De här problemen ingår i mattebloggens tävling vårterminen 2011, men man kan inte skicka in lösningar på dem längre. Kolla istället tävlingens regler och den aktuella poängställningen. Lösningarna kan du titta på nedan.

Fången (2 poäng).
Kungen tänker på tre stycken tvåsiffriga tal: a, b och c. Fången måste hitta på tre tal själv och säga dem högt: X, Y och Z. Därefter säger kungen högt summan aX+bY+cZ. Då måste fången gissa rätt på vilka tre tal kungen tänkte från början, annars blir han avrättad.

Vilka tal X, Y och Z ska fången säga för att behålla livet?

Speciellt tal (5 poäng). Existerar det ett naturligt tal, som är större än 101000, som inte är delbart med 10 och som har åtminstone två olika siffror, och om man byter plats på dessa två siffror så förändrar inte talet mängden av sina primtalsdelare?

Visa lösningar

Related posts:

1. Problem vecka 10
2. Problem vecka 8. Tävlingsstart!

Lösning:

Vi har tjugofem tal som är 50 eller mindre.

Vi har också tjugofem tal som ligger mellan 50 och 100. Genomför följande operation: subtrahera 50 från vart och ett av de större talen.

Vad blir det för nya tal då? För det första får vi inga två likadana tal bland de här femtio talen. Hade vi fått det, betyder att två tal från början skilde sig exakt med 50, vilket vad förbjudet.

För det andra, alla tal vi får är större än 0 och inte mindre än 50. Femtio stycken olika tal, alla ligger mellan 1 och 50, hmmm, vad kan det vara för några? Så klart 1, 2, 3, …, 50.

Det som krävs nu är att räkna ut summan av de ursprungliga talen. Summan av de nya är 1+2+3+…+50=51*25.

Kom ihåg samtidigt att vi subtraherade 50 från tjugofem av talen tidigare. Alltså är det precis vad behöver addera till för att få svaret.

Summan av de ursprungliga talen är alltså 51*25+25*50=25*101=2525.

Diskussion:

Först och främst ska man pröva sig fram till lösningar, för att ”känna på” problemet. Det gäller alltså att komma på några sätt att dela 2009 i några nästan lika stora delar.  En första tanke är  att dela upp det som en summa av lika stora delar. Hur man göra det beror på vilka tal 2009 är delbart med.

2009 = 7*287 = 7*7*41

Så till exempel har vi uppdelningarna i exakt lika termer

2009 = 287 + 287 + 287 + 287 + 287 + 287 + 287

2009 = 1 + 1 + … + 1    (2009 stycken ettor)

2009 = 41 + 41 + … + 41    (49 stycken 41:or)

2009 = 2009

Men vad händer om vi försöker dela upp i ett visst antal termer, där antalet inte är en delare till 2009? Till exempel två termer? Då delar vi på två så gott det går, resultatet blir 1004 med rest. Men uppdelningen

2009 =  1004 + 1005

funkar ju, för att 1004 och 1005 är nästan lika.

Försök på samma sätt med tre termer. 2009 delat på 3 blir 669 och resten är 2. Då kan vi göra såhär:

2009 = 669 + 670 + 670

Den här idén med rester kommer vi att använda i lösningen.

Lösning:

Enligt villkoren måste varje sätt att summera upp till 2009 innehålla maximalt två sortes termer: ena kan uttryckas som x och andra som x+1. Ifall det fanns andra tal, skulle de inte vara nästan lika med x eller x+1.

Notera nu att för varje antal termer (beteckna antalet med n), så finns det ett sätt att dela upp 2009 i just så många nästan lika termer. Nämligen, dela 2009 med n med rest:

2009 = n*k + r

där k är kvoten och r är resten. Man vet att resten alltid är mindre än det man delade med, således mindre än antalet termer.

Likheten kan skrivas om:

2009 = k + k + … + k + r

där termen k förekommer n gånger. Men för att få just n stycken termer, fördelar vi r stycken ettor på r stycken k-termer. Det kan vi göra eftersom k är mindre än n. Således:

2009 = k + k + … + k + (k+1) + (k+1) + … + (k+1)

där termer av typen k förekommer (n-r) gånger och termer av typen (k+1) förekommer r gånger.

