Lösningen till problemet för de äldre vecka 43



Mattegåta

Nina har tre tal: 2, √2 och 1/√2.

Hon får utföra endast en operation: nämligen välja två av talen, låt oss kalla dem a och b, och ersätta dem med talen (a+b)/√2 och (a-b)/√2.

Kan Nina med hjälp av endast dessa operationer få talen 1, √2 och 1+√2 (i någon ordning)?

Diskussion

En god start är att testa och så småningom inse att man inte lyckas att få de där talen 1, √2 och 1+√2 allihop på samma gång.

För en eventuell motsägelsebevis för ett problem som handlar om någon sorts operation vore det väldigt praktiskt att hitta en invariant.

Invariant

En invariant är någonting som inte förändras under en viss given operation.

Exempel: den givna operationen är en löpares schackdrag, färgen på rutan löparen står på är då en invariant. Var rutan svart från början kommer löparen att alltid stå på en svart ruta (för den går bara diagonalt) Om rutan var vit från början kommer den alltid att stå på vitt.

Ifall vi hittar någonting som inte ska förändras även när Nina bytt ut två tal enligt regeln, så ser vi att det som frågas efter inte går att genomföra om egenskapen skiljer sig mellan start- och slutposition.

Det svåra består i att hitta rätt invariant!

Lösning (av Johan Björklund)

Antag att de tre talen är a, b, c.

Efter en operation så är de tre talen (a-b)/√2, (a+b)/√2, c.

Undersök summan av kvadraterna på talen. Innan så är den a2+b2+c2.
Efteråt så är den 0.5(a-b)2+0.5(a+b)2+c2=a2+b2+c2. Summan ändras alltså inte under operationen.

I vårt fall så har vi 22+√22+(1/√2)2 ≠ 12+ √22+(1+√2)2 (uppenbart då √2 inte är rationellt). Motsägelse.

Kommentera