Underhållningsvärdet av en lektion

Några av mina andra lektioner i Linjär Algebra II gick inte lika bra som den första. Ett litet tag in på lektionen märkte jag att eleverna tyckte att det jag pratat om var för svårt, för tråkigt eller kanske för lätt – de började gäspa. Vänder man sig mot klassen med jämna mellanrum kan man lätt märka ifall de följer med och lyssnar eller om de tänker på annat. Är de inte inne i vad jag säger så snackar de kanske med grannen eller halvsover.

Vad gör man då? Nervositeten stiger, rösten darrar, man försökte skämta för att liva upp dem lite, vilket inte brukar gå så bra. Inte ens färgglada vektorer på tavlan hjälper. Då skulle det varit bäst att avbryta med en uppgift så de själva får jobba, men det är inte säkert att de kommer göra det, de är ju för oinspirerade och uttråkade.

I andra grupper går lektionen bra allra från början, är det en del som lyssnar uppmärksamt, så sprids den inställningen i hela gruppen. Alla mina skämt går hem och blir uppskattade (ok, åtminstone några)! Efter genomgången tar något trötta elever rast och nästa timme arbetar flitigt på egen hand.

Jag tänkte att detta berodde på något sämre förberedda lektionerna i första fallet, kanske de olika uppläggen av kursen för de olika grupperna. Kanske berodde detta på elevernas bakgrunder eller matematikkunskaper.

Men nu ser jag att just hur underhållande lektionen blir, hur kul eleverna har, beror på gruppsammanhållningen. Har ni märkt att de duktiga eleverna ofta är minst två och de sitter bredvid varandra?  Det är svårt att komma på alla frågor och funderingar på egen hand. Har ni märkt att eleverna har det roligare på rasterna om det finns bra gruppsammanhållning? Senaste lektionen kallade mina elever varandra för “linjärt beroende” och drog massvis med matteordvitsar :D Yeah!

Intresset för saker de lär sig spelar också stor roll förstås. Därför är målet för en lärare att från dag ett fixa:

1. Gruppsammanhållning genom en gemensam uppgift eller stor diskussion där alla verkligen är involverade (behöver inte handla om matte).

2. Intresset för kursen. Dra några problem eller exempel relevanta för elevgruppen eller människor i allmänhet.

Finns det dumma frågor?

Man hör jämt vissa lärare säga “det finns inga dumma frågor”. Man hör också ofta sina kursare eller klasskompisar klaga på någon störig typ, som “alltid ställer korkade frågor”. Så vilket är det som gäller?

Själva frågan som ställs är svår att döma i sig, speciellt tagen ur sammanhanget. “Är 2+2=4?” betraktas inte som en jättesmart fråga på mellanstadiet, på universitet/högskolan kan den däremot vara djupt filosofisk utan något kort svar. “Varför kommer det ut ånga ur vattenkokaren?” är en smart fråga för ett litet barn, men lite dum för en fysiker/kemist.

Det vi egentligen dömer är tänket bakom frågan, hur resonerade personen innan han eller hon ställde frågan, resonerades det överhuvudtaget? Om vi själva tror att personen inte tänkte efter, samtidigt som vi gjorde det, så stämplar vi personen som “dum”. Felaktigheten här ligger i att själva frågeställningen är en tanke, om personen inte tänkte efter och ställde en fråga, så tänkte personen bara högt. Vilket i civiliserad kultur betraktas konstigt eller dumt.

Vad är då en smart fråga? Frågor som uppfattas som smarta av läraren och andra elever är sådana som ingen annan tänkte på. Frågan är då ett bevis på att eleven förstått, tänkt efter och tänkt längre. Men så är det inte alltid, säg att läraren glömde att ta upp något trivialt specialfall av ett problem. När eleven påpekar felet handlar det om uppmärksamhet plus lite grundlig förståelse.

