin ifrån om man vet att den börjar med bokstaven L?

Lösning:

I både tabell 1 och tabell 2 kommer varje bokstav i stadens namn komma på sista plats exakt en gång (eftersom ”orden” är alla förskjutningar av stadsnamnet).

Eftersom vi vet att ”orden” i tabell 2 kommer i bokstavsordning, så kan vi rekonstruera första kolonnen i den tabellen:

BILD 1

Notera nu att i tabellen står ”förskjutningar” av stadsnamnet. Då kan vi läsa av den delen av tabellen som vi fick fram att exempelvis att bokstaven R kommer precis efter bokstaven E, att ena bokstaven T kommer precis efter en bokstav N och den andra bokstaven T kommer precis efter en bokstav R och så vidare (föreställ er nu att ordet loopar, det vill säga vi kan säga att första bokstaven kommer precis efter det sista).

Med denna information kan vi rekonstruera andra kolonnen i tabell 2. Där vi garanterat vet efterföljaren (efter U kommer N, efter E kommer R, efter R kommer T, efter L kommer U) skriver vi in den direkt i den andra kolonnen. Där det finns tvetydighet (efter T kommer E eller U, efter N kommer L eller T) avgör vi hur de ska skrivas in med hjälp av bokstavsordningen. Till exemepel, E kommer före U i alfabetet, så det nya E:et ska skrivas in på 6:e raden och den nya U:et ska skrivas in på 7:e.

BILD 2

Vi fortsätter med samma princip att fylla på kolonnerna en i taget. Vi har en tydlig instruktion för hur tabellen ska fyllas i, eftersom vi vet efterföljarna för varje bokstav samt att ”orden” i tabell 2 står i bokstavsordning.

Till slut kommer vi kunna fylla hella tabellen och läsa av ordet i andra raden (eftersom staden började på L). Det kommer vara staden LUNTERTUN. Luntertun ligger i Ängelholms kommun i Skåne.

I både tabell 1 och tabell 2 kommer varje bokstav i stadens namn komma på sista plats exakt en gång (eftersom ”orden” är alla förskjutningar av stadsnamnet).

Eftersom vi vet att ”orden” i tabell 2 kommer i bokstavsordning, så kan vi rekonstruera första kolonnen i den tabellen:

Till slut kommer vi kunna fylla hella tabellen och läsa av ordet i andra raden (eftersom staden började på L). Det kommer vara staden LUNTERTUN. Luntertun ligger i Ängelholms kommun i Skåne.

Lösning till gåta vecka 47

Val — Tue, 01 Dec 2009 19:37:36 +0000

En sifferkod, som består av 7 olika siffror kallas för godkänd sifferkod. Man vet att ett kassaskåp har en viss okänd godkänd sifferkod.

Om man slår in någon godkänd kod och åtminstone en rätt siffra kommer på rätt plats, så öppnas kassaskåpet.

Kan man öppna kassaskåpet på färre än 7 försök?

Lösning:

Jupp, det kan man! Slå in följande sex koder en efter en (de är alla godkända koder):

1234567
2345617
3456127
4561237
5612347
6123457

Om nu kassaskåpet INTE skulle öppnas, så är det säkert att ingen av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6 förekommer på de första sex platserna.

Men det betyder att endast siffrorna 7, 8, 9, 0 förekommer på de första sex platserna. Men det är omöjligt (enligt lådprincipen), eftersom alla siffror i koden skulle ju vara olika.

Motsägelse! Alltså måste kassaskåpet öppnas för någon ut av de 6 koderna.

Mattegåta vecka 48

Val — Tue, 24 Nov 2009 19:36:45 +0000

Benny skrev upp namnet på sin hemstad och alla cykliska ”förskjutningar” av det och fick tabell 1. Sedan ordnade han om namnen och skrev de i bokstavsordning i tabell 2 i stället.

Därefter läste han av ”ordet” i sista kolonnen: SLAUPPA.

Josefin gjorde samma sak med sin hemstad och fick ”ordet” TNUUENRTL. Vilken stad kommer Josefin ifrån om man vet att den börjar med bokstaven L?

Mattebloggen har en inoficiell tävling i att lösa mattegåtor. Skicka in din lösning till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans gåta, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Mattegåta vecka 38

Lösning till gåta vecka 41

Val — Tue, 20 Oct 2009 20:14:59 +0000

Det finns ett rutigt papper. På det finns rektanglar som har sin gräns gående längs med rutorna. Varje rektangel består av ett udda antal rutor och inga två rektanglar har gemensamma inre rutor. Visa att det går att måla rektanglarna i fyra färger på så sätt att två rektanglar med samma färg aldrig har gemensam gränspunkt.

