Klassiska bevis: roten ur 2 irrationellt


Flera av mina bekanta har berättat för mig vad deras första möte med riktiga matematiska bevis var. Och man märker kanske inte först att det man läser eller hör om är så kallade riktiga bevis, förrän man läser ordet “bevis” explicit. De första sådana för var och en kunde ha varit bevis för Pythagoras sats, något induktionsbevis eller motsägelsebevis.

Här tänkte jag berätta om den mest klassiska klassikern av motsägelsebevis, nämligen att roten ur 2 är ett irrationellt tal.

Vad betyder irrationellt?

Ett irrationellt tal är ett tal som inte går att få med hjälp av naturliga tal 0, 1, 2, 3 …. och de aritmetiska operationerna +, -, * och /. Talen som däremot går att få på det sättet kallas rationella, till exempel \frac{(5-10)}{3}=\frac{-5}{3}. Rationella tal kan alltså skrivas som bråk.

Irrationell och rationell är helt enkelt motsatser. På grund av den här negativa definitionen (det vill säga definiera något genom att använda ett “inte”), är det naturligt med ett negativt bevis till påståendet (det vill säga motsägelsebevis).

Påstående: \sqrt2 är ett irrationellt tal.

Tankegång: Vi skall alltså bevisa att \sqrt2 inte är ett rationellt tal. Kan verka svårt först, vi kan ju inte riktigt testa alla möjligheter, alla bråk som överhuvudtaget går att få fram. T.ex. (bara ett exempel nu, helt onödigt för beviset!!!):

Är \sqrt2=\frac{3}{2}? Nej, för då skulle deras kvadrater vara lika 2=\frac{9}{4}, vilket absolut inte är sant!

Men det finns oändligt många bråk, vi kan sitta och gissa bråk som är ungefär lika med roten ur 2 och sedan verifiera att de inte är exakt lika. Men bara för att vi inte kan hitta något bevisar inte att det inte finns!

Det är nu vi inser att det faktiskt skulle vara lättare att på något sätt testa alla möjligheter samtidigt. Med det menar jag att vi antar att det finns ett sådant bråk och vi sedan kommer fram till att det aldrig kan bli likhet med roten ur 2. Det är kärnan i alla så kallade motsägelsebevis: antag att det går (antag det positiva påståendet, det utan “inte”) och kom fram till motsägelse.

Bevis: Antag att roten ur 2 är lika med något bråk. Förkorta bråket så långt det går, så att nämnaren och täljaren inte längre går att dela med samma heltal. Vi har alltså nu:

\sqrt2=\frac{a}{b} och a och b är heltal som inte har någon gemensam delare.

Som förut försöker vi kontrollera likheten genom att kvadrera:

2=\frac{a^2}{b^2},

2{b^2}=a^2.

Varför är denna likhet omöjligt då? Vi tar hjälp av talteori, läran om heltal och delbarheter.

Vänsterledet 2b^2 är ett jämnt tal, så högerledet, a^2 måste vara det också. Alltså går a att dela med 2, dvs a=2k, där k är ett heltal. Skriv om likheten:

2{b^2}=(2k)^2=4k^2.

MEN detta innebär ju att b^2=2k^2 så med samma resonemang som förut får vi att b är ett jämnt tal. Men nu kommer vi fram till motsägelse, eftersom i situtationen då både a och b är jämna går det faktiskt att förkorta bråket (med 2). Nu är vi faktiskt klara.

Vi blev klara så fort vi fick motsägelse i vår lösning. Det är därför det heter motsägelsebevis.

12 reaktioner till “Klassiska bevis: roten ur 2 irrationellt”

  1. Man borde kanske påpeka att kärnan i beviset ligger i steget från “Vänsterledet 2b² är ett jämnt tal, så högerledet, a² måste vara det också.” till “Alltså går a att dela med 2, dvs a=2k, där k är ett heltal.”. Det är just här man använder att 2 är ett primtal vilket gör att om 2 delar a^2 så måste 2 också dela a (kan lätt visas genom att kolla att antingen så är a jämnt eller udda).

