Mattebloggen » schackbräde

Matteproblem vecka 15

Val — Tue, 13 Apr 2010 21:24:55 +0000

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

På ett 10×10-bräde finns en pjäs i varje ruta. En tillåten operation är att välja en diagonal som innehåller ett jämnt antal pjäser och ta bort en valfri pjäs från den diagonalen. Hur många pjäser kan man som mest ta bort med hjälp av sådana operationer?

Lösning till gåta vecka 49

Val — Tue, 15 Dec 2009 15:12:19 +0000

Man kan ta ett schackbräde och göra en ”labyrint” av det genom att sätta upp små väggar på några av de ställen där en svart ruta gränsar till en vit.

Kalla en labyrint snäll ifall en liten råtta kan komma till vilken ruta som helst på schackbrädet oavsett vilken ruta man sätter den på. Och en labyrint kallas elak ifall råttan inte alltid kan nå alla rutor.

Vilka finns det flest av: snälla eller elaka labyrinter?

Lösning:

Den här smarta lösningen har Johan hittat på.

Antag att vi slumpmässigt sätter upp väggar med sannolikhet 1/2 på varje

väggplats. Jag studerar ett hörn. Det är ”ensamt” om båda väggarna finns

med. Sannolikheten att ett givet hörn inte är ensamt är alltså 3/4.

Sannolikheten att inget hörn är ensammt är (3/4)^4<1/2. Så över hälften av

labyrinterna har ett ensamt hörn, om råttan startar där kan den inte

flytta sig alls, dvs över hälften är ickesnälla.

Antag att vi slumpmässigt sätter upp väggar med sannolikhet 1/2 på varje väggplats. Jag studerar ett hörn. Det är ”ensamt” om båda väggarna närmast hörnet finns med. Sannolikheten att ett givet hörn inte är ensamt är alltså 3/4.

Sannolikheten för att inget hörn är ensamt är (3/4)^4 = 81/256 < 1/2. Så över hälften av labyrinterna har ett ensamt hörn, och om råttan startar där kan den inte flytta sig alls. Det vill säga över hälften av labyrinterna är ickesnälla.

Mattegåta vecka 49

Val — Tue, 01 Dec 2009 20:46:04 +0000

Man kan ta ett schackbräde och göra en ”labyrint” av det genom att sätta upp små väggar på några av de ställen där en svart ruta gränsar till en vit.

Vilka finns det flest av: snälla eller elaka labyrinter?

Mattebloggen har en inoficiell tävling i att lösa mattegåtor. Skicka in din lösning till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans gåta, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Mattegåta vecka 46

Val — Tue, 10 Nov 2009 08:27:32 +0000

Dela upp figuren på bilden i två sammanhängande delar, på så sätt att det går att sätta ihop delarna till en kvadrat 8*8.