Nians tabell

Rekommenderad från: 15 år

På en rad står tal, som är delbara med 9, i stigande ordning: 9, 18, 27, 36 och så vidare. Under varje tal står dess siffersumma.

(a) På vilken plats i andra raden ser vi först talet 81?

(b) Vad kommer stå först på andra raden: fyra stycken 27 i rad eller en gång talet 36?

Visa lösningen

Tvåpotensens sista siffra

Rekommenderad från: 15 år

Det finns ett naturligt tal m, sådant att talet 2m har siffersumma 8. Kan sista siffran i talet 2m vara lika med 6?

Visa lösningen

Sabbad multiplikation

Rekommenderad från: 12 år

På tavlan skrev matteläraren Adam en uträkning. Men precis innan lektionen skulle börja, så busade någon utav eleverna och bytte ut två siffror mot nya. Därefter stod det:

4\cdot5\cdot4\cdot5\cdot4=2247

Men vilka var siffrorna från början? Förklara hur du kommer fram till svaret.

Visa lösningen

Klassiska bevis: roten ur 2 irrationellt

Flera av mina bekanta har berättat för mig vad deras första möte med riktiga matematiska bevis var. Och man märker kanske inte först att det man läser eller hör om är så kallade riktiga bevis, förrän man läser ordet “bevis” explicit. De första sådana för var och en kunde ha varit bevis för Pythagoras sats, något induktionsbevis eller motsägelsebevis.

Här tänkte jag berätta om den mest klassiska klassikern av motsägelsebevis, nämligen att roten ur 2 är ett irrationellt tal.

Vad betyder irrationellt?

Ett irrationellt tal är ett tal som inte går att få med hjälp av naturliga tal 0, 1, 2, 3 …. och de aritmetiska operationerna +, -, * och /. Talen som däremot går att få på det sättet kallas rationella, till exempel \frac{(5-10)}{3}=\frac{-5}{3}. Rationella tal kan alltså skrivas som bråk.

Irrationell och rationell är helt enkelt motsatser. På grund av den här negativa definitionen (det vill säga definiera något genom att använda ett “inte”), är det naturligt med ett negativt bevis till påståendet (det vill säga motsägelsebevis).

Påstående: \sqrt2 är ett irrationellt tal.

Tankegång: Vi skall alltså bevisa att \sqrt2 inte är ett rationellt tal. Kan verka svårt först, vi kan ju inte riktigt testa alla möjligheter, alla bråk som överhuvudtaget går att få fram. T.ex. (bara ett exempel nu, helt onödigt för beviset!!!):

Är \sqrt2=\frac{3}{2}? Nej, för då skulle deras kvadrater vara lika 2=\frac{9}{4}, vilket absolut inte är sant!

Men det finns oändligt många bråk, vi kan sitta och gissa bråk som är ungefär lika med roten ur 2 och sedan verifiera att de inte är exakt lika. Men bara för att vi inte kan hitta något bevisar inte att det inte finns!

Det är nu vi inser att det faktiskt skulle vara lättare att på något sätt testa alla möjligheter samtidigt. Med det menar jag att vi antar att det finns ett sådant bråk och vi sedan kommer fram till att det aldrig kan bli likhet med roten ur 2. Det är kärnan i alla så kallade motsägelsebevis: antag att det går (antag det positiva påståendet, det utan “inte”) och kom fram till motsägelse.

Bevis: Antag att roten ur 2 är lika med något bråk. Förkorta bråket så långt det går, så att nämnaren och täljaren inte längre går att dela med samma heltal. Vi har alltså nu:

\sqrt2=\frac{a}{b} och a och b är heltal som inte har någon gemensam delare.

Som förut försöker vi kontrollera likheten genom att kvadrera:

2=\frac{a^2}{b^2},

2{b^2}=a^2.

Varför är denna likhet omöjligt då? Vi tar hjälp av talteori, läran om heltal och delbarheter.

Vänsterledet 2b^2 är ett jämnt tal, så högerledet, a^2 måste vara det också. Alltså går a att dela med 2, dvs a=2k, där k är ett heltal. Skriv om likheten:

2{b^2}=(2k)^2=4k^2.

MEN detta innebär ju att b^2=2k^2 så med samma resonemang som förut får vi att b är ett jämnt tal. Men nu kommer vi fram till motsägelse, eftersom i situtationen då både a och b är jämna går det faktiskt att förkorta bråket (med 2). Nu är vi faktiskt klara.

Vi blev klara så fort vi fick motsägelse i vår lösning. Det är därför det heter motsägelsebevis.

Blåröda tallinjen

Rekommenderad från: 15 år

Förkunskaper: intervall, tallinjen, delbarhet, potenser.

På reella tallinjen markerade Johan alla kvadrater på positiva heltal. Varje erhållet intervall delade han sedan i två lika stora delar, de vänstra halvorna målade han blått (inklusive vänstra änden), medan de högra målade han rött (exklusive högra änden).

1. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett blått tal som är delbart med talet n.

2. Visa att för varje positivt heltal n kan han hitta ett rött tal som är delbart med talet n.

3. Visa att Johan kan hitta 1000 olika positiva heltal, så att summan av vilka som helst 5 av dem är ett rött tal.

4. Visa att det finns oändligt många röda tal som är potenser av två.

Visa lösningen