Lösning:

Dela upp pappret i 2×2-kvadrater och låt varje kvadrat färgas så här:

Då kommer varje rektangel ha hörnrutorna färgade likadant, eftersom båda sidorna består av ett udda antal rutor. Måla då om varje rektangel till just den färgen som hörnrutorna har.

Nu kommer inga två grannrektanglar ha samma färg. Hade de haft det, så skulle deras hörnrutor från början vara färgade i samma färg. Men om två rektanglar ligger bredvid varandra, så ligger två av enas hörnrutor och två av andras hörnrutor i två kolonner eller rader bredvid varandra.

Men om mönstret var så här från början, så är det ju omöjligt.

Lösning till gåta vecka 37

Val — Tue, 22 Sep 2009 13:42:02 +0000

Vargen bjöd hem de tre små grisarna och Rödluvan för att titta på film. Efter att de var klara gick Vargen till köket, räknade alla kex och upptäckte att det saknades två. Men han har en stor balansvåg hemma som han kan använda. Hur kan med hjälp av två vägningar bestämma, vem som åt upp kexen? Alla kex väger lika mycket, alla grisar (i alla fall när de precis hade kommit till Vargen) också. Vargen vet även att Rödluvan bantar, så hon kunde max äta upp ett kex.

Diskussion:

Låt oss se rent teoretiskt, ifall lösningen är möjligt. Vi har två vägningar på oss, och varje vägning kan ge tre resultat: lika, första skålen väger mer eller andra skålen väger mer.

På så sätt har vi 9 teoretiska utfall efter 2 vägningar, man kan skriva upp dem som en lista, där vägningsresultaten står i ordning:

1. lika, lika

2. lika, första väger mer

3. lika, andra väger mer

4. första väger mer, lika

5. första väger mer, första väger mer

6. första väger mer, andra väger mer

7. andra väger mer, lika

8. andra väger mer, första väger mer

9. andra väger mer, andra väger mer

Å andra sidan har Vargen också 9 olika brottskombinationer:

1. gris 1 åt ett kex, gris 2 åt ett kex

2. gris 1 åt ett kex, gris 3 åt ett kex

3. gris 2 åt ett kex, gris 3 åt ett kex

4. gris 1 åt två kex

5. gris 2 åt två kex

6. gris 3 åt två kex

7. gris 1 åt ett kex, Rödluvan åt ett kex

8. gris 2 åt ett kex, Rödluvan åt ett kex

9. gris 3 åt ett kex, Rödluvan åt ett kex

På så sätt är det teoretiskt möjligt för Vargen att lista ut svaret, om han nu lyckas hitta på sådana vägningar, så att varje resultat motsvarar entydigt en brottskombination. Men vilka grisar ska han väga, ska han väga Rödluvan och i vilken ordning?

Låt oss se rent teoretiskt, ifall lösningen är möjlig. Vi har två vägningar på oss, och varje vägning kan ge tre resultat: lika, första skålen väger mer eller andra skålen väger mer.

På så sätt har vi 9 teoretiska utfall efter 2 vägningar, man kan skriva upp dem som en lista, där vägningsresultaten står i ordning:

1. första väger mer, första väger mer

2. första väger mer, lika

3. första väger mer, andra väger mer

4. lika, första väger mer

5. lika, lika

6. lika, andra väger mer

7. andra väger mer, första väger mer

8. andra väger mer, lika

9. andra väger mer, andra väger mer

Å andra sidan har Vargen också 9 olika brottskombinationer:

1. gris 1 åt ett kex, gris 2 åt ett kex

2. gris 1 åt ett kex, gris 3 åt ett kex

3. gris 2 åt ett kex, gris 3 åt ett kex

4. gris 1 åt två kex

5. gris 2 åt två kex

6. gris 3 åt två kex

7. gris 1 åt ett kex, Rödluvan åt ett kex

8. gris 2 åt ett kex, Rödluvan åt ett kex

9. gris 3 åt ett kex, Rödluvan åt ett kex

Alla brottskombinationer kan hända. Därför är det teoretiskt möjligt för Vargen att lista ut svaret, om han nu lyckas hitta på sådana vägningar, så att varje resultat motsvarar entydigt en brottskombination. Men vilka grisar ska han väga, ska han väga Rödluvan och i vilken ordning? Notera att det kanske inte går i alla fall.

