Posts tagged ‘bråk’

Lösningen till problemet för de yngre vecka 41

28 oktober 2010, 20:52

Mattegåta

Ibland blir addition av bråk någonting snyggt!

Men vad är x lika med? Skriv också hur du kom fram till svaret.

Diskussion

I en gammal papyrusrulle från år 1600 f.Kr., Rhindpapyrusen, förekommer massvis med matematiska beräkningar. Bland annat innehåller den bråkräkningar som ovan med tal på formen \frac{2}{n}. Dessa beräkningar tog upp 9 sidor!

Räkningen ovan, men med x som konkret tal finns med på de sidorna. Men hur kan man lista ut vad x är utan att behöva plocka upp en gammal papyrus och kika?

Vi kan först fundera på hur bråkaddition sker med kända tal. För att addera tal med olika nämnare måste vi göra om bråken så att de har samma nämnare först. Och för att reda på minsta gemensamma nämnaren är det bra att faktorisera nämnarna (se lösningen nedan).

Lösning

Vi faktoriserar nämnarna i beräkningen för att inte behöva operera med så stora tal. Då ser vi att flera av talen innehåller faktorn 73.

\frac{2}{73}=\frac{1}{60}+\frac{1}{73\cdot 3}+\frac{1}{73\cdot 4}+\frac{1}{x}

Då kan vi multiplicera båda led med 73:

2=\frac{73}{60}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{73}{x}

När vi ändå håller på kan vi multiplicera båda led med 60:

2\cdot 60=73+\frac{60}{3}+\frac{60}{4}+\frac{73\cdot 60}{x}

120=73+20+15+\frac{73\cdot 60}{x}

Vi förenklar allt förutom det hemska bråket:

120-73-20-15=\frac{73\cdot 60}{x}

12=\frac{73\cdot 60}{x}

Dags att multiplicera med x och dividera med 12:

12\cdot x=73\cdot 60

x=\frac{73\cdot 60}{12}

x=73\cdot\frac{60}{12}=73\cdot 5=365

Etiketter:, , , ,
Category: Problemlösning  |  Kommentar

Matteproblem för de yngre vecka 41

14 oktober 2010, 21:35

Skickar gärna lösningar eller frågor om detta problem till valentina.chapovalova@gmail.com. Om din lösning kommer in senast onsdagen den 27 oktober får du vara med i bloggens tävling och då har du chansen att vinna priser!

Mattegåta

Ibland blir addition av bråk någonting snyggt!

Men vad är x lika med? Skriv också hur du kom fram till svaret.

Etiketter:,
Category: Roliga mattegåtor  |  Kommentar

Lösningen till problemet för de äldre vecka 39

12 oktober 2010, 21:54

Mattegåta

På en gata finns två radhus och i varje radhus bor två djurgalna familjer. Familjerna äger katter och hundar.

Andelen katter (kvoten mellan antalet katter och totala antalet katter och hundar) hos första familjen i första huset är större än andelen katter hos första familjen i andra huset. Andelen katter hos andra familjen i första huset är större än andelen katter hos andra familjen i andra huset.

Måste det vara så att andelen katter i första huset är större än andelen katter i andra huset?

Diskussion

När frågan är formulerad på detta sättet så kan man misstänka att det är något lurt. Kanske att svaret säger emot intuitionen och det måste finnas motexempel mot att andelen katter i första huset totalt är större.

Ofta för att hitta motexempel i sådana problem är det viktigt att tro på att exemplet finns. Eller, om man ska visa motsatsen, det vill säga att det alltid måste vara så som påståendet säger, hjälper det att tro på påståendet. Man vet förstås inte om antagandet är rätt från början förrän beviset (eller exemplet) är klart. Men det hjälper rent psykiskt att tro på sin teori.

Som vi ser i lösningen nedan kan man faktiskt tänka sig fram till ett motexempel.

Mycket riktigt påpekade Erik Thörnblad för mig att det här problemet påminner om Simpsons paradox.

Simpsons paradox

I sannolikhet och statistik innebär Simpsons paradox att två olika grupper kan ha en viss tendens, men tendensen är helt omvänd när grupperna sätts ihop.

På bilden nedan syns att både den blå och den röda gruppen visar en växande trend, men på det stora hela är trenden avtagande.

Lösning (av Erik Svensson)

Låt A och B vara familjerna i Hus 1, och låt C och D vara deras grannar i Hus 2.

Låt oss anta, med avsikt att konstruera ett motexempel, att A har väldigt många fler djur än de andra familjerna och att hälften av dem plus 1 är katter. Till exempel kan vi låta A ha 5001 katter och 4999 hundar. Låt C ha 1 katt och 1 hund. Då är andelen katter hos A större än hos C.

Om B nu har relativt få djur så kommer dessa inverka väldigt lite på den totala andelen katter i huset, eftersom det stora antalet djur A har kommer dominera fullständigt. Vi låter D har väldigt få djur också, men samtidigt ha en större andel katter än A har. Exempelvis kan D ha 2 katter och 1 hund. Vi låter nu B har en större andel katter än D, låt säga 3 katter och 1 hund.