    En (ganska lätt) följdfråga är nu vilka heltal n som ger irrationella tal då man tar kvadratroten av dem?

  2. Lite större följdfråga: vad är det som gäller andra heltalsrötter, när är n-te roten ur k rationellt?

  3. Jag tycker din definition på ett rationellt tal är för lik definitionen av ett algebraiskt tal och den är även lite felaktig. Du vill nog även lägga in ordet “ändlig(t)” eftersom du annars kan bilda oändliga serier och kedjebråk.

  4. Du menar lik definitionen av ett konstruerbart tal?
    Ja, det är väl som att säga “genererat” och man egentligen menar “ändligt genererat”. Jag väljer att undvika att vara allt för formell när jag skriver i bloggen. Vet man inte vad ett rationellt tal är börjar man nog inte tänka på kedjebråk hur som helst.

  5. Jag tycker att definitionen av rationella tal är bra, om man inte nämner gränsvärden så ingår självklart inte gränsvärden av något slag. Däremot är jag lite tveksam till definitionen av irrationellt tal, det du egentligen menar är nog ett reellt tal som inte är rationellt. Ska man vara väldigt petig så borde man kanske visa att det existerar ett reellt tal som är lika med roten ur två. Jag har också svårt att förenkla bråket så långt att a och b inte båda går att dela med 1…

    För allmänna n-rötter så borde alla tal som inte kan skrivas på formen m^n ge ett irrationellt resultat (med vissa förbehåll för tecken, vi kan ju råka få ett komplext tal, men sålänge allt är positivt så borde det funka).

  6. Fast om man ska vara så petig och visa att det är ett reelt tal så måste man ju dryga och blanda in definitionen för reella tal, vilket käns lite overkill. Men om man kör på den definitionen som val gör nu så är ju inte beviset inkoplett, eftersom att det inte står att ett irrationellt tal faktiskt måste existera, utan bara vara nått som inte är rationellt så är vi klara (för att vara drygt petig på logiken).

  7. Det finns ett räkneschema nedtecknat av Theon från Smyrna som bevisar att kvadratoten ej kan vara ett rationellt tal.
    Kombinerar man Lucastalen och Fibonaccitalen kan man visa att kvadratroen ut fem ej kan vara ett rationellt tal.

  8. Hur ser beviset med Lucas- och Fibonaccitalen ut, Sture? Man kan ju annars bevisa irrationalitet för kvadratroten ur 5 på samma sätt som för två, bara byta ut 2:or mot 5:or överallt.

  9. Min mattelärare har ett lite annorlunda bevis på den satsen.

    Beviset går precis på samma sätt som detta till och med 2b^2=a^2. Sedan observerar man att a^2 innehåller ett jämnt antal tvåor i sin primtalsfaktorisering ty det är ett kvadrattal, medan 2b^2 innehåller ett udda antal. Vi kan inte hitta några heltal a och b som uppfyller kravet. Motsägelse!

  10. Det finns ett elegant geometriskt bevis också (som blir mycket lättare att följa med bilder tyvärr, men jag gör ett försök ändå). Antag att vi har 2n^2=m^2 där m är ett så litet positivt heltal som möjligt.
    Då kan vi skapa två (geometriska) kvadrater med sidan n som tillsammans har precis samma area som en kvadrat med sidan m. Placera in dessa n-kvadrater i två motstående hörn på m-kvadraten.
    De kommer då att överlappa i en mindre kvadrat i mitten som har en heltalsida m’. De kommer också att missa litegrann i de två hörnen de inte placerades vid. Det den missar kommer också att vara två heltalssidekvadrater med sidan n’. Men då de två n-sidekvadraterna totalt täckte hela m-kvadraten så måste det överlappade området vara lika stort som det missade området, dvs vi har 2n’^2=m’^2 för mindre tal, vilket ger en motsägelse.

Kommentera