Som sagt, att ställa en fråga, tyst eller högt, är att tänka på det man ser eller hör. Innan dess bearbetas informationen och egna slutsatser dras. Och att tänka själv, är inte det att vara smart? Jag håller fast vid att det inte finns dumma frågor, men det finns mängder med opassande tillfällen att ställa en viss specifik fråga.

Ett sätt att lösa det som lärare är följande. Ge eleverna något att tänka på, gärna något klurigt, där man är osäker på svaret. Låt dem tänka självständigt i ett par minuter, be dem att eventuellt skriva ner sina funderingar. Detta ger garanti på att de verkligen tänkt efter och inte kommer ställa spontan fråga, som är störig för andra. Låt de sedan prata med grannen, diskutera slutsatser och jämföra funderingar. De flesta “uppenbara” frågor efter det kommer redan att vara besvarade av eleverna själva, om inte lärarens förklaringar var bristande. Då kan man starta större diskussioner, kanske hela klassen. De blyga personerna kommer vara säkra på relevansen av sin fråga, för det har de fått bekräftade av en kamrat, och spontana personer kommer att ha djupare frågor.

Frågor på det?

Parkering

Rekommenderad från: 10 år

[kkratings]

I staden Bilköping finns en parkering med plats för 7×7 bilar. Man kan komma in endast genom porten, resten av parkeringsplatsen är omsluten med staket. En vakt vill parkera så många bilar som möjligt, men så att varje bil kan komma ut samtidigt som alla de andra står stilla. På bilden lyckades han göra så med 24 bilar.

Försök att placera ut så många bilar som möjligt!

Visa lösningen

Första lektionen

Lektionerna nummer ett är nu avklarade! 

Det är alltid lite mer nervöst att ha lektion i en ny kurs för första gången, än med en ny grupp, men nu hände båda sakerna på en gång.  Sedan var det en ny grupp tre gången till :).  Varje gång gick jag igenom teoristoffet på lite olika sätt, med så många frågor som möjligt riktade till studenterna.

– Vad är ett vektorrum?

– Är linjen y=3 ett underrum till R^2?

– Hur beskriver man världen vi lever i (rummet) för en alien?

alien

Man får då notera att alienet är kanske två-dimensionellt och lever i sin egen värld. Även om situtationen bryter mot fysikens alla lagar så förstår  ju eleverna frågan. Då säger jag att alla bra svar på den här frågan är samma sak som en bas. En bas beskriver ett vektorrum på ett optimalt sätt, inte mer än så. Jag tror att det där med matematik anknyts till verkligen bäst med hjälp av aliens, ska försöka använda dem oftare.

I allmänhet är den första lektionen väldigt viktig. Det är då man fixar alla inställningarna på programmet som körs. Å ena sidan skall studenterna bilda en ungefärlig uppfattning om vad som väntar dem varje lektion, å andra sidan skall de inte bli uttråkade. Man vill rycka med dem, så det blir en bra start! Det är alltid bra när man är aktiv från början och ställer frågor.

Det där med frågor brukar min kompis, som undervisar i Stockholm, ta upp på sina första lektioner. Han berättar då om ett visst psykologiexperiment som genomfördes på någon högskola. Eleverna kom överens om att lyssna noga på läraren när han befann sig i högra halvan av klassrummet och titta lite slött i sina böcker när han befann sig i den vänstra. Läraren gick runt och pratade och allt eftersom började bara befinna sig i högra halvan av klassrummet. Då gjorde eleverna samma sak igen: kollade upp i högra fjärdedelen av klassrummet och tittade ner när läraren var någon annanstans. Utan att tänka på saken befann sig läraren så småningom i högra fjärdedelen av klassrummet. Experimentet fortsatte så … Till slut stod läraren i dörren och pratade till studenterna därifrån, som då förstås lyssnade väligt nogrannt :).

Sensmoralen är då att vi vill våra studenter känna att de har makt, men också ansvar, över sin egen utbildning. Finns det självförtroendet är det både lättare för dem och för oss att genomföra bra lektioner.