Lösning:

Men det går! Tricket är att använda kexen som Vargen har kvar. Min kompis Erik föreslår följande algoritm:

Vargen börjar förstås med att hiva upp två grisar på vågen, vi kan kalla dem gris 1 och gris 2. Om gris 1 och gris 2 inte väger lika mycket har den tyngre ätit ett eller två kex.

Låt oss antaga att gris 1 är den tyngre grisen. Då lägger han gris 1 i ena vågskålen och gris 3 plus ett kex i andra vågskålen. Om gris 1 är tyngre ändå, har han ätit båda kexen. Om gris 3 + kex väger lika mycket som gris 1 så har gris 1 ätit 1 kex, gris 3 ätit 0 kex och således har Rödluvan också inmundigat 1 kex. Om gris 3 + kex väger mer än gris 1, så har gris 1 och gris 3 ätit ett kex vardera.

Om gris 1 och gris 2 väger lika mycket tar man en av dem (säg gris 1) och väger denna tillsammans med ett kex mot den överblivna (gris 3). Om gris 1 + kex då väger mer än gris 3, har gris 1 och gris 2 ätit varsitt kex. Om gris 3 väger lika mycket som gris 1 + kex, så har gris 3 och Rödluvan ätit varsitt kex. Om gris 3 väger mer än gris 1 + kex så har gris 3 ätit båda kexen.

Denna lösning kan sammanfattas i följande diagram:

Lösning till gåta vecka 36

Lösning till gåta vecka 23

Val — Thu, 18 Jun 2009 17:12:27 +0000

Tag en vanlig kortlek med 52 kort. Säg att kortleken ligger snyggt, ifall varje par av kort där ena ligger på den andra antingen har samma färg eller samma valör, samma sak gäller för det översta och nedersta kort samt att spader esset ligger överst. Visa att antalet sätt att lägga kortleken snyggt är

(a) delbart med 12! (12 fakultet, det vill säga 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)

(b) delbart med 13! (13 fakultet)

Lösning:

(a) Det gäller alltså att hitta något villkor (som kan variera), som när det är uppfyllt ger upphov till exakt 12! olika fall. Det där låter lite luddigt om man inte har funderat på det, men här kommer det mer konkreta förklaringen.

Spader ess är fixt, det kan vi inte flytta på. Säg att vi har något snyggt sätt som kortleken är lagd på. Notera då att vi kan byta plats på alla treor och alla fyror i respektive färg (så hjärter tre och hjärter fyra byter plats osv.)

Men vi kan även byta plats på alla tvåor och kungar samtidigt. Vi kan egentligen byta plats på vilka valörer som helst så länge alla kort av den valören byts mot ett annat fixt valör och så länge essen inte flyttas (de får inte flyttas för spaderesset).

Eftersom man får byta plats på 12 valörer (man kan även byta fler än 2 valörer samtidigt, t.ex. tvåor byts mot treor, treor mot fyror och fyror mot tvåor), så finns 12! sådana byten. Därför är antalet snygga uppläggningar delbart med 12 fakultet.

”Villkoret” här var egentligen att vi fixerade vilken färg varje plats hade samt vilka platser som hade likadana valörer och alla essens platser var också bestämda. Det finns 12! sätt att nu placera ut de bestämda valörerna.

(b) Uppgiften kan ses på ett annat sätt. I fall det finns en 4×13-tabell, där raderna betecknar färger och kolonnerna betecknar valörer, så är antalet snygga sätt lika med antalet sätt som ett torn kan inuti tabellen så att den startar från säg vänstra övre hörnet, kommer till varje ruta en gång och sedan kommer tillbaka till sin egen plats. Kom ihåg att ett schacktorn kan gå lodrätt eller vågrätt godtyckligt många rutor.

Eftersom delen (a) är visat, räcker att bevisa att antalet sätt är delbart med 13. Klistra ihop tabellen längs de korta ändarna så att det bildas ett band med fyra rader. Om vi fixerar en rutt som börjar från spader ess så kan vi rotera bandet 12 steg så att det för varje steg bildas en ny rutt (som inte längre börjar med spader ess).

Vi visar att varje sådan falsk rutt kan göras om till en riktig och den kommer inte vara lika med den ursprungliga.

