Etikett: kvadrater

En av möjliga lösningar lyder så här. Vi ritar några rutor till och markerar en röd triangel på följande sätt:

Nu vill vi bevisa att triangeln är lekbent och rätvinklig, det vill säga en 90-45-45-triangel.

Varför vill vi det? Jo, notera att ena hörnet består av två vinklar: en tvåa och en trea, det vill säga två av de minsta vinklarna som problemet handlar om.

Detta stämmer, eftersom vinkelns ena del ingår i en rätvinklig triangel med kateterna 1 och 2, medan vinkelns andra del ingår i en rätvinklig triangel med kateterna 1 och 3. Det är precis sådana rätvinkliga trianglar som innehåller de ursprungliga tvåan och trean.

Vi kan även hitta en till rätvinklig triangel med kateterna 1 och 2, som då innehåller en tvåa (den nya röda vinkeln på bilden). Den blå vinkeln är den som tillsammans med en röd ger 90 grader, eftersom de är just de två spetsiga vinklarna i triangeln med den ursprungliga tvåan.

Det betyder att även vinkeln mellan den nya röda och den blå vinkeln också är 90 grader, eftersom alla de tre tillsammans ska ge 180 grader.

Men den stora röda triangeln är även likbent, eftersom de röda kateterna i själva verket hypotenusorna i de små trianglarna med kateterna 1 och 2, och dessa hypotenusor måste vara lika!

Men om den stora röda triangeln har vinklarna 90-45-45 betyder att summan av tvåan och trean är 45 grader. Ettan är lika med 45 grader, ty den ingår i en liten 90-45-45-triangel från början. Alltså är summan av de tre angivna vinklarna lika med 90 grader!

Notera att vi inte bestämde vad varje vinkel var lika med (bara ettan), men vi vet ändå att summan av de alla är 90 grader.

Man kan även lösa problemet på flera andra sätt, se kommentarerna till inlägget.