Transformationsmatrisen – del 2

Rolig matte?

Det här är fortsättningen på inlägget Transformationsmatrisen – del 1. I första delen behandlas begreppet baser.

Vektorer i olika baser

Vektorer som skrivs med hjälp av siffror till exempel så här \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \\5\end{array} \right) betyder egentligen ingenting särskilt av sig själv, utan måste ha en bas hängande efter sig som en svans. \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \\5\end{array} \right)_b betyder att en vektor är uttryckt i basen b.

Ofta skriver man inte ut denna svans och det är när man har koll på vilken bas det är som gäller. Ganska ofta menar man standardbasen. Men skriv alltid ut den när det händer basbyten och liknande grejer! Det är lätt att tappa bort sig.

Till exempel är \left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)_b , \left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)_c och \left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)_d helt olika vektorer:

Hur visste jag hur de olika vektorerna såg ut? Jo, \left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right) i bas b betyder b_1+2b_2 och på samma sätt \left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right) i bas c betyder c_1+2c_2 och \left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right) i bas d betyder d_1+2d_2:

Det vi vill nu är tvärtom: att skriva samma fysiska vektor i olika baser b, c, d. Då kommer dess siffror att se ut på olika sätt.

Exempelvis är vektorn \left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right) i standardbasen lika med:
v=\left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}-1/2 \\1\end{array} \right)_b=\left(\begin{array}{c}-1 \\1\end{array} \right)_c=\left(\begin{array}{c}-3/2 \\1/2\end{array} \right)_d

Och hur får man tag på dem siffrorna? Jo, man kan antingen ”se” hur många basvektorer av varje sort som behövs för att få vektorn v:

Eller så kan man ställa upp en ekvation, som för basen d. Säg att det behövs x stycken första basvektorer och y stycken andra basvektorer (kan också vara icke-helt antal stycken).

v=x\cdot d_1+y\cdot d_2 och då
v=x\cdot \left(\begin{array}{c}1 \\-1\end{array} \right)+y\cdot \left(\begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right)
\left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}x \\-x\end{array} \right)+\left(\begin{array}{c}y \\y\end{array} \right)
\left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}x+y \\-x+y\end{array} \right)
De motsvarande koordinaterna skall vara lika, så -1=x+y och 2=-x+y. Då har vi att 1=2y genom att summera båda ekvationerna ledvis och då måste y=1/2 och följaktigen x=-3/2.

Om vi nu behöver göra detta många gånger till (bestämma koordinater med hjälp av ekvationssystem) blir det tröttsamt i längden. I stället kan vi bestämma transformationsmatrisen mellan standardbasen och basen d exempelvis och därefter bara behöva multiplicera med den matrisen.

Jag kan avslöja redan nu att transformationsmatrisen, som tar vektorer i standardbasen och sedan uttrycker dem i bas d är \left(\begin{array}{cc}1/2 & -1/2\\1/2 & 1/2\end{array} \right)

Vi testar:
\left(\begin{array}{cc}1/2 & -1/2\\1/2 & 1/2\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right) blir \left(\begin{array}{c}-3/2 \\1/2\end{array} \right). Hurra!

Hur man bestämmer sådana här transformationsmatriser kommer att avslöjas i nästa del!

Kommentera