Nu har A en större andel katter än C, och B en större andel än D. Vi finner dock att i Hus 1 så är obetydligt mer än hälften av alla djur katter, men i Hus 2 har vi 4 katter och 2 hundar, och alltså är andelen katter där 2/3.

Etiketter:, , , ,
Category: Problemlösning  |  Kommentar

Matteproblem för de äldre vecka 39

28 september 2010, 19:22

Skickar gärna lösningar eller frågor om detta problem till valentina.chapovalova@gmail.com. Om din lösning kommer in senast måndagen den 11 oktober får du vara med i bloggens tävling och då har du chansen att vinna priser!

Mattegåta

På en gata finns två radhus och i varje radhus bor två djurgalna familjer. Familjerna äger katter och hundar.

Andelen katter (kvoten mellan antalet katter och totala antalet katter och hundar) hos första familjen i första huset är större än andelen katter hos första familjen i andra huset. Andelen katter hos andra familjen i första huset är större än andelen katter hos andra familjen i andra huset.

Måste det vara så att andelen katter i första huset är större än andelen katter i andra huset?

Etiketter:, , ,
Category: Roliga mattegåtor  |  Kommentar

Lösningen till problemet för de yngre vecka 34

09 september 2010, 20:33

Mattegåta

Hitta två äkta bråk, det ena med nämnaren 8 och det andra med nämnaren 13, så att differensen mellan det största och det minsta av dem är så liten som möjligt.

Diskussion

Vad menas med att ett bråk är äkta? Det är ett bråk vars täljare är mindre än dess nämnare (och båda är positiva heltal). Exempel på äkta bråk är \frac{3}{5} och \frac{100}{101}. Ett äkta bråk har alltså alltid ett värde mellan 0 och 1!

Nu har vi ett lite fuskigt sätt att lösa problemet, de äkta bråken med nämnare 8 respekrtive 13 är ju inte så många! För att gissa svaret kan man sätta ut alla äkta bråks värden på tallinjen. Tag nämligen sträckan mellan 0 och 1 och dela in i åtta lika stora delar. På markeringarna har vi bråken \frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8} och \frac{7}{8}.

Samma sak kan göras med trettondedelar, men det är lite för plottrigt att göra det på samma bild, eller hur? Det vore smidigare att rita en exakt bild, där \frac{1}{13}, \frac{2}{13} och så vidare är utsatta, om sträckan hade en naturlig uppdelning i just 13 delar. Med andra ord, om antalet markeringar kan delas både med 8 och med 13, så är det ganska lätt att se skillnaden mellan bråken också.

Därför söker vi talens minsta gemensamma multipel, med andra ord det minsta positiva heltalet som både är delbart med 8 och med 13. Minsta gemensamma multipel betecknas också MGM. Och den största gemensamma delaren betecknas SGD, det behövs för att bestämma MGM av 8 och 13.

Lösning (av Toomas Liiv)

SGD(8,13)=1. Nämnarna är relativt prima.

MGM(8,13)=8*13=104, vilket också är minsta gemensamma nämnare till bråken.

Differensen av det största och minsta bråket kommer också att kunna skrivas med nämnaren 104 som ett äkta bråk. Det minsta sådana bråket är \frac{0}{104}, vilket uppnås med bråken \frac{8}{8} och \frac{13}{13}, men dessa är olyckligtvis inte äkta bråk.

Det näst minsta bråket med nämnaren 104 är \frac{1}{104}, vilket ger oss ekvationerna

\frac{13x}{104}-\frac{8y}{104}=\frac{1}{104}

och

\frac{8x}{104}-\frac{13y}{104}=\frac{1}{104}

som efter division med 104 kan skrivas som

13x-8y=1

och

8x-13y=1.

Den första ekvationens minsta positiva lösning är x=5 och y=8. Den andra ekvationens minsta positiva lösning är x=5 och y=3.

Detta ger oss att

\frac{5}{8}-\frac{8}{13}=\frac{65}{104}-\frac{64}{104}=\frac{1}{104}

och att

\frac{5}{13}-\frac{3}{8}=\frac{40}{104}-\frac{39}{104}=\frac{1}{104}

Lösningen till problemet är alltså \frac{5}{8} och \frac{8}{13} eller \frac{5}{13} och \frac{3}{8}.

Etiketter:, , , ,
Category: Problemlösning  |  Kommentar

Matteproblem för de yngre vecka 34

26 augusti 2010, 16:06

Äntligen är det dags för terminens första gåta för gymnasister och yngre elever!

Hösterminen 2010 är tävlingen uppdelad i två kategorier: matteproblem för de äldre (personer som har avslutat en gymnasieutbildning) och för de yngre (personer som går i grundskolan eller på gymnasiet). Givetvis får alla skicka in lösningar på problem från den andra kategorin, men de äldre får inte poäng för de yngres problem.

Skicka alltså in lösningsförslag till problemet nedan till valentina.chapovalova@gmail.com senast onsdagen den 8 september. Missa inte chansen att få priser!

Mattegåta

Hitta två äkta bråk, det ena med nämnaren 8 och det andra med nämnaren 13, så att differensen mellan det största och det minsta av dem är så liten som möjligt.

Etiketter:,
Category: Roliga mattegåtor  |  Kommentar