Rekommenderad från: 15 år
[kkratings]
Robert tänker på två positiva tal: 
Bra att känna till:
Det aritmetiska medelvärdet (AM) av två tal 
Det geometriska medelvärdet (GM) av två tal 
AM-GM-olikheten: Det aritmetiska medelvärdet är alltid större än eller lika med det geometriska medelvärdet för två tal:
Lösning:
Adam vet att det finns två tal, vars geometriska medelvärde är lika med det andra talparets aritmetiska medelvärde. Hitta en sådan uppdelning av de fyra talen i par, så att det villkoret är uppfyllt. Det vill säga vi har hittat a, b, c, d sådana att
Men är de talen verkligen vad vi tror att de är? Det vill säga, måste det vara så att a och b är x+y och x-y (i någon ordning) och c och d motsvarar xy och x/y (också i någon ordning)?
Vi skall visa att det verkligen måste vara så.
Antag att x+y och x-y inte gömmer sig på samma sida om likheten
Det vill säga, man har tagit likheten
och bytt plats på en av termerna i vänsterledet med en av termerna i högerledet och det ändå blev lika.
Men sådant händer bara om talen vi bytte plats på är lika (annars skulle resultatet på ena ledet minska och på den andra öka, och då skulle de inte varit lika längre).
Och om talen ändå varit lika, så spelar det ingen roll, vilket av dem vi väljer som a (eller b).
Så hur vet vi att a och b är paret 
Men tillämpa då AM-GM-olikheten:
Således får vi:
och
vilket är omöjligt för positiva tal x och y.
Vi vet alltså att ena talet i paret a, b är x-y (nämligen det minsta av dem) och andra är x+y (det största av dem).
Man kan räkna ut x genom att ta (det aritmetiska) medelvärdet av de talen och man räknar sedan ut y, genom att ta det största talet utav a och b och subtrahera x.
Dyra uträkningar
Rekommenderad från: 12 år
[kkratings]
Använd valutan euro, mynt och sedlar, för att beteckna talen 1, 2, 5 och 10. Med hjälp av dem och (gratis) parenteser och de fyra räknetecken (+, -, *, /) bilda ett uttryck, vars värde är 2009, genom att spendera så lite pengar som möjligt.
Diskussion:
Notera att man aldrig ska använda 10:or i sitt uttryck, eftersom de kan ersättas med 2*5. På så sätt använder vi 7 euro i stället för 10 euro.
Ett snabbt sätt att komma upp i höga tal är att använda multiplikation. Vi försöker till exempel att faktorisera talet 2009 och skriva faktorer med hjälp av 1:or, 2:or och 5:or.
2009=41*49=41*7*7=(2*2*2*5+1)*(2+5)*(2+5)
Här använder vi 2+2+2+5+1+2+5+2+5=26 euro, vilket man skulle kunna tro är svaret. Men i uttrycket ovan förekommer faktorn 7, som är ”dyr”. Talet 8 skulle vara ”billigare”, bara kosta 6 euro (2*2*2=8). Vad händer om vi istället försöker faktorisera 2008 eller 2007?
Ett svar:
Genom att prova med olika tal kommer man fram till att det går att klara sig med 25 euro:
2009=2008+1=2*2*2*251+1=2*2*2*(5*5*5*2+1)+1
(2+2+2+5+5+5+2+1+1=25).
Jag har dock inget bevis för att det är det minsta möjliga antalet pengar man behöver använda.
Uppdatering:
Johan kom på ett sätt, där det går att klara sig med 24 euro. Tricket är att se 7:or som 2*(2+1)+1, det vill säga att de kostar bara 6 euro.
2009 = 49*41 = 7*7*41 = (2*(2+1)+1)*(2*(2+1)+1)*41 = (2*(2+1)+1)*(2*(2+1)+1)*(2*2*2*5+1)
2+2+1+1+2+2+1+1+2+2+2+5+1=24
Men det finns fortfarande inget bevis för att det skulle vara det minsta antalet pengar. Vi måste på något sätt bevisa att det aldrig går med 23 (eller hitta på ett exempel då det går).
Allmänna saker man kan säga är att multiplikation är det bästa sättet att få fram stora tal. Då är frågan vilka tal som är bäst att multiplicera, för att vi ska få så stort resultat som möjligt och spendera så lite pengar som möjligt. Vi struntar just nu i att uppgiften handlar om talet 2009.
1 är meningslöst att multiplicera med sig självt.
2-potenser är 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 och så vidare. De kostar 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 euro respektive.
3-potenser är 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187 och så vidare. De kostar 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 euro respektive.
4-potenser kostar lika mycket som 2-potenser, eftersom 4=2*2.
5-potenser är 5, 25, 125, 625, 3125 och så vidare. De kostar 5, 10, 15, 20, 25 euro respektive.
Här ser vi att 3-potenser egentligen är bäst bland de här, eftersom för 21 euro kan vi få 2187, medan ett mindre tal 2048 kräver för 2-potenser hela 22 euro. På liknande sätt kan vi jämföra med 5-potenser: 625 kostar 20 euro, men med 3-potenser kan vi få talet 729 med bara 18 euro.
Men vad händer om vi fortsätter med 6, 7, 8 euro? Där finns det bättre sätt att skriva just de talen än 1+1+…+1, nämligen
6 = 2*(2+1) fås med 5 euro,
7 = 2*(2+1)+1 fås med 6 euro (som förut),
8 = 2*2*2 fås med 6 euro (och i så fall blir lika bra som 2-potenser).
Vi kan se att i omskrivningar av de här talen använde vi faktiskt endast multiplikation med 2 och 3 och plussade på 1:or när det behövdes. Det tyder på att multiplikation med 2-3 är optimal. Det har att göra med att talet e = 2,718281828… ger snabbast tillväxt vid multiplikation med sig själv, men vi kan ju bara använda heltal.
Detta var egentligen Johans funderingar också, men vi har fortfarande inte kommit på något sätt att lösa gåtan helt. Alla ytterligare förslag är välkomna!
Ännu en uppdatering:
2009 = (2*3+1)*(2*4*4*3*3-1)
och talen 3 och 4 skrivs som 4=1+1+1+1, 3=1+1+1.