Matchen (2 poäng).
Innan fotbollsmatchen mellan lag Syd och lag Nord fanns det 5 prognoser:
a) det kommer inte att bli oavgjort
b) Syd kommer att släppa in mål
c) Nord kommer att vinna
d) Nord kommer inte att förlora
e) det kommer bli exakt 3 mål i matchen
Efter matchen visade det sig att exakt tre prognoser stämde. Vad blev matchens resultat?
Dvärgarna (4 poäng).
Draken fångade sex dvärgar, låste in dem i sin grotta och sade till dem: ”Jag har sju hattar som har var sin färg: röd, orange, gul, grön, blå, lila och vit. Imorgon vid gryningen kommer jag att binda för era ögon och sätta var sin hatt på er och en hatt gömmer jag. Efter det kommer ni att kunna se, men ni får inte längre prata med varandra. Sedan får var och en viska till mig, vilken färg det är som saknas. Om åtminstone tre stycken gissar rätt, befrias ni alla. Om färre gissar rätt, äter jag upp er alla.”
Vad ska dvärgarna bestämma innan gryningen, för att rädda sig själva?
Rutnätet (6 poäng).
Varje punkt med heltalskoordinater på planet målades i en av tre färger. Visa att det går att hitta en likbent rätvinklig triangel med hörn i punkter med heltalskoordinater, som är målade i samma färg.
Visa lösningar
Matchen (Oves lösning):
Om Nord vinner då är a),b),c) och d) sanna.
Om det är oavgjort så är a), c) och e) falska (då tre mål ej kan fås vid oavgjort).
Alltså eftersom att exakt 3 ska vara sanna, måste Syd vinna, eftersom ingen av de andra fallen fungerar.
Så Syd släpper in mål och det görs exakt 3 mål i matchen och Syd vinner, så då måste det bli 2-1 till Syd.
Dvärgarna (Davids lösning):
Varje dvärg ser alla färger utom sin egen och den som saknas. Av de två färger man inte ser säger man den som vinner. Vilken vinner då?
Röd vinner över orange, gul och grön.
Orange vinner över gul, grön och blå.
Gul vinner över grön, blå och lila.
Grön vinner över blå, lila och vit.
Blå vinner över lila, vit och röd.
Lila vinner över vit, röd och orange.
Vit vinner över röd, orange och gul.
Oavsett vilken färg som saknas så vinner den över exakt tre av dvärgarnas färger. Alltså kommer exakt tre dvärgar säga rätt färg.
Rutnätet
Om vi kollar på en kvadrat med sidan 4 punkter (bestående av 16 punkter), måste två av punkterna på dess diagonal ha samma färg.
Det finns ändligt många sätt att färglägga med sidan 4 punkter med 3 färger, så det finns ett m, som är större än det antalet. Det vill säga, en kvadrat bestående av m^2 kvadrater med sidan 4 har två exakt likadant färgade kvadrater på sin diagnoal (här består diagonalen av kvadrater med sida 4). De stora kvadratens sida består av 4m punkter.
På samma sätt hittar vi en ännu större kvadrat K, som har två likadant färgade kvadrater med sidan 4m på diagonalen.
Antag att det inte finns några rätvinkliga likbenta trianglar med hörnen i samma färg. Vår kvadrat med sidan 4m som har två likadant färglagda små kvadrater på diagonalen har följaktligen 4 punkter med färg ett, 2 punkter med färg två och således 1 punkt av färg tre som kan ses på bilden.
På samma sätt tittar vi på kvadraten K, som då måste ha en ruta, som varken kan ha färg ett, färg två eller färg tre. Motsägelse, alltså måste vi någonstans ha en likbent rätvinklig triangel med hörnen färgade i samma färg.
