Transformationsmatrisen – del 5

Från Transformationsmatrisen – del 4 fick vi följande resultat:

För att bestämma transformationsmatrisen från bas $A$ till bas $B$ , uttryck basvektorerna i basen $B$ och skriv in resultaten som kolonner i en matris.

Hur gör man då det essentiella steget, det vill säga hur uttrycker man vektorerna i $A$ i basen $B$ ?

Jo, precis som på det sista sättet i Transformationsmatrisen – del 3.

Allmänt, ansätt:
$A_1=x_{11}B_1+x_{12}B_2+x_{13}B_3+\dots+x_{1n}B_n$
$A_2=x_{21}B_1+x_{22}B_2+x_{23}B_3+\dots+x_{2n}B_n$
$A_3=x_{31}B_1+x_{32}B_2+x_{33}B_3+\dots+x_{3n}B_n$
$\vdots \vdots$
$A_n=x_{n1}B_1+x_{n2}B_2+x_{n3}B_3+\dots+x_{nn}B_n$

vilket är precis samma sak som $A_1=\left(\begin{array}{c}x_{11} \\x_{12} \\x_{13} \\\vdots \\x_{1n}\end{array} \right)_B, \dots, A_n=\left(\begin{array}{c}x_{n1} \\x_{n2} \\x_{n3} \\\vdots \\x_{nn}\end{array} \right)_B$

(Varför det är så? Se Transformationsmatrisen – del 2.)

Det är alltså de här talen $x_{11}, x_{12}, x_{13}$ och så vidare som vi skall bestämma. De är ju precis talen i transformationsmatrisen från basen $A$ till basen $B$ .

Hur bestämmer man dessa tal?

Notera att varje ekvation i det stora ekvationssystemet är ett ekvationssystem i sig, om man skriver ut alla vektorernas koordinater:

$A_1=\left(\begin{array}{c}a_{11} \\a_{12} \\a_{13} \\\vdots \\a_{1n}\end{array} \right)$ och $B_1=\left(\begin{array}{c}b_{11} \\b_{12} \\b_{13} \\\vdots \\b_{1n}\end{array} \right), B_2=\left(\begin{array}{c}b_{21} \\b_{22} \\b_{23} \\\vdots \\b_{2n}\end{array} \right),\dots, B_n=\left(\begin{array}{c}b_{n1} \\b_{n2} \\b_{n3} \\\vdots \\b_{nn}\end{array} \right)$

(Alla små a:n och b:n är för oss kända tal.)

Då blir den första ekvationen $A_1=x_{11}B_1+x_{12}B_2+\dots+x_{1n}B_n$ ett ekvationssystem:
$a_1=x_{11}b_{11}+x_{12}b_{12}+\dots+x_{1n}b_{1n}$
$a_1=x_{11}b_{21}+x_{12}b_{22}+\dots+x_{1n}b_{2n}$
$\vdots$
$a_1=x_{11}b_{n1}+x_{12}b_{n2}+\dots+x_{1n}b_{nn}$

Och sådana där vet vi löses med Gauss-elimination.

$\left(\begin{array}{cccccc}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} & | & a_{11} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} & | & a_{12} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} & | & a_{1n} \end{array} \right)$

Det här löses som vanligt. Matrisen till vänster (allt utom det sista kolonnen) ska göras om till en identitetsmatris och när man gjort det blir den högraste kolonnen det man söker, det vill säga $\left(\begin{array}{c}x_{11} \\x_{12} \\\vdots \\x_{1n}\end{array} \right)$ .

Vad gör vi med den andra ekvationen, $A_2=x_{21}B_1+x_{22}B_2+x_{23}B_3+\dots+x_{2n}B_n$ , vilket ekvationssystem blir det?
Jo, om $A_1=\left(\begin{array}{c}a_{21} \\a_{22} \\\vdots \\a_{2n}\end{array} \right)$ , så är det

$\left(\begin{array}{cccccc}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} & | & a_{21} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} & | & a_{22} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} & | & a_{2n} \end{array} \right)$

alltså med samma vänstra del till matris som förut. Det blir exakt samma Gauss-operationer som ska utföras, vilket betyder att jobb kan sparas.

$\left(\begin{array}{ccccccc}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} & | & a_{11} & a_{21} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} & | & a_{12} & a_{22} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} & | & a_{1n} & a_{2n} \end{array} \right)$

$\longrightarrow$

$\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 0 & \dots & 0 & | & x_{11} & x_{21} \\0 & 1 & \dots & 0 & | & x_{12} & x_{22} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & \dots & 1 & | & x_{1n} & x_{2n} \end{array} \right)$

Och på exakt samma sätt löser vi ut alla andra små x med hjälp av resten av ekvationerna:

$\left(\begin{array}{ccccccccc}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} & | & a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} & | & a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} & | & a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{array} \right)$

$\longrightarrow$

$\left(\begin{array}{ccccccccc}1 & 0 & \dots & 0 & | & x_{11} & x_{21} & \dots & x_{n1} \\0 & 1 & \dots & 0 & | & x_{12} & x_{22} & \dots & x_{n2} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & \dots & 1 & | & x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{nn} \end{array} \right)$