När jag säger ”tangentlinje” tänker du kanske på någon av dessa bilder:
En tangentlinje nuddar precis en kurva i en viss punkt. Ofta har jag tänkt att en tangent aldrig är en sekant, det vill säga att tangenten aldrig kan skära kurvan.
Men vad är då detta för något?
Nu skär ju uppenbarligen den röda linjen kurvan. Det går inte att rita en linje som precis nuddar kurvan i origo, utan att det blir skärning!
Det förklaras med att definitionen på en tangent baserar sig på sekanter, det vill säga vanliga linjer som skär kurvan i några punkter, minst två:
Tangent
En tangent till en kurva i en punkt A är vad sekanterna genom A närmar sig mot, då en annan av sekantens skärningspunkter med kurvan (punkten B) närmar sig A.
Därför blir tangenten i origo till grafen för 
Tangenter till cirklar är speciella: de är vinkelräta mot radien, som ritas från cirkelns mittpunkt till tangeringspunkten!
Lutningen på tangenten är viktig, för att den ger oss derivatan i den punkten. Låt oss kolla på lutningen på radien först. För enkelhets skull antag att det är enhetcirkeln vi tittar på.
Lutningen är lika med förändringen i y-led delat på förändringen i x-led. Det blir 
Tangentens lutning måste då vara 
Jag trodde att tangens kom från att om man ritar tangenten i punkten x=1, så är tan(v) hur högt upp på denna tangent som man hamnar om man tar en linje från origo med vinkel v.
Hah, det kan det mycket väl vara. Jag tycker bättre om din teori, Per! *ska rita en bild*