Lösningen till problemet för de äldre vecka 39

Rolig matte?


Mattegåta

På en gata finns två radhus och i varje radhus bor två djurgalna familjer. Familjerna äger katter och hundar.

Andelen katter (kvoten mellan antalet katter och totala antalet katter och hundar) hos första familjen i första huset är större än andelen katter hos första familjen i andra huset. Andelen katter hos andra familjen i första huset är större än andelen katter hos andra familjen i andra huset.

Måste det vara så att andelen katter i första huset är större än andelen katter i andra huset?

Diskussion

När frågan är formulerad på detta sättet så kan man misstänka att det är något lurt. Kanske att svaret säger emot intuitionen och det måste finnas motexempel mot att andelen katter i första huset totalt är större.

Ofta för att hitta motexempel i sådana problem är det viktigt att tro på att exemplet finns. Eller, om man ska visa motsatsen, det vill säga att det alltid måste vara så som påståendet säger, hjälper det att tro på påståendet. Man vet förstås inte om antagandet är rätt från början förrän beviset (eller exemplet) är klart. Men det hjälper rent psykiskt att tro på sin teori.

Som vi ser i lösningen nedan kan man faktiskt tänka sig fram till ett motexempel.

Mycket riktigt påpekade Erik Thörnblad för mig att det här problemet påminner om Simpsons paradox.

Simpsons paradox

I sannolikhet och statistik innebär Simpsons paradox att två olika grupper kan ha en viss tendens, men tendensen är helt omvänd när grupperna sätts ihop.

På bilden nedan syns att både den blå och den röda gruppen visar en växande trend, men på det stora hela är trenden avtagande.

Lösning (av Erik Svensson)

Låt A och B vara familjerna i Hus 1, och låt C och D vara deras grannar i Hus 2.

Låt oss anta, med avsikt att konstruera ett motexempel, att A har väldigt många fler djur än de andra familjerna och att hälften av dem plus 1 är katter. Till exempel kan vi låta A ha 5001 katter och 4999 hundar. Låt C ha 1 katt och 1 hund. Då är andelen katter hos A större än hos C.

Om B nu har relativt få djur så kommer dessa inverka väldigt lite på den totala andelen katter i huset, eftersom det stora antalet djur A har kommer dominera fullständigt. Vi låter D har väldigt få djur också, men samtidigt ha en större andel katter än A har. Exempelvis kan D ha 2 katter och 1 hund. Vi låter nu B har en större andel katter än D, låt säga 3 katter och 1 hund.

Nu har A en större andel katter än C, och B en större andel än D. Vi finner dock att i Hus 1 så är obetydligt mer än hälften av alla djur katter, men i Hus 2 har vi 4 katter och 2 hundar, och alltså är andelen katter där 2/3.

Kommentera