formel – Mattebloggen

Det finns mängder med formler med sinus och cosinus att minnas, men inlärningsprocessen blir mycket lättare om man vet att de flesta utav formlerna är ganska lika.

Och så är det bra att komma ihåg att sinus är ”snäll” och cosinus är ”elak” (eller som min pappa säger: ”sinus är flicka, cosinus är pojke”). Varför då?

Kolla på formeln för ”dubbla vinkeln”:

$!\text{sin}(2x)=2\text{sin}x\text{cos}x!$

$cos2x=cos^2x-sin^2x$

Som syns är sinus rättvis och står sida vid sida med cosinus, ingen är prioriterad och det blir exakta samma sak, om vi byter ut all sin till cos och all cos till sin (2sinxcosx=2cosxsinx). Men cosinus är inte alls rättvis! Den ställer sig själv i kvadrat på första plats, medan hans vän sinus får nöja sig med andra platsen och ett minustecken.

Den mer generella formeln är den för summan av två vinklar, det vill säga:

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny

Här är förstås sinus snäll och rättvis igen, medan cosinus busar och ändrar tecken och sätter sig själv på första plats.

Jämför med formlerna för skillnad mellan två vinklar:

sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny

Eftersom det nu är minus, är sinus lydig och bevarar det tecknet. Nu måste sinus prioritera någon utav termerna. Han väljer att ta sinxcosy först, för att x är det som står först (och av sinus och cosinus måste ju sinus prioritera sig själv lite före). Cosinus busar igen och ändrar tecknet till plus.

Om du absolut har svårt för de här krångliga formlera (och de är krångliga, jag erkänner att det tog mig flera år att lära mig dem utantill), så räcker det att komma ihåg dem ungefär.

Varför räcker det med ungefär? Jo, för om du minns cosinus och sinus för de vanliga vinklarna (länk bild från del 1), så kan du kolla huruvida den formeln du typ minns stämmer eller ej.

Det finns mängder med formler med sinus och cosinus att minnas, men inlärningsprocessen blir mycket lättare om man vet att de flesta utav formlerna är ganska lika.

Och så är det bra att komma ihåg att sinus är ”snäll” och cosinus är ”elak” (eller som min pappa säger: ”sinus är flicka, cosinus är pojke”). Varför då?

Kolla på formeln för ”dubbla vinkeln”:

$sin(2x)=2 sinx\cdot cosx\ \ \ (=sinx\cdot cosx+cosx\cdot sinx)$

$cos(2x)=cos^2x-sin^2x\ \ \ (=cosx\cdot cosx-sinx\cdot sinx)$

Som syns är sinus rättvis och står sida vid sida med cosinus, ingen är prioriterad och det blir exakt samma sak, om vi byter ut all sin till cos och all cos till sin: ( $2\cdot sinx\cdot cosx=2\cdot cosx\cdot sinx$ ). Men cosinus är inte alls rättvis! Den ställer sig själv i kvadrat på första plats, medan hans vän sinus får nöja sig med andra platsen och ett minustecken.

Den mer generella formeln är den för summan av två vinklar, det vill säga:

$sin(x+y)=sinx\cdot cosy+cosx\cdot siny$

$cos(x+y)=cosx\cdot cosy-sinx\cdot siny$

Här är förstås sinus snäll och rättvis igen, medan cosinus busar och ändrar tecken och sätter sig själv på första plats.

Jämför med formlerna för skillnaden mellan två vinklar:

$sin(x-y)=sinx\cdot cosy-cosx\cdot siny$

$cos(x-y)=cosx\cdot cosy+sinx\cdot siny$

Eftersom det nu är minus, är sinus lydig och bevarar det tecknet. Nu måste sinus prioritera någon utav termerna. Han väljer att ta $sinx\cdot cosy$ först, för att x är det som står först (och av sinus och cosinus måste ju sinus prioritera sig själv lite före). Cosinus busar igen och ändrar tecknet till plus.

Om du absolut har svårt för de här krångliga formlera (och de är krångliga, jag erkänner att det tog mig flera år att lära mig dem utantill), så räcker det att komma ihåg dem ungefär.

Varför räcker det med ungefär? Jo, för om du minns cosinus och sinus för de vanliga vinklarna, så kan du kolla huruvida den formeln du typ minns stämmer eller ej.

sincostabell

För $sin90^\circ=sin(30^\circ+60^\circ)$ , så $1=sin(30^\circ+60^\circ)$ , så 1 ska bli resultat av några operationer mellan $sin30^\circ$ , $cos30^\circ$ , $sin60^\circ$ och $cos60^\circ$ som är $\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt 3}{2}$ , $\frac{\sqrt 3}{2}$ och $\frac{1}{2}$ respektive. Då känns det ganska rimligt att det ska bli $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\cdot \frac{\sqrt 3}{2}$ . Så förmodligen är $sin(x+y)=sinx\cdot cosy+cosx\cdot siny$ , men för att vara helt säkra, kan vi kolla att t.ex. likheten

$sin90^\circ=sin(45^\circ+45^\circ)=sin45^\circ\cdot cos45^\circ+cos45^\circ\cdot sin45^\circ$ stämmer. Stämmer det så är det hög chans att vi använde rätt formel.