De här problemen ingår i mattebloggens tävling vårterminen 2011, men man kan inte skicka in lösningar på dem längre. Kolla istället tävlingens regler och den aktuella poängställningen. Lösningarna kan du titta på nedan.

Skicka in lösningsförslag genom att klicka på länken under uppgifterna senast måndagen den 14 mars. Glöm inte att kolla reglerna och aktuella poängställningen.

Rebusen (1 poäng). Försök att läsa av ordet genom att använda nyckeln:

Schackcirkeln (3 poäng). Det finns ett vanligt schackbräde med storleken 8×8. Hur stor radie har den största cirkeln man kan rita, som bara går igenom svarta rutor (det vill säga cirkelns rand finns aldrig i de vita rutornas inre)? Visa varför det inte går att hitta en större sådan cirkel.

Visa lösningar

Diskussion

För att bestämma lösningen kan man börja med hörnen. Till exempel så står det 17 i övre vänstra hörnet, vilket betyder att de enda rutorna som springaren når därifrån är 16 och 18. Därför kan man sätta ut 18 redan nu.

Resten av siffrorna kan vi inte vara säkra på direkt. Det man kan göra är att skriva in alla möjliga versioner på var till exempel siffran 3 kan vara. Efter det skirver vi in alla möjliga versionen på siffran 4 (från alla möjligheter för siffran 3). Vi fortsätter att sätta ut möjligheter för 5, 6 och 7. När vi senare kommer till en siffra som redan finns (som 8), kan vi sudda bort några av möjligheterna.

Ibland blir det för många möjligheter och då får man göra observationer på några andra tal (var kan talen 34 och 36 finnas?) På slutet är det faktiskt bara en möjlig väg som är kvar och det är den här.

Hösterminen 2010 är tävlingen på bloggen uppdelad i två kategorier: matteproblem för de äldre (personer som har avslutat en gymnasieutbildning) och för de yngre (personer som går i grundskolan eller på gymnasiet). Givetvis får alla skicka in lösningar på problem från den andra kategorin, men de äldre får inte poäng för de yngres problem.

Skicka alltså in lösningsförslag till problemet nedan till valentina.chapovalova@gmail.com senast onsdagen den 29 september. Missa inte chansen att få priser!

På ett 10×10-bräde finns en pjäs i varje ruta. En tillåten operation är att välja en diagonal som innehåller ett jämnt antal pjäser och ta bort en valfri pjäs från den diagonalen. Hur många pjäser kan man som mest ta bort med hjälp av sådana operationer?

Kalla en labyrint snäll ifall en liten råtta kan komma till vilken ruta som helst på schackbrädet oavsett vilken ruta man sätter den på. Och en labyrint kallas elak ifall råttan inte alltid kan nå alla rutor.

Vilka finns det flest av: snälla eller elaka labyrinter?

Lösning:

Den här smarta lösningen har Johan hittat på.

Antag att vi slumpmässigt sätter upp väggar med sannolikhet 1/2 på varje väggplats. Jag studerar ett hörn. Det är ”ensamt” om båda väggarna närmast hörnet finns med. Sannolikheten att ett givet hörn inte är ensamt är alltså 3/4.

Sannolikheten för att inget hörn är ensamt är (3/4)^4 = 81/256 < 1/2. Så över hälften av labyrinterna har ett ensamt hörn, och om råttan startar där kan den inte flytta sig alls. Det vill säga över hälften av labyrinterna är ickesnälla.

Kalla en labyrint snäll ifall en liten råtta kan komma till vilken ruta som helst på schackbrädet oavsett vilken ruta man sätter den på. Och en labyrint kallas elak ifall råttan inte alltid kan nå alla rutor.

Vilka finns det flest av: snälla eller elaka labyrinter?

Mattebloggen har en inoficiell tävling i att lösa mattegåtor. Skicka in din lösning till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans gåta, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Dela upp figuren på bilden i två sammanhängande delar, på så sätt att det går att sätta ihop delarna till en kvadrat 8*8.