Mattebloggen » polynom

Lösningen till problemet för de äldre vecka 46

Val — Tue, 30 Nov 2010 20:00:35 +0000

Mattegåta

Visa att varje andragradspolynom kan skrivas som en summa av två andragradspolynom, vars diskriminanter är lika med 0.

Diskussion

Vad var en diskriminant? För ett polynom Ax²+Bx+C är det talet B²-4AC.

Ifall diskriminanten är positiv, så har ekvationen Ax²+Bx+C=0 två reella rötter. Ifall den är negativ, så har ekvationen inga reella rötter. Om diskriminanten är 0, har ekvationen exakt en reell lösning.

Bilden illustrerar hur graden för ekvationen kan se ut i de olika fallen (D betecknar diskriminanten).

Nu när vi har koll på diskriminanten, kan uppgiften lösas grafiskt eller algebraiskt, vilken man nu föredrar. Nedan är en algebraisk lösning presenterad.

Lösning (av Benjamin Fayyazuddin-Ljungberg)

Låt P(x) vara polynomet vi vill skriva som summan av två andra polynom. Om P(x) = Q(x) + R(x) är kP(x) = kQ(x) + kR(x). Om Q(x) har diskriminant noll har kQ(x) också det. Därför kan vi utan inskränkning anta att P(x) har koefficienten 1 framför x²-termen.

Nu betraktar vi tre fall:

1) P(x) har diskriminant noll. Då har vi inga problem: P(x) = P(x)/2 + P(x)/2

2) P(x) har negativ diskriminant, det kan skrivas som (x-a)² + k² för någon konstant k. Låt z=x-a, så P(x) = z² + k². Då kan vi skriva P(x) som (z+k)²/2 + (z-k)²/2 = (x-a+k)²/2 + (x-a-k)²/2. Det är tydligt att de här polynomen bara har ett nollställe var, alltså är diskriminanten noll.

3) P(x) har positiv diskriminant, det kan skrivas som (x-a)² – k² för någon positiv konstant k. Låt z = x-a igen. Då är P(x) = z² – k². Vi skriver P(x) som 2(z-k/√2)² – (z-k√2)² = 2(x-a-k/√2)² – (x-a-k√2)². Dessa har också bara ett nollställe var, så de har diskriminant noll.

Matteproblem för de äldre vecka 46

Val — Tue, 16 Nov 2010 20:52:17 +0000

Skickar gärna lösningar eller frågor om detta problem till valentina.chapovalova@gmail.com. Om din lösning kommer in senast måndagen den 29 november får du vara med i bloggens tävling och då har du chansen att vinna priser!

Mattegåta

Visa att varje andragradspolynom kan skrivas som en summa av två andragradspolynom, vars diskriminanter är lika med 0.

Diskriminant

En diskriminant för ett andragradspolym Ax²+Bx+C är lika med

B² – 4AC

Diskriminanter används för att bestämma ifall det finns lösningar för en given andragradsekvation och sedan beräkna dessa lösningar. Diskriminanten större än 0 ger två unika reella lösningar, lika med 0 ger en unik lösning, medan om diskriminanten är mindre än 0 så har ekvationen inga reella lösningar.

Lösning till gåta vecka 52

Val — Sat, 09 Jan 2010 16:11:50 +0000

Vilket är större: eller ?

Lösning:

Detta kan vi egentligen räkna ut med vilja, våld och vaselin och sedan se vilket som är större. Men det är lättare att göra beräkningen bakvänd, nämligen införa variabeln x!

I några tävlingsproblem funkar ersättning med variabel jättebra, det förenklar problemet. Låt oss säga att 400=x (man kan också säga att x=400, men det är inte åt det hållet vi arbetar :) ) och då är 399=x-1 till exempel. Allt skrivs om till:

och

Vi räknar lite på det första polynomet och kollar hur det kan förenklas:

Men 5x-4 är alltid mindre än 5x, oavsett vad x är för någonting! Genom att göra uttrycket mer allmänt gjorde vi jämförelsen lättare.

Således är större än .