Varje falsk rutt går ändå igenom spader esset vid något tillfälle, och eftersom den kommer tillbaka till samma ruta som den startade ifrån så kan den lika gärna betraktas som en rutt som börjar i spader ess (som nu är tillåten).

Men varför är det inte lika med det ursprungliga? Då skulle rutten vid en viss rotation avbildas till sig sjäv. Betrakta då vilket som helst vågrätt drag (ett sådant måste finnas). Om vi gör rotationen 13 gånger så ser vi att alla rutor på den raden är startpunkter för vågräta drag (eftersom 13 är ett primtal). Men det kan inte vara möjligt, eftersom vi då inte kommer från den raden.

På så sätt delas rutter upp i grupper om 13 och alltså är antalet rutter delbart med 13!

Lösning till gåta vecka 22

Val — Tue, 09 Jun 2009 12:21:48 +0000

Vi människor läser vanligtvis från vänster till höger och uppifrån och ner. Ödlor är inte lika snabba på att läsa, men de kan göra det på fler olika sätt. Ödlan kan läsa en bokstav och sedan förflytta sig ett steg ner, upp, till höger eller till vänster för att fortsätta läsa.

På hur många sätt kan en ödla läsa ordet FJÄRIL här nedan?

Diskussion:

Man kan förstås bara sätta igång och försöka räkna alla sätten. Det är en helt okej metod för att ta resa på svaret, men det finns ingen garanti på att man räknar rätt och inte glömmer någonting. Egentligen går uppgiften ut på att skapa just den garantin, att alla fall är medräknade. Det kallas att man gör systematisk undersökning.

Men det är krånglig att göra en direkt systematisk uppräkning. Det finns 11 stycken F att börja läsa på, redan där 11 fall som vi måste hålla koll på. Vid flera av F:en har vi två vägval, vi måste nämligen välja något J. Och så vidare … och det går förstås att komma fram till rätt svar men det blir mycket krångel.

Det underlättar att notera att bilden är symmetrisk. För varje F utom det längst upp finns ett motsvarande på andra sidan pyramiden. Det finns exakt lika många sätt att läsa FJÄRIL från de speglade F:n. Därför räcker det att räkna ut antalet sätt från de första 5 F:en och sedan multiplicera det med två och sedan addera ett sätt till (från det mittersta F:et går det att bara läsa neråt). Efter det kan man notera mer symmetri som underlättar beräkningar. Det slutar med att man bara måste räkna antalet sätt från de första tre F:en. Det blir totalt 1+5+10+10+5+1+5+10+10+5+1=63 sätt.

Vi kontrollerar detta på ett annat sätt.

Lösning:

Notera att antalet sätt att läsa ordet FJÄRIL är samma som antalet sätt att läsa ordet LIRÄJF (vi låter ödlan läsa baklänges). Och annorlunda formulerat, det är lika med antalet sätt att komma från bokstaven L till kanten av pyramiden, gående till nästa bokstav i ordet LIRÄJF varje gång.

Vi löser ett lite större problem. Nämligen, för varje ruta, sätt ut ett tal som berättar om hur många sätt det finns att ta sig till den rutan om man börjar i L. I början får vi följande bild, ty det finns bara ett sätt att komma till varje I från L:et:

Om vi nu ska forsätta vandra till R:en, så kan vi hamna i vissa R från två olika I. Därför ska antalet sätt adderas där och vi får totala antalet sätt att läsa LIR och sluta i ett specifikt R. Just här är det kanske inte så svårt att räkna dem sätten från början, men metoden blir mer användbar senare:

Forsätt att fylla ut tabellen på det sättet. Varje nytt tal blir summan av talen som kommer ”precis innan”, till exempel på höger sida blir det summan av talet under och talet till vänster (om nu båda finns). Till slut fås tabellen:

Återigen, antalet sätt totalt att läsa ordet LIRÄJF är 1+5+10+10+5+1+5+10+10+5+1=63.

För dig som har orkat läsa så här långt kommer en extrafråga. Vad kommer svaret att vara om vi har ett längre ord istället för FJÄRIL? Låt säga att vi har en pyramid av samma sort, men ett ord som har n olika bokstäver.

Mattegåta vecka 23

Val — Tue, 02 Jun 2009 21:55:18 +0000

(a) delbart med 12! (12 fakultet, det vill säga 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)

(b) delbart med 13! (13 fakultet)