Så nu har vi 2009 stycken sätt att dela upp! Ett sätt för varje antal termer. Men finns det inga andra sätt?

Nej, faktiskt inte. Vi sa ju tidigare att termerna måste vara x och x+1. Har vi ett fixerat antal termer i summan

2009 = x + x + … + x + (x+1) + (x+1) + … + (x+1)

så kan vi inte ändra vare sig några x till x+1 eller tvärtom, för då skulle det hela inte summera upp till 2009.

Således är svaret: 2009 sätt.

• P(1) är sant.
• .

Då är påståendet P(n) sant för varje val av det positiva heltalet n.

Lätt som en plätt, eller?

Alla tycker induktion är svårt

Alla som någonsin har varit lärare i grundläggande matematikkurser på universitet har stött på svårigheter inom ett specifikt avsnitt: induktion. Det har skrivits många kompendieinlägg och artiklar i ämnet, det går att hitta massvis med förklaringar och exempel, men ändå har så många så svårt för det. Varje år är det kanske 30 elever man har och 29 av dem har svårigheter med induktion.

Nyligen fick jag ett mail som bad om hjälp med en induktionsuppgift. Problemet för personen var att det inte var en standarduppgift (som handlar om summor, vänsterled=högerled, etc.), och fattar man inte induktionsprincipen då, så är man fast.

Vad induktion inte är

För att börja kasta lite ljus över ämnet, kan jag berätta om vad induktion inte är.

1. Det är inte en metod. Det påminner om en metod väldigt mycket, ”stoppa in basvärden här”, ”skriv induktionsantagandet där”, ”härled induktionssteget mha induktionsantagandet”. Jag tror det är det som förklaringen av induktionsprincipen faller på. Den förklaras  mycket formellt, precis som en metod, och därför också uppfattas som sådan. Finns alltså inget sätt att lösa allmännt induktionsproblem!

2. Det är absolut inte en formel. Om man bara har sett summationsuppgifter, säg ”Visa att summan av de första n positiva heltalen är n(n+1)/2″ och liknande, tror man kanske att induktionspincipen är en slags formel. Man stoppar in lite summor här och var och blir det likhet, så är man klar. Så är det på sätt och vis med summationsuppgifter, dock faller inte alla de ut lika lätt som exemplet jag tog upp.

3. Det är inte en sats, en teori, en bok, en tupp osv.

Var är det då? Induktionen är en princip, ett axiom och så önskas. Det betyder att det är någonting som vi människor (matematiskt lagda) tycker borde gälla. Det är någonting som följer logikens lagar. Till exempel ”äpplet faller inte långt från trädet” är ett av naturens lagar och det är lite konstigt att titta på det som en metod för beräkning av äpplenas banor. Ett mer matematiskt exempel är ”Om det finns en linje i planet och en punkt utanför linjen, så kan man bara rita en linje genom punkten som är parallell med den första, ändrar man något så kommer första linjen korsas”. Det är ju ganska naturligt att det är så, men det är fortfarande varken metod eller formel.

Hur jag lärde mig induktion

Det skedde relativt tidigt, då jag ännu inte fattade mig på summationstecknet, vilket nog hjälpte för att förstår principen bra (kanske det som är lösningen, lära ut summa efter att man lär ut induktion på grundläggande algebra-kursen?). Jag fick några problem på fritiden, så jag försökte klura ut hur man löste dem. Men det är väldigt svårt att komma på principen själv, så jag lyckades inte först. Sen när man förstår principen så säger det ”klick” och sådana problem löses på bara några minuter.

Och hur förstår man principen då? Jo, genom exempel! Exempel från matten eller vardagen spelar ingen roll. Vitsen är att när någon berättar att man visar någonting att börja med (bas) och sedan visar att ”varje leder till nästa” (induktionssteg), så är det klart att det följer för alla. ”Självklart måste det vara så!”, säger man då, och då har man förstått. Nästa svåra steget är att översätta lösningar till matematikspråket. Just ”översätta”, eftersom mitt största råd är att lösa varje uppgift med ord först, så gott det går, och bara sedan försöka formalisera. Till att börja med: glöm bort vad induktion är och försök lösa de här, så återkommer jag med utförliga exempellösningar.