komplexa tal – Mattebloggen

Enligt en broinskription (se bilden nedan) upptäcktes kvaternionerna för exakt 169 år sedan, då William Hamilton tog en promenad i Dublin med sin fru. Hamilton kände till de komplexa talen (till exempel talet $i$ som uppfyller likheten $i\cdot i = -1$ ), men han ville utvidga dem ytterligare till en större talmängd, som fortfarande skulle uppfylla de viktigaste talegenskaperna.

Han kom då på mängden kvaternioner (betecknas $\mathbb{H}$ ), som förutom vanliga tal och $i$ även innehåller talen $j$ och $k$ , som uppfyller följande:

( $i\cdot i = -1$ , denna egenskap är kvar från de komplexa talen)
$j\cdot j = -1$
$k\cdot k = -1$

$i\cdot j = k$
$j\cdot k = i$
$k\cdot i = j$

Det spelar förstås ingen roll vilka bokstäver man väljer att beteckna de här nya talen med, det viktiga är deras egenskaper och samverkan med varandra.

Notera att multiplikationen talen emellan är lite märklig. Desto märkligare är att $i\cdot j$ inte blir samma sak som $j\cdot i$ , det vill säga Hamilton lyckades inte behålla multiplikationens kommutativitet. Man adderar och subtraherar dock kvaternioner precis på samma sätt som man skulle göra med de komplexa talen. Man kan addera de olika bokstäverna med varandra och exempelvis gäller:
$(1+2i+j) + (2+i-j+k) = 3+3i+k$

Hur kan vi lista ut vad $j\cdot i$ bör bli lika med? Tänk på att vi inte kan byta plats på faktorerna, men vi kan multiplicera med något nytt ”från vänster” eller ”från höger”. Säg att vi multiplicerar med $i$ från höger:

$(j\cdot i)\cdot i = j\cdot (i\cdot i) = j\cdot (-1)=-j$

Så att vårt svar multiplicerat med $i$ från höger ska också vara lika med $-j$ . Vad kan det vara för tal?
Om du inte kan komma på det, tänk på vilket tal multiplicerat med $i$ från höger blir lika med $j$ istället och modifiera svaret efter det.

Man kan göra en liten grundmultiplikationstabell för de komplexa talen:

Kan du lista ut vad som står istället för frågtecknen i multiplikationstabellen för kvaternionerna?

En övning i kvaternioner: Vad blir $(1+i+j)(2-j+k)$ ?

Det går att dividera kvaternioner med varandra, resultatet av en division blir alltid ett kvaterniontal (så länge man inte dividerar med 0).

En till övning: Vad blir $1/(i+j)$ för kvaterniontal?

Snart är sommaren slut för min del och det är dags att sammanfatta vad jag lärt mig under mattekollotiden (jag var lärare för några av Rysslands mest skärpta åttor):
1. Åttan är lite för tidig årskurs för att introducera begreppet grupp.
2. Komplexa tal definieras bäst som mängden av par av tal plus regler.
3. Ha med några stycken 15-spel när du undervisar om permutationer!
4. 2x2x2 – Rubiks kuber som smycken är snyggt.
5. Om man är oförsiktig i sina matteresonemang kan man missa att man egentligen behöver använda satsen om att maximum på kompakt mängd existerar.

Förutom det har jag lärt mig att föra krig mot getingar, gå upp 5 minuter innan lektionerna börjar och hitta dold matematisk betydelse i ryska poplåtar.

Etikett: komplexa tal

Kvaternioner

Lektioner från kollot