Mattecirkel i Uppsala

Högstadiets matematiktävling 08/09 har precis avslutats och jag gratulerar vinnaren, Lien Tran från Rödabergsskolan i Stockholm! Här kan ni se på problemen för övrigt. Några elever från min kära residens Uppsala deltog också, de går förmodligen i åttan eller nian just nu. Det jag vill är att dra igång något med dem och andra intresserade, något som kallas mattecirkel!

En gång i tiden var jag en ny student i Uppsala, men ganska erfaren om tävlingsmatte (med andra ord rolig matte). Jag och min far upptäckte att en högstadieelev var intresserad av extramatte efter att ha deltagit i tävlingen Mattekvadraten, Peter Zarén hette han. Det sällsynta intresset finns, därför är vår uppgift att tillgodose den. Sagt och gjort, jag började åka till Balderskolan en gång i veckan och berätta för Peter och hans klasskamrat Magdalena om grundläggande logik, primtal, lådprincipen och så vidare. (Efteråt tog jag en superbillig pizza eller falafel på ett ställe på Dragarbrunngatan i närheten. Där har de rivit nu och byggt UNT-lokaler tror jag.)

När Peter började nian bytte vi till privatlektioner istället. Det var svårt att hitta någon på hans nivå i Uppsala, för han läste mycket på egen hand också. Så småningom, när jag fick amanuenstjänst och svårare kurser att klara av, fick han istället åka till Stockholm till min fars mattecirkel. Vi kan vara rätt stolta tycker jag, för nyligen fick jag reda på att Peter har kommit in på matematikutbildningen i Cambridge!

Men det är alltid roligare när man är fler. Jag tycker att den sociala biten är lika viktig som matematikbiten – man får tillfälle att träffa likasinnade och diskutera matte och annat. Får jag tillräckligt många intresserade, så skulle jag föredra att samlas på universitetsområdet. Det blir omväxling för eleverna mot att vara på skolan, dessutom tyckte jag själv att det var lite häftigt att hänga i universitetshusen när jag var mellan- och högstadieelev.

Så sprid detta till alla mattenyfikna elever ni träffar på och kontakta mig!

Vektorrum

Vad är det? Ett rum där vektorerna bor, såklart! Vill man veta vad som försigår där, så kan man lyssna på låten Tänk om jag vore en skalärprodukt.

Men om man ska vara matematiskt petig, så är vektorrum en mängd med vektorer, där diverse räknelagar för dem är uppfyllda.  Vi kan tänka på vektorer som förflyttningar: det viktigaste är inte var vi startar utan hur långt vi har förflyttat oss och åt vilket håll. 

Låt oss säga att vi startar i origo i vårt vektorrum. Vi försöker förflytta oss med hjälp av alla möjliga vektorer tillgängliga.  Som till exempel en enkel robot som vi styr genom en labyrint,  den kan bara få instruktioner “ett steg åt höger”, “ett steg åt vänster”, “ett steg uppåt”, “ett steg neråt”. På samma sätt får vi instruktionerna ur mängden av vektorer, varje vektor är en instruktion till oss.  Axiomen säger då att vi på så sätt inte ska kunna hoppa ur vektorrummet helt plötsligt om vi går med hjälp av instruktionerna.

Det finns dock extra saker som vi kan göra. Vi får nämligen själva bestämma hur långt vi kan gå åt varje håll som ges åt oss. Säg till exempel, att vi får vektorn som pekar “diagonalt-uppåt-höger”. Då kan vi gå jättelångt diagonalt, men också jättekort. T.ex. ett pyttelitet steg diagonalt, eller till och med inget steg alls.

Nu kan vi till och med formulera vad det betyder att vektorer spänner upp nånting. Vektorerna spänner upp ett underrum (en del av ett vektorrum) som består av alla punkter vi kan komma fram till om vi startar i origo (med hjälp av instruktioner från föregående stycken). T.ex. robotvektorerna spänner upp en hel labyrint, för att roboten kan komma fram överallt (om det är en snäll labyrint).

W2B, IT2A, IT2B, KandMa1

Hittils har lätt förvirring rått angående mina grupper. Nu har jag till slut förstått att W2B (miljö- och vattenteknik-programmet, årskurs 2, grupp B) och KandMa1 (kandidatprogrammet i matematik) har en gemensam föreläsare (min handledare Walter Mazorchuk), och IT-ingenjörerna har en annan (Thomas Erlandsson). Dessutom går tekniska fysiker med första gruppen och “system i teknik och samhälle”-nissarna går med den andra.

Varför har man grupperat dem så? På något sätt måste det ju göras för klassrumskapaciteten är inte godtyckligt stor. Tekniska fysiker och matematiker brukar dessutom gå rätt många genemsamma kurser, så det är naturligt för dem att fortsätta. Hur som helst, jag är nöjd med 2-2-fördelningen och med olika program i den första gruppen och samma i andra. Variationen är alltså garanterad.

Föreläsarna har nämligen bestämt sig för olika kursböcker till samma kurs. Det finns en standardbok, som är oficiell kurslitteratur (skriven av Anton och Rorres), alla har den som rekommenderad litteratur. Den boken tyckte jag till en början om, den var bra för att vara en linjär algebra-bok. Sedan började jag läsa i den för mina lektionsförberedelser och den var trååååååkig. Det gick att läsa en stund, visst, det kom definitioner och exempel som vanligt, men jag tyckte de valde tråkiga sätt att förklara saker på och rätt tråkiga beskrivningar på tillämpningar. Vissa var lyckade, men man stötte på tråk i varje kapitel i alla fall. 

Den andra boken, som Walter valde, är “Boken med kossan på”. Den finns tillgänglig på nätet, så alla kan skriva ut den förhoppningsvis. Vad jag kollat verkar den okej, men tydligen finns det inte så många bra uppgifter. Frågan är var det går att hitta passande intressanta roliga nyttiga uppgifter till kursen Linjär algebra II? Google, here I come!

Linjär algebra

Nästa vecka börjar jag undervisa på kursen “Linjär algebra II” för fyra olika studentgrupper. Det är alltså stor risk för förvirring, man vill å ena sidan inte missa att säga något viktigt till någon grupp och å andra sidan vill man variera sina lektioner. Så här strax innan kursen börjar är det alltså dags att fundera på ämnet och hur man kan framföra det.

Hur ser jag på linjär algebra?

Första bilden som dyker upp i huvudet är ett par linjer i rymden som korsas. Senare ploppar matriser upp i tankegångarna, de fylls med siffror och sedan börjar beräkningarna, då och då flyger bilder på parallellogram förbi. Ja, helt enkelt drar jag slutsatsen att det är blandning utav algebra och geometri.

Varför är det så bra då, varför just blandning av algebra och geometri?

När jag gick i ryska skolan som liten hade vi ämnet matematik förstås redan från och med ettan på lågstadiet. Vi fick lära oss flera räknesätt, lite om figurer och sedan också om ekvationer. Men i sjuan kom uppdelningen i två nya ämnen! Det ena var algebra och den andra var geometri. Algebran var lite som fortsättning på vanliga matten, man räknade på, fast med bokstäver. Geometrin var snarare en ursäkt för att lära oss axiomatiskt tänkande. Hur som helst såg vi på geometrin som läran om figurer. På universitetet slår vi då ihop allt till ett enda ämne, det universiella matteämnet linjär algebra. Det är nu vanlig räkning, fast med linjer(!), vanliga figurer, fast i 3D, och framför allt är det en ursäkt för att introducera axiomatiskt tänkande!

Linjär algebra är så pass närvarande i metoder och datorprogram, så det går inte att undvika som blivande civilingenjör. Samma gäller matematiker och fysiker, linjär algebra är för dem ett sätt att hantera verkligheten. Och även för mig, som är en ren algebraiker, reduceras forskningen till slut alltid till linjär algebra-